푸아송비
축(길이방향)의 인장 하중은 시편의 단면적(횡방향 또는 가로방향 수축)을 감소시킵니다. 같은 이유로 수축에는 횡방향의 확장이 따릅니다. 탄성영역에서 횡방향 변형률에 대한 축방향 변형률의 비는 일정합니다. 이를 같은 식으로 정의합니다.
ν = 횡방향 변형률/축방향 변형률
푸아송비는 S. D. Poisson(1781-1840)을 따라서 명명되었습니다. 이 정의는 단축응력상태에서만 유효합니다. 다축 응력상태에서 각각의 응력에 의해 영향을 미치는 변형률을 분리하여 해당되는 방향의 것을 합산합니다. 실험으로부터 ν의 값은 일반적으로 0.25에서 0.35 정도입니다. 강의 경우 푸아송비는 0.3입니다. 극단의 값으로는 콘크리트의 경우 ν가0 .1이며 고무 제품의 경우는 0.5에 가깝습니다.
체적의 변화
등방성 재료인 부재에 축 방향으로 한 체적에 수직 응력 σx가 작용한 영향을 살펴보도록 하겠습니다. 다음 그림과 같이 원점은 고정된 상태의 정육면체가 인장을 받아 횡방향으로는 수축이 되었습니다.
그림과 같은 하중 조건에서 σy = σy = 0이고 단지 σx만 축방향 응력이 작용합니다. 그러므로 횡방향 변형률은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
<체적 변화율>
초기의 요소 체적은 V0 = dx dy dz입니다. 변형으로 인해 요소 최종 체적은 다음과 같습니다.
여기서 상기의 공식을 풀어쓰면 εx, εy, εz가 곱으로 나타나는 항들이 포함되는데 미소한 값이므로 고차항들은 무시할 수 있으며 이를 정리하면 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.
체적의 변화는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
단위 체적당 변화 혹은 팽창은 다음과 같이 정의됩니다.
여기서, 인장하중은 체적을 증가시키나 압축 하중은 감소시킨다는 사실을 알 수 있습니다. 완전 비압축성 재료(e=0)인 경우, 상기식의 1-2ν = 0이 됩니다. 이론적으로 푸아송비의 최대값은 ν=0.5가 되는데 이는 물리적으로 불가능한 수치입니다. 선형탄성영역에서재료는 체적 변화가 있기 때문에 ν값은 0<ν<0.5 을 사용합니다.
일반화된 후크의 법칙
단축응력-변형률 관계식(σ=Eε)을 많은 공학 적용시 발생하는 2축 또는 3축 상태의 응력 상태로 확장할 수 있습니다. 수직 응력은 전단변형률을 발생하지 않으며 전단응력(τxy)은 오로지 전단변형률(γxy)을 생성합니다. 그리고 변형률은 매우 작은 값이므로 다축 하중조건에서 중첩법(superposition method)이 적용 가능합니다. 이러한 가정은 등방성 재료가 선형 탄성 범위 내에서만 가능합니다.
평면 응력
오른쪽 그림과 같이 단위 두께를 갖는 구조용 요소가 2축 상태의 응력을 받고 있다고 가정하겠습니다. 여기서 요소의 윗면과 왼쪽면은 그 위치에 고정되어 있다고 가정하겠습니다. 응력 σx의 영향으로 그림의 점선과 같이 직접적인 변형률 σx/E뿐만 아니라 y축 방향의 수축변형률 –νσx/E가 발생합니다. 마찬가지로 σy의 작용으로 변형률은 x방향으로 수축 -νσy/E뿐만 아니라 y방향 변형률 σy/E가 됩니다. 그러므로 두 응력 σx와 σy가 동시에 작용하는 x와y방향으로 변형률은 다음 식과 같은 형태로 나타낼 수 있습니다.
<2축 응력상태 요소>
순수전단 상태의 탄성응력 - 변형률의 관계식은 다음과 같습니다.
여기서 τxy는 해당되는 전단 변형률만 발생하게 합니다. 상기의 식으로부터 다음과 같은 응력-변형률 관계식을 얻을 수 있습니다.
3차원 응력
평면 응력에서 유도한 것과 동일한 분석법을 εz, νyz, γxz의 변형률 성분을 응력 및 재료의 특성과 연결할 수 있습니다. 앞의 절차를 3차원 응력상태로 확장시켜 산정할 수 있습니다. 일반화된 후크의 법칙으로 알려진 응력-변형률 관계식은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.여기서, 응력(변형률)에 대한 양(+)의 부호는 인장이고 음(-)의 부호는 압축을 의미합니다
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