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자주 찾는 용어

• 응력 - 변형률 선도 - stress - strain diagram

  물체에 작용하는 힘을 점진적으로 증가시키면 물체의 형상변화인 변형(deformation)과 내부의 저항력인 응력(stress)도 점진적으로 증가한다. 물체 변형률(strain)의 크기를 수평축으로 하고 변형에 따른 물체 내부의 응력을 수직축으로 하여 그래프로 나타낸 것을 응력-변형률 선도라고 부른다. 이 선도는 인장시험기(tension test machine)라 불리는 재료물성 시험기에 표준시편(standard specimen)이라 불리는 시험규격에 맞도록 제작된 재료의 시편을 사용하여 구한다.

  이 선도는 재료의 고유한 인장 거동을 나타내며, 재료의 종류에 따라 각기 다른 형태를 나타낸다. 가장 일반적인 강철(steel)의 경우, 비례한도(proportional limit)라 불리는 응력값까지 변형률과 응력은 직선적인 관계를 유지하며, 이 직선의 기울기를 탄성계수(elastic modulus)라고 부른다. 이 지점 이내로 물체에 힘을 가하면 물체는 탄성변형(elastic deformation)을 일으켜 힘을 제거하면 물체는 원래 모양 그대로 복원된다.

  이 지점을 지나면 곧바로 항복점(yielding point)이라 불리는 응력값에 도달하게 되고, 이 지점보다 큰 하중을 물체에 가하면 물체는 하중을 제거하여도 영구적인 변형이 남는 소성변형(plastic deformation)을 일으키게 된다. 이 지점을 통과하여 힘을 가하면 물체는 극한강도(ultimate strength)라 불리는 응력값에 도달하게 되고 이 응력값이 바로 물체가 지탱할 수 있는 최대 강도를 나타낸다. 이 이상으로 물체에 힘을 가하면 물체가 끊어지는 파단점에 도달하게 된다.

  응력을 물체의 변형 전 단면적으로 계산한 공칭응력(nominal stress)으로 구한 선도를 공칭응력-변형률 선도라고 부르고, 변형된 실제 단면적으로 계산한 진응력(true stress)로 구한 선도를 진응력-변형률 선도라고 부른다. 하지만 전자의 경우가 많이 사용되고 있다.

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  응력 변형률

• 후크의 법칙 - Hooke’s law

  물체가 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 물체의 모양과 위치가 변할 뿐만 아니라, 물체 내부에는 저항하려는 내력이 발생한다. 물체의 모양이 변하는 정도를 나타내는 단위 길이당의 변형 즉, 변형률(strain)과 저항력의 크기를 나타내는 단위 면적당의 내력, 즉 응력(stress)과의 사이에는 특정한 관계가 있다.

  영국의 자연철학자인 로버트 후크(Robert Hooke, 1635~1703)는 용수철의 힘과 변형량과의 관계로부터 탄성체(elastic material)의 변형률과 응력 사이의 관계를 최초로 정립하였다. 용수철에 가해지는 힘과 늘어난 길이는 용수철의 강한 정도를 나타내는 스프링 상수(spring constant)를 통해 상관관계를 가진다.

  용수철을 잡아당기는 것은 1차원적인 변형으로 이러한 단순한 거동을 3차원 물체에 적용하기 위해서는 프와송 효과(Poisson’s effect)를 고려하여야 한다. 즉 3차원 물체를 한 방향으로 잡아당기면 서로 직교하는 다른 두 방향으로는 물체가 줄어드는 현상이 발생한다. 따라서, 한 방향으로의 힘(혹은 응력)은 세 방향으로의 변형과 서로 연관된다.

  이 경우, 연관성을 지어주는 물체 고유의 재료 물성치(material properties)는 영률(Young’s modulus)이라 불리는 탄성계수(elastic modulus)와 프와송 비(Poisson’s ratio)이다. 혹은 프와송 비 대신에 전단 탄성계수(shear elastic modulus)가 사용되기도 하는데, 이 계수는 탄성계수와 프와송 비로 표현되는 물성값이다.

  이처럼 모든 물체에 있어 응력과 변형률과의 관계를 물체 고유의 재료 물성치를 이용하여 표현한 것을 총체적으로 후크의 법칙이라고 부른다.

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  Hooke's Law 응력

• 공칭 응력 - nominal stress

  임의 단면을 가진 가느다란 물체에 힘을 가하여 잡아당기면 물체는 힘을 받는 방향으로 늘어난다. 그리고 프와송 효과(Poisson’s effect)에 의하여 물체의 단면적은 감소한다. 외부 하중에 저항하는 물체 내부의 저항력인 응력(stress)은 하중을 물체의 단면적으로 나눈 값으로 정의된다. 하지만 물체의 단면적은 하중이 증가할수록 점차적으로 감소한다.

