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물체는 형상, 재질 및 외부 구속상태에 따라 고유한 진동 특성을 나타낸다. 여기서 고유한 특성이란 외부에서 어떠한 동적 자극을 받지 않은 상태에서 그 물체가 가지는 본질적인 특성을 의미한다. 이러한 맥락에서 모드해석을 고유치해석(eigenvalue analysis)이라고도 부른다. 물체의 고유한 진동 특성이란 고유주파수(natural frequency 혹은 eigen frequency)와 이에 대응하는 고유모드(natural mode 혹은 eigen mode)를 의미한다.
고유모드란 물체가 주어진 구속상태에서 자유로이 변형될 수 있는 형상을 의미하고, 고유진동수란 이 고유모드가 단위 시간당 얼마나 빨리 반복되는가의 정도를 나타낸다. 예를 들어 시계추는 수직 축에 대해 일정한 각도로 좌우로 요동한다. 여기서 수직 축에 대해 일정한 각도로 기울어져 있는 시계 추의 형상이 고유모드에 해당되고, 1회 왕복하는데 걸리는 시간의 역수에 2π(약 6.14)를 곱한 값이 고유진동수가 된다. 참고로 1회 왕복하는데 걸리는 시간을 고유주기라고 부르고 이 고유주기의 역수를 고유주파수라고 부른다.
고유주기의 단위는 초(second)이며 고유주파수의 단위는 헤르쯔(Hz)이다. 고유진동수는 단위는 단위시간당 왕복한 각도이다. 시계추의 운동은 자유도(degree of freedom)가 한 개밖에 없기 때문에 고유모드와 고유진동수도 각각 하나밖에 존재하지 않는다. 다른 예로 한쪽 끝이 고정되어 있는 긴 나무판은 무한개의 고유모드와 고유진동수를 가진다. 왜냐하면 나무판이 변형될 수 있는 모양은 무한히 가능하기 때문이다.
고유진동수와 고유모드는 진동수가 낮은 값으로부터 높은 값으로 순차적으로 구분한다. 진동수가 낮은 값일수록 대응되는 고유모드의 형상은 단순하다. 낮은 고유진동수일수록 물체가 변형되기 쉬운 고유모드 형상을 의미하고 고유진동수가 높아질수록 고유모드는 변형하기 어려운 형상이 된다. 참고로 고유진동수와 고유모드의 개수는 자유도와 일치한다. 나무판의 경우, 나무판을 요소망(mesh)으로 분할하여 유한요소 해석(finite element analysis)을 수행하게 되면 고유진동수와 고유모드는 유한개로 줄어든다. 그 이유는 요소망으로 분할된 나무판의 변형 모양은 요소망이 가지는 자유도로 한정되기 때문이다.
한 쪽 끝이 벽에 완전히 고정되어 있는 가느다란 금속판의 다른 끝을 손으로 눌렀다가 놓으면 금속판은 아래 위로 진동한다. 그리고 진동하는 빠르기를 나타내는 고유진동수(natural frequency)는 단위시간당 진동한 사이클의 수로서, 한 사이클은 진동을 시작하여 다시 처음 위치로 되돌아 오는 것으로 정의된다. 태양을 중심으로 지구가 회전하는 원운동을 생각할 때 한 사이클의 정의를 쉽게 이해할 수 있으며, 이 때 회전한 각도로 나타내면 한 사이클의 진동은 각도로 환산하면
고유진동수는 물체의 형상, 재질 및 구속조건 등이 정해지면 절대로 변하지 않는 고유한 값이다. 그리고 고유진동수의 개수는 그 물체의 자유도(degree of freedom) 만큼 존재한다. 예를 들어 벽시계의 시계추는 자유도가 하나 밖에 존재하지 않기 때문에 하나의 고유진동수만을 가진다. 하지만 위에서 예를 든 금속판의 경우에는 탄성을 지닌 연속체(continuum body)로써 무한개의 자유도를 가지기 때문에 무한개의 고유진동수를 가진다.
