설계기술통

열팽창 계수(Coefficient of Thermal Expansion)란?

 모든 물체는 열을 받으면 온도가 증가하고 이에 비례하여 체적이 늘어난다. 그리고 이와 반대로 외부로 열을 방출하게 되면 온도가 감소하고 그 결과 체적이 감소한다. 예를 들어 단일 재료로 만들어진 정육면체의 금속을 균일하게 온도를 증가시키면 정육면체는 모든 방향으로 일정한 양으로 늘어나게 되고 정육면체 모양을 그대로 유지한다.

하지만 정육면체가 단일의 금속으로 되어 있는 등방성 물체(isotropic material)가 아니고 복합재로 만들어진 이방성 물체(anisotropic material)라면 방향별로 늘어나는 양이 달라지고 이에 따라 더 이상 정육면체의 모양을 유지하지 않게 된다. 이러한 차이는 물질 고유의 열팽창계수가 전자의 경우에서는 모든 방향으로 일정하지만, 후자의 경우에는 구성 재료에 따라 균일하지 않아서 방향별로 팽창되는 양이 달라진다.

열팽창계수는 물체의 온도가 1°C 증가하였을 때 특정한 방향으로 늘어난 길이로 정의된다. 등방성 물체에 있어서는 x, y 및 z 세 방향으로의 열팽창계수가 모두 동일하지만 이방성 물체에 있어서는 세 방향으로의 열팽창계수가 더 이상 동일하지 않다. 열팽창계수는 열전도도(thermal conductivity) 및 비열(specific heat)과 더불어 열전달 현상을 지배하는 주요한 재료 물성치(material property)이다.

다양한 물질의 열팽창계수

 모든 재료는 고유의 열팽창계수(CTE)를 가지고 있습니다. FEA 시뮬레이션에서 온도 변화에 의한 구조물의 변형(팽창 또는 수축) 정도를 확인하기 위해서 사용자는 재료의 열팽창계수를 프로그램에 입력해야만 합니다. 실제 재료는 온도 구역별로 CTE가 변할 수 있고 이방성을 가질 수 있습니다. 예를 들어 100°C의 구조물이 101°C가 될 때와 400°C의 구조물이 401°C가 되는 상황은 모두 1°C라는 동일한 온도 변화량이지만 재료에 따라 변형되는 양이 달라질 수 있습니다. 하지만 특별히 재료의 성질이 변형될 정도의 고온 상태에 대한 해석을 수행하는 경우가 아니라면 사용자는 아래의 열팽창계수를 사용할 수 있습니다. 일반적으로 사용되는 재료의 열팽창계수는 아래와 같습니다.

열팽창계수 차이에 따른 실제 구조물의 변형 차이

 위 표를 확인하면 열팽창 계수는 10의 -5제곱 또는 10의 -6제곱의 수준을 보이기 때문에 큰 차이가 아니라고 느낄 수 있지만 0.00001의 차이만으로도 해석 결과는 크게 달라질 수 있습니다. 아래 그림에서는 위에서부터 열팽창계수가 10e-6, 5e-6, 1e-6인 임의의 재료에 대해 모두 동일한 50°C의 온도 변화로 인한 변형 모습을 나타내고 있습니다. 이 결과를 통해 CTE가 클수록 같은 온도 변화 상황에서 물체의 변형이 크게 발생하고, CTE가 작은 물질의 경우 보다 작은 변형이 발생하는 것을 알 수 있습니다. 엔지니어는 각 재료의 CTE에 따라서 구조물의 변형량이 제품의 성능에 어떤 영향이 생길지 예측해야만 합니다.

열팽창을 고려한 실제 CAE 시뮬레이션 사례

해석 목적

- 증착 코팅 장치 속 가열 장치(Heater Block)로부터 가해진 열에 의해 가열되는 탑 리드 및 냉각 파이프에 따른 온도 분포 확인
- 열팽창에 따른 열응력은 ASME Sec.VIII Div.2 준하여 Primary + Secondary stress 구조 안전성 평가 수행

주요 해석 결과

- 내부 고온의 히트 블록 및 탑 리드 내부 냉각관 반영하여 열전달 해석한 결과, 탑 리드 하단부에서 최대 189.97℃, 탑 리드 모서리부에서 최소 78.23℃로 최대편차 111.74℃ 발생함을 확인함
- ASME 2010 SEC.VIII, DIV.2에 따라 각 재료별 허용응력 Sps 값(: Max.(2*Sy or 3*Sm))과 최대 발생 응력을 비교한 결과, 모든 파트에서 약 1.99 이상의 안전율로 해당 구조물은 작동 조건 내에서 구조적 안전성을 확인함

안전율(안전계수, Safety factor)란?

