1. 모드해석 (Modal Analysis)
모드 해석(modal analysis) 또는 고유진동수 해석(natural frequency analysis)은 자유 진동해석을 의미합니다. 모드 해석은 동적 해석의 가장 기본이 되는 해석으로 구조물이 갖고 있는 고유한 특성인 고유 진동수와 모드형상(mode shape)을 구하는 해석입니다. 따라서 진동이나 주기 하중이 지속적으로 작용하는 구조물의 경우에는 일반적으로 모드 해석을 수행할 필요가 있습니다. 그림 3.1.1은 단순 지지보의 모드형상입니다.
모드형상은 복수의 형상을 갖고 있으며 각 모드형상은 구조물이 갖고 있는 각 고유진동수의 진동하는 모습이라고 할 수 있습니다. Mode 1은 1차 고유진동수의 진동하는 모습이며, Mode 2는 2차 고유진동수의 진동하는 모습입니다. 이와 같이 진동하는 모습은 구조물에 따라 1차, 2차,….10차,…등 다양하게 존재합니다.
<단순지지보의 모드형상>
모드 해석은 해석 대상물을 6자유도 방향으로 완전 구속조건이 지정된 구조물에 대한 모드를 구하는 경우와 구속조건이 전혀 지정되지 않거나 혹은 부분적으로만 구속조건이 지정된 구조물에 대한 모드를 구하는 경우로 구분될 수 있습니다.
모드 해석으로서 얻어지는 고유진동수 및 모드 형상은 그 자체로 외력으로 가해지는 가진 주파수와 일치하여 발생하는 공진을 피하거나 일으키게 하기 위한 많은 정보를 제공합니다. 완전 구속이 지정된 구조물의 경우, 0 Hz의 고유진동수가 나타나지 않지만 6자유도에 대한 구속조건이 없거나 부분적인 구속을 지정한 구조물의 경우에는 구속되지 않은 자유도 성분 수 만큼의 강체모드(rigid body mode)가 계산될 수 있고, 강체모드에 대한 고유진동수는 수치적으로 0 Hz의 값을 갖습니다.
해석 대상물에 대한 해석을 수행하기 전에 해석 대상물에 대한 물리적인 거동 특성에 대한 사전 정보를 가능하면 많이 파악해 둘 필요가 있습니다. 해석 대상물 자체의 고유진동수와 외부하중의 가진 주파수가 일치하게 되면 구조물은 공진(resonance)을 일으키게 되고, 구조물에 공진이 발생하면 소음과 진동이 급격하게 커지고 궁극적으로는 구조물이 파괴될 수도 있습니다.
모드 해석을 통해 구조물의 공진이 예상되는 경우, 일반적으로 고유진동수를 가진 주파수 대비 30% 이상 높이거나 낮추어 공진을 피할 수 있도록 구조물의 설계 변경을 할 필요가 있습니다. 고유진동수의 크기는 구조물의 강성에 비례하고 질량에 반비례하는 특성을 갖고 있으므로 강성과 질량에 영향을 주는 설계변수들을 조절하여 공진의 발생을 예방할 수 있습니다.
· 구조물의 고유진동수를 평가할 수 있습니다.
· 각 고유진동수에서의 모드 형상을 파악하여 구조물의 공진 여부와 진동 특성을 분석합니다.
<모드해석의 예>
☑️ 지배 방정식
실고유치(real eigenvalue) 해석의 경우, 외력을 받지 않고 감쇠를 무시하며 일체의 비선형성을 고려 하지 않는 선형 운동 방정식을 이용합니다. 고유진동수를 구하는 선형 운동방정식을 이용하므로 관성력을 고려하기 위하여 재료 물성치 항목에 밀도를 포함하거나 질량 요소를 사용한 모델을 이용해야 한다. 모드 해석의 지배 방정식은 다음과 같습니다.
위의 방정식을 풀기 위해 해를 
로 가정하여 대입하면 다음의 고유치 문제를 얻을 수 있습니다.