고유진동수는 가장 낮은 값으로부터 시작하여 1차, 2차, …로 구분되며, 특히 1차 고유진동수를 기본 고유진동수(fundamental natural frequency)라고 부른다. 1차 고유진동수는 물체를 진동시켰을 때 가장 쉽게 변형할 수 있는 모양으로 진동하는 진동수를 의미하고, 고차로 갈수록 물체가 변형하기 어려운 모양으로 진동하게 되는 진동수를 나타낸다. 각각의 고유진동수로 진동하는 물체의 변형 모양을 해당 고유진동수에 대한 고유모드 형상(natural mode shape)이라고 부른다. 즉 1차 모드형상은 1차 고유진동수로 진동하는 물체의 진동형상을 의미하고, 앞서 말한 바와 같이 물체가 가장 쉽게 변형할 수 있는 모양을 의미한다.
한편, 감쇠(damping)를 고려하지 않고 계산한 고유진동수를 비감쇠 고유진동수(undamped natural frequency)라고 하고, 감쇠를 반영한 고유진동수를 감쇠 고유진동수(damped natural frequency)라고 부른다. 고유진동수와 고유모드를 구하는 수치해석을 모드해석(modal analysis)이라고 부른다.
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유한요소 해석에서는 구하고자 하는 물체의 거동을 요소망(mesh)내 각 유한요소(finite element)의 절점(node)에서의 값을 구하여 표현한다. 이것은 거동을 근사화 시키기 위해 사용되는 기저함수(basis function)의 특성에 따라 달라질 수도 있는데, 보편적으로 사용되는 기저함수는 라그랑지(Lagrange) 형식으로 각각의 기저함수는 자신의 함수번호와 일치하는 절점에서는 1의 값을 가지고 나머지 절점에서는 모두 0이 된다.
하지만 계층적 기저함수(hierarchical basis function)에서는 이러한 특성이 만족되지 않는다. 따라서, 라그랑지 혹은 계층적 유형에 따라 요소 내 절점의 위치는 판이하게 달라진다. 보편적으로 사용되는 라그랑지 유형의 요소에 있어서 절점은 요소의 각 모서리(vertex), 변(side), 면(surface) 그리고 내부(internal)에 위치한다. 요소의 차수(element order)와 무관하게 각 모서리는 항상 절점을 가지지만 나머지 위치에서의 절점 유무는 요소차수에 의존한다.
각 절점에서 물체의 거동값을 절점 자유도라고 부르는데, 각 절점에서의 자유도 개수는 풀고자 하는 물체 거동의 유형에 좌우된다. 예를 들어, 물체내 온도분포를 구하고자 하는 경우 각 절점에서의 자유도(degree of freedom) (즉, 미지수)는 하나이다. 하지만, 유속과 압력을 동시에 구하고자 하는 경우에는 각 절점에서의 자유도는 네 개가 된다 (2차원 문제의 경우에는 세 개).
따라서, 온도 분포를 구하는 해석문제에 있어서 총 자유도는 요소망내 총 절점수와 일치하지만, 거동값이 방향별 성분을 가지는 경우나 연계해석(coupled analysis)과 같이 여러 유형의 거동들을 동시에 구하는 경우는 총 자유도는 총 절점수보다 훨씬 많아지게 된다.
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우리 주위에는 하나 이상의 물체들이 특정한 관계를 가지면서 운동하는 조립체들이 많이 존재한다. 자동차 본체, 현가장치 그리고 타이어로 구성된 동적 시스템에 있어서 각 구성요소의 운동은 결코 독립적이지 않고 서로 특정한 구속조건 하에서 운동하게 된다. 이와 같이 특정한 관계를 가지면서 운동하는 시스템에 대한 속도, 가속도, 힘 그리고 모멘트 등을 다루는 학문을 다물체 동역학(multibody dynamics)으로 분류하고 있다.
지금까지 다물체 동역학은 각 구성요소의 변형(deformation)을 무시하고 강체(rigid body)로 가정하였다. 그 주된 이유는 각 구성요소의 변형을 함께 고려하게 되면 이론적 분석이 매우 복잡해져 그 해답을 구하기가 매우 힘들어 지기 때문이다. 하지만 최근 들어 컴퓨터의 활용과 수치기법의 급격한 발달로 각 구성요소의 변형을 반영한 유연 다물체 동역학으로 발전하고 있다. 수치기법에서는 시스템의 동적 거동(dynamic behavior)을 행렬방정식으로 전환하여 해답을 구하기 때문에 아무리 복잡하고 대형인 경우라도 근사적인 답을 구할 수 있다.