  가느다란 금속 판을 한 방향으로 하중을 가하여 응력을 측정하는 경우를 예로 들어 보자. 물체의 단면적을 물체가 변형되기 전 초기 단면적으로 외부 하중을 나누어 응력값을 계산하는 방법과 변형에 의해 감소된 실제 단면적으로 응력값을 계산하는 두 가지 방안이 있을 수 있다. 전자의 방법으로 구한 응력을 공칭응력이라고 부르고, 후자의 방식으로 구한 응력을 진응력(true stress) 이라고 부른다. 당연히 진응력이 정확한 의미의 응력이고, 변형이 커질수록 두 값의 차이도 커진다. 특히, 물체가 끊어지기 직전에는 단면적이 매우 작아지기 때문에 진응력은 매우 큰 값이 되는 반면 공칭응력은 단면적의 감소를 반영하지 않기 때문에 하중 증가만큼 증가할 뿐이다.

  하지만 실제 상황에서 이처럼 극단적인 경우는 그다지 많지 않고, 대부분의 경우 변형량은 크지 않다. 따라서 공칭응력을 많이 사용하고 있는 실정이다. 유한요소 해석(finite element analysis)에서 선형해석으로 구한 응력값은 공칭응력에 해당되고, 비선형 해석(nonlinear analysis)으로 구한 응력은 진응력에 해당된다고 볼 수 있다. 왜냐하면, 전자는 변형되기 전 초기 물체의 형상을 기준으로 단 한번의 계산으로 응력을 구하기 때문에 물체의 변형이 반영될 수 없다. 하지만 비선형 해석에서는 하중을 조금씩 증가시키면서 반복적으로 변형률(strain)과 응력을 계산하기 때문에 물체의 변형이 반복계산 과정에서 반영될 수 있기 때문이다.

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  비선형해석 응력

• 임계감쇠 - critical damping

  물체의 운동을 저지하려는 성질을 감쇠(damping)라고 부르고 이러한 성질을 가진 재료를 감쇠재(damping material) 그리고 장치를 감쇠기(damper)라고 한다. 물체의 운동 특히 진동은 소음, 예상치 못한 파손 등을 야기하기 때문에 감쇠는 이러한 유해한 성분을 저감시키기 위하여 광범위한 영역에서 활용되고 있다. 가장 단순한 예가 자동차의 본체에 부착되어 있는 완충기로서, 고르지 않은 노면을 주행할 때 자동차의 진동을 저감시켜 승차감을 향상시켜 준다. 감쇠력(damping force)은 감쇠재 고유의 물성치인 감쇠계수(damping coefficient)와 감쇠재가 부착된 물체의 운동속도의 곱에 비례하여 증가한다.

  한편 어떠한 물체가 외부로부터 동적인 외란을 받으면 진동을 하게 되고, 만약 감쇠가 없다면 그 진동은 무한히 계속될 것이다. 더욱이 외부로부터 받는 외란의 진동수가 그 물체의 고유진동수(natural frequency)에 근접하게 되면, 물체가 진동하게 되는 진폭이 엄청나게 증가하는 공진(resonance) 응답을 나타내게 된다. 그 결과 물체는 예상치 못한 구조적 파괴에 도달하게 될 것이다. 가장 대표적인 예로 지진에 따른 각종 건축물의 파괴나 강한 바람에 의한 현수교의 파괴를 들 수 있다.

  하지만 감쇠가 존재하면 물체는 무한히 진동할 수 없을뿐더러 공진도 방지할 수 있다. 임계감쇠란 물체가 외부로부터 외란을 받았을 때 전혀 진동을 일으키지 않고 곧바로 정지상태로 안정화 시키는 감쇠계수의 값으로서 의 크기를 가진다. 여기서 은 물체의 질량이고 은 그 물체의 고유진동수를 나타낸다. 그리고 임계감쇠에 대한 감쇠계수의 상대적인 비를 감쇠비(damping ratio)로 정의하고 있다.

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  고유진동수 공진

• 프란틀 수 - Prandtl number

  프란틀 수는 운동량과 열 경계층(boundary layer) 사이의 관계를 나타내는 파라미터이며 아래의 방정식으로 계산 되며, 유체의 점도와 열전도율을 이용해서 표현한다. 일반적으로 고체 온도에서 유체 포용 온도(bulk temperature)로 변하는 유체의 온도 구간을 열 경계층이라고 하며, 열 경계층과 운동량 경계층 사이에 상대적인 크기를 나타내는 것이 프란틀 수이다. 예를 들어 프란틀 수가 1일 경우 열과 운동량의 경계층 두께가 같다는 것을 의미하고, 일반적인 대기압에서 공기는 프란틀 수가 0.7이며, 섭씨 20도인 물의 경우 프란틀 수는 7정도이다. 프란틀 수는 층 흐름 내에서 운동량의 확산 상수가 열의 확산 상수의 몇 배인가 하는 것을 의미한다. 프란틀 수가 1보다 매우 작으면 열의 확산이 주로 일어나며, 1보다 크면 운동량의 확산이 지배적으로 일어나게 된다.