 안전하다는 것은 위험한 상태에 처하지 않았다는 뜻으로 사용된다. 여기서 위험한 상태란 정상적인 활동 혹은 기능을 하지 못하는 상태를 의미합니다. 그런데 이 위험한 상태란 대부분 그 원인과 심각성을 예측하기가 어렵기 때문에 지금까지의 경험을 바탕으로 추측할 뿐입니다. 예를 들어 고층 건물을 설계하는 경우 위험한 상태는 이 건물이 무너지는 것이고, 그 원인은 작게는 자체 무게를 지탱하지 못하는 것에서부터 예상치 못한 지진, 강풍 혹은 폭격이 될 수 있습니다.
그리고 각각의 원인이 미치게 될 영향의 정확한 평가는 그리 쉽지 않습니다. 따라서, 이러한 불확실성 때문에 안전성을 확보하기 위해서는 예상되는 원인에 따른 심각성보다 한층 더 심각한 상태를 기준으로 구조물을 설계 혹은 예방해야 합니다. 안전계수란 어떠한 대상이 위험한 상황에 대처할 수 있는 능력을 가장 위험한 상황에서 이 대상이 견딜 수 있는 능력으로 나눈 상대적인 비율로 정의된다.

가장 단순한 예를 들면, 자동차의 한 부품이 파괴되는 파단 응력을 a라고 하고 자동차가 가장 위험한 상태에 처할 때 이 부품에 작용하는 응력을 b라고 가정해보겠습니다. 그렇다면 이 부품은 a/b라는 안전계수로 설계되어 있다고 말할 수 있습니다. 안전계수는 우리 생활 주위 모든 제품이나 시설물을 설계할 때 필수적인 요구 사항입니다. 그리고 일반적으로 안전계수는 1보다 큰 값을 가지며 위험한 상태에 대한 불확실성이 높을수록 큰 값을 가지게 됩니다.

 정리하자면 위 그림에서 보여지는 안전율 계산 방식에서 '최대응력'이라는 분모는 구조물에 하중이 가해졌을 때 작용하는 응력 또는 그 하중을 의미하고, '허용응력'이라는 분자는 구조물이 견딜 수 있는 응력 또는 그때의 하중을 의미합니다. 일반적인 상황에서 안전율은 1보다 클 때 구조물이 안전한 상황이라고 하며 1보다 작은 값을 가질 때 위험한 상황이라고 분석할 수 있습니다.

일반적으로 사용되는 안전율의 범위

일반적으로 안전율을 단순히 계산하여 1을 넘는다고 해서 무조건 안전하다고 할 수는 없습니다. 해석을 수행하는 엔지니어의 경험이 부족하여 해석 결과의 신뢰도가 떨어지거나 재료의 물성치가 가지는 오차 또는 구조물에 하중이 가해지는 환경이 변할 가능성이 있기 때문입니다. 연성 재료를 사용한 구조물의 안전율 분석에 대해서는 아래에서 보여주는 안전율의 범위를 참고용으로 사용해보는 것도 좋은 방법입니다.

n = 1.25 ~ 1.50

하중 조건과 응력이 정확히 계산되고, 소재의 품질에 대한 신뢰도가 높고 무게를 특별히 줄이고자 하는 경우

n = 1.50 ~ 2.00

하중을 받고 있는 환경이 변하지 않고, 응력이 쉽게 계산되며 잘 알려진 소재의 경우

n = 2.00 ~ 2.50

보통의 환경 조건에서 하중을 받고 응력 계산이 가능하며 보통 소재인 경우

n = 2.50 ~ 4.00

환경, 하중, 응력 계산이 일반적이나 보통 사용되지 않느 소재의 경우

n = 3.00 ~ 4.00

환경의 변동이 심하고 응력이 불확실하나 잘 알려진 소재를 사용한 경우

일반적으로 유리, 콘크리트, 세라믹, 무쇠와 같은 취성(Brittle) 재료의 경우에는 인장, 압축 상태에 따른 허용 응력이 크게 차이가 있으므로 안전율을 약 2배 정도로 높게 설정하는 경우가 많습니다.