이 식은 결국
를 만족하는
를 계산하는 문제이며 Hz 단위의 진동수
는 
의 관계를 가집니다. 이 때 고유진동수에 대응되는 각 모드형상은 직교성을 갖고 있으며, 구조물이 외력을 받아 진동을 하는 거동은 계산된 모드형상들의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다.
모드 형상의 직교성은 각각의 모드 형상이 다른 모드 형상에 영향을 받지 않는 각각 고유한 것을 의미하고, 어떤 모드의 형상을 다른 모드 형상들의 선형 조합으로는 얻어낼 수 없다는 의미를 갖고 있습니다. 만약 구조물이 완전히 구속되지 않았다면, 강체모드가 계산되고, 이때의 고유진동수는 0 Hz 이거나 수학적으로 0에 가까운 값을 갖습니다.
<강체모드와 변형모드>
모드형상은 변위의 형태로 얻어지지만 임의의 값을 가질 수 있기 때문에 크기에는 별다른 의미를 부여 하지 않고 단지 상대적인 변위 값에 대한 의미, 즉 모드형상만이 중요합니다.
☑️ 고유진동수(frequency)와 고유 진동주기(period)
고유진동수란 구조물의 동적 특성을 표현하는 한 가지로써 단위시간에 진동하는 회수를 의미하며, 일반적으로 Hz라는 단위를 사용하여 초당 진동횟수로 나타냅니다. 고유 진동주기는 진동수의 역수로서 1회 진동하는데 소요되는 시간을 의미합니다.
예를 들어 그림처럼 진자의 운동은 우리 주변에서 시계추나 그네 등과 같이 같은 장소를 일정한 시간 간격으로 왕복 하는 주기 운동이라고 할 수 있습니다.
<진폭이 다른 진자의 운동>
A와 B의 경우에는 서로 진폭이 다르지만 진동수와 주기는 일정합니다. 진동수와 주기는 진자의 길이에 따라 바뀌는 고유의 특성이라 할 수 있습니다. 이처럼 진자의 운동에서 초당 왕복하는 회수를 고유진동수라고 하며, 1회 왕복하는데 소요되는 시간을 고유 진동주기라고 합니다.
구조물의 고유진동수는 구조물의 강성에 비례하고 질량에 반비례하는 특성을 갖고 있고, 해석 대상물의 구속 위치에서 멀리 떨어진 위치에 집중 질량이 있는 경우는 관성 효과로 인해 고유진동수를 크게 감소시키는 효과가 나타냅니다
☑️ 고유 모드형상
모드형상이란 외부의 힘이 제거된 상태에서 구조물이 진동하는 형상을 의미하며, 구조물이 가장 쉽게 변형할 가능성이 높은 형상부터 저차 모드를 갖게 됩니다. 고차모드로 갈수록 구조물의 모드형상은 구조물의 변형을 일으키기 어려운 형상을 갖게 됩니다. 아래 그림은 외팔보의 고유 진동형상을 나타내고 있습니다.
<외팔보의 고유 모드형상>
이론상으로 계산 가능한 최대 모드 수는 구조물 전체의 자유도 수와 동일하지만, 구조물의 거동에 크게 영향을 미치는 모드들은 주로 저차 모드들이므로 midas NFX를 포함한 모든 상용 유한요소해석 프로그램에서는 계산할 모드 수를 지정하거나 계산할 모드 범위를 고유진동수 범위로 지정하여 해석합니다.
계산된 모드형상을 분석함으로써 설계에서 중요하게 고려해야 할 고유진동수와 무시할 수 있는 고유진동수를 파악하는데 많은 정보를 얻을 수 있습니다. 직관적인 판단을 활용하면, 모드형상과 재하 하중에 의한 구조물의 변형 형상이 큰 차이를 갖는 경우 그 모드가 구조물의 거동에 미치는 영향은 적다고 할 수 있으므로 무시 가능합니다.
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