  

  , where ν: 동점성(kinematic viscosity), α: 열확산 계수(thermal diffusivity), μ: 점성(dynamic viscosity), k: 열전도율(thermal conductivity), c_p: 비열(specific heat)

  

  Prandtl number 에 따른 열 경계층 변화 Pr<1( 왼쪽 ) Pr>1( 오른쪽
  CFD 동점성

• CFL수 - Courant - Friedrichs - Lewy Number, CFL Number

  CFL수를 설명하기 위해서는 먼저 CFL 조건을 설명하여야 한다. CFL 조건은 편미분방정식을 수치적으로 수렴시키기 위한 필요조건으로서, 계산에 사용되는 시간간격이 특정 시간보다 작아야 하며, 그렇지 않을 경우 부정확한 해를 구하게 된다는 수치해석학적 조건이다.¹

  1차원 문제의 CFL 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  : 유동속도 , : 계산시간간격 , : 메쉬 간격 , : CFL수

  위 조건에서 는 이산화 방식에 따라 변하게 되는데 특히 외연적 또는 내연적 방법에 밀접하게 연관되어 있다. 외연적 시간진행 솔버(Explicit Time Marching Solver)의 경우 일반적으로 이 사용되며, 내연적 솔버의 경우 좀 더 큰 값이 사용되기도 한다.

  

  물리적으로 CFL수는 [계산시간간격, ]과 [유동이 요소 하나를 지나가는데 걸리는 시간, ]의 비로 생각할 수 있으며, 외연적 계산의 경우 계산시간간격 는 ‘유동이 요소 하나를 지나가는 시간’보다 작아야 한다.

  

  위와 같이 CFL조건과 CFL수는 편미분방정식의 수치해석을 수행할 때 시간간격을 결정하거나 조정할 때 많이 활용되고 있다.

  CFD

• 포텐셜 유동 - potential flow

  공기와 같은 유체의 유동은 압축성(compressibility), 점성(viscosity) 그리고 유체입자의 회전성(rotational) 중에서 어떠한 효과가 중요시 되느냐 아니면 무시할 수 있느냐에 따라 분류할 수 있다. 압축성 유동(compressible flow)에서는 유동입자의 밀도변화가 현저한 경우이며, 점성유동(viscous flow)은 유체입자 사이의 점성효과가 지배적인 경우이다.

  그런데, 이 세가지 효과를 모두 무시한 유동을 이상유동(ideal flow)이라고 정의하며, 유체속도를 어떤 함수의 위치에 따른 변화율로 표현할 수 있다. 이 함수를 속도 포텐셜(velocity potential)이라고 부르며, 유체의 속도나 압력을 속도 포텐셜로 전환하여 표현할 수 있다는 측면에서 포텐셜 유동이라고도 부른다. 압축성만을 반연한 이상유동인 오일러 유동(Euler flow)과는 차이가 있다.

  포텐셜 유동은 흐름의 양상이 복잡하지 않고 또한 속도가 완만한 경우에 많이 적용되고 있다. 예를 들어, 액체 저장탱크 내 액체의 출렁임이나 배 주위 바다물의 흐름 등은 포텐셜 유동으로 가정하여도 큰 무리가 따르지 않는다.

  수치해석적인 측면에서 포텐셜 유동의 가장 큰 장점은 요소망(mesh) 혹은 그리드(grid) 내부 각 절점(node)이 하나의 자유도(degree of freedom)만을 갖는다는 점이다. 따라서 근사해를 구하기 위해 풀어야 할 행렬 방정식의 크기를 대폭적으로 감소시킬 수 있다. 최근 해석분야에서 크게 관심이 되고 있는 유체-구조 연성해석(fluid-structure interaction analysis)에서 해석시간 단축을 위해 유체유동을 포텐셜 유동으로 가정한 경우가 많다.

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  요소망 자유도

• 등가 변형률 - equivalent strain

  외부로부터 하중을 받고 있는 임의 물체에 있어 그 내부에 발생하는 저항력인 응력(stress)은 방향별 성분을 지니고 있다. 따라서 물체내 임의 지점에서 응력의 절대적인 크기는 임의 응력 성분 하나만으로는 결정할 수 없다. 폰 미제스 응력(von Mises stress)으로 불리는 등가응력(equivalent stress)은 임의 지점에서의 응력의 절대적인 크기를 나타내기 위해 가장 많이 사용되고 있다.

  응력과 마찬가지로 물체 변형의 크기를 나타내는 변형률(strain)도 방향별 성분을 지니고 있기 때문에 어느 한 성분만으로 변형률의 절대적인 크기를 나타낼 수 없다. 따라서 물체 내 임의 지점에서 변형률의 절대적인 크기를 나타내기 위한 척도가 필요하다. 등가 변형률은 이러한 변형률의 절대적인 크기를 나타내는 척도로 사용되고 있고 있으며, 물리적으로 등가응력과 짝을 이루는 물리량으로 생각할 수 있다.

  보다 정확한 표현으로 등가 변형률은 편차응력(deviatoric stress)과 역학적으로 관계를 맺는다. 등가 변형률은 변형률 성분 각각의 제곱을 모두 합한 값에 2/3를 곱하여 제곱근을 취하여 계산되며, 금속성형(metal forming)과 같은 소성변형(plastic deformation) 거동을 표현하는 소성모델(plastic model)의 변수로 사용되고 있다.

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  응력 변형률