안전율 정의 방법

일반적으로 사용되는 연성(Ductile) 금속 재료의 경우 재료의 항복 강도(Yield stress)와 하중을 받은 구조물의 von-Mises 응력(Stress)를 비교하여 안전율을 계산합니다. 하지만 모든 경우에 같은 계산식을 적용하지는 않습니다. 재료의 성질에 따라 서로 다른 파손 이론을 적용하여 von-Mises응력 외에 주응력(Principal stress), 최대 전단 응력(Maximum shear stress) 등을 이용하여 분모(최대응력)로 계산할 수 있고, 항복 강도(Yield stress)가 아닌 최대 인장 강도(Tensile stress), 파단 강도(Fracture stress) 등을 분자(허용응력)로 적용해 계산할 수 있습니다. 이때는 구조물을 구성하는 재료의 파손을 비교적 정확하게 예상할 수 있는 파손 이론에 따라 적용해야만 한다. 일반적인 재료의 파손 이론은 아래와 같습니다.

최대 수직 응력 파괴 이론

인장 또는 압축상태에서 제1 주응력 또는 제3 주응력이 파괴 강도에 도달할 때 파괴가 발생합니다. 항복에 의한 파괴는 항복 강도에 도달할 때 발생하고, 취성 파괴에 의한 파손은 극한 강도에 도달할 때 발생합니다. 최대수직 응력은 주응력과 같은 표현입니다.

전단 응력이 0이 되는 단면 방향을 주축(principal axes)이라고 부르며, 2차원인 경우에는 서로 직각을 이루는 두 주축이 존재합니다. 두 주축과 수직한 단면에서의 응력을 주응력(principal stress)이라고 부릅니다.

최대 전단 응력(Tresca) 이론

최대 전단응력이 항복강도의 1/2과 같을 때 항복이 시작되며, 인장하중이 작용하는 방향과  45도를 이루는 면에서 파괴가 발생합니다. 열처리한 연성재료는 이 이론에 따라 파괴되는 경향이 있다. 이 이론은 항 복파괴만 예측하므로 연성재료일 경우에만 유효합니다. 최대 전단응력은 (최대주응력-최소주응력)/2로 계산되며, 최대주응력과 최소주응력이 이루는 평면에 대하여 45도 회전한 평면에서 발생한다. 이 이론은 항복이 재료의 원자 수준에서 전단 미끄러짐(shear slip)과 관련된다는 사실로부터 유추되었습니다.

최대 비틀림 에너지(von-Mises) 이론

가장 광범위하게 사용되는 이론으로, von-Mises 또는 유효응력이 재료의 항복강도에 도달할 때 항복에 의한 파괴가 발생합니다. 
이 유효응력(effective stress) 혹은 등가응력(equivalent stress)은 변형률 에너지 가설에 기초하여 유도되었으며 다음 식으로 표현됩니다.

다양한 재료의 허용 응력

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안전율을 적용한 보고서 작성 : 실제 CAE 시뮬레이션 사례

해석 목적 

- 국내 국립전파연구원 “접지설비 ·구내통신 설비 ·선로설비 및 통신 공동구 등에 대한 기술기준”제 9조에 준하여
  국내 태풍 재해환경에 맞는 안테나의 구조 안전성 검토를 수행
- 국내 건축구조 기준인 “KDS 41 30 : 2019”에 준하여 구조물의 부재 안전성과 주요 연결 볼트에 대해서 안전성 평가를 수행

주요 해석 결과 

- 고정하중 및 전면 풍/후면 풍(국내 10분 평균속도 45m/s 기준)에 대한 연결부 구조 안전성 검토 수행
- “KDS 41 30 10 : 2019”에 준하여 부재 안전성 검토 시 안전율 0.77로 구조적 위험성 확인
- 브라켓에 대하여 4t Rib 형상 보강 적용에 대한 검토 결과, 안전율 1.33으로 구조적 안전성 확인
- “KDS 41 30 25 : 2019”에 준하여 연결부 볼트의 인장/전단 안전성 검토 시 안전율 1.93 이상의 구조 안전성 확인

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