엄밀한 의미에서 지구상의 모든 물체는 정도의 차이는 있을지라도 외부로부터 힘이나 가속도를 받게 되면 모두 변형을 일으키는 유연체(flexible body)이다. 따라서, 구성요소들의 변형을 반영하지 않고서는 각 구성요소의 동적 거동을 정확히 분석할 수가 없다. 유연 다물체 동역학에서는 각 구성요소 내 모든 점에서의 상대적인 운동을 묘사해야 하기 때문에 종래의 강체 기반의 다물체 동역학에 비해 엄청나게 많은 자유도(degree of freedom)를 가진다는 특징을 지니고 있다. 그리고 이러한 본질적인 특성 때문에 이론적인 방법보다는 유한요소법(finite element method)을 접목한 수치적 접근방식이 주류를 이루고 있다.
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자유도(degree of freedom)가 N개인 물체는 그 물체의 고유한 진동 형상인 고유모드(natural mode)를 N개 지니고 있다. 참고로, 지구상의 대부분의 물체는 무한 개의 자유도를 가지고 있으며, 그 결과 무한 개의 고유모드를 가지고 있는 셈이다. 하지만 무한 개의 고유모드는 실제적으로 수치해석(numerical analysis) 으로 구할 수 없기 때문에, 요소망(mesh)의 크기에 비례하여 유한 개의 고유모드로 한정된다.
한편, 물체가 외부로부터 동적인 하중을 받아 시간에 따라 변하는 물체의 동적 거동은 물체가 지니고 있는 모든 고유모드의 조합으로 표현된다. 이러한 물체의 동적 특성을 이용하여 외란을 받는 물체의 동적응답을 고유모드의 조합으로 구하는 수치기법이 바로 모드 응답해석(mode response analysis)이다. 동적 거동에 미치는 각 고유모드의 참여도는 외부 동하중(dynamic load)의 주파수, 물체에 부여된 구속조건 등에 따라 좌우되며, 대부분의 경우 가장 저차의 고유모드가 가장 큰 참여도를 나타낸다. 그리고 고차 고유모드로 갈수록 동적 거동에 미치는 고유모드의 참여도는 급속도로 줄어든다.
충돌에 따른 자동차의 동적 찌그러짐을 시뮬레이션하는 경우, 자동차 모델이 갖는 엄청난 량의 자유도에 기인하여 모든 고유모드를 반영하여 모드 응답해석을 수행한다는 것은 실로 엄청난 해석시간을 요구하게 된다. 따라서, 기여도를 무시할 수 있는 고차 고유모드를 배제하고 한정된 수의 저차 고유모드들의 조합으로 자동차의 충돌 응답을 시뮬레이션 하게 된다. 이와 같이 참여도가 미미한 고차모드를 배제하는 것을 모드차단이라고 부르고, 일반적으로 외부 동적 하중이 갖는 주파수의 2~3배 이내의 고유 주파수(natural frequency)에 해당하는 고유모드들만 반영하고 그 이상의 고차 고유모드들은 배제시킨다.
한 물체의 기하학적 영역을 유한 개의 세부 영역들로 분할할 경우, 각 세부 영역 하나 하나를 유한요소(finite element)라고 부른다. 좁은 의미에서의 요소망은 이렇게 한 물체의 기하학적 영역을 유한개의 요소로 분할한 것 자체를 의미한다. 하지만 보다 정확한 의미에서의 요소망은 유한요소, 요소번호(element number), 절점(node) 및 절점번호로 구성된 하나의 유기적인 요소들의 네트워크(network)를 지칭한다.
요소망 내의 요소들은 1부터 순차적으로 번호가 부여되는데 이 번호를 요소번호라고 부른다. 요소번호는 각 요소를 구별하기 위해 필요한 일종의 명칭이다.
절점은 구하고자 하는 물체의 거동을 표현하기 위해 필요한 자유도(degree of freedom)가 부여되는 요소 상의 점을 의미한다. 절점의 위치는 요소의 모양과 종류에 따라 다양하다. 절점이 부여될 수 있는 요소상의 위치는 1차원 선요소(line element)에서는 요소의 양끝점과 선 요소의 내부에 존재하는 점, 2차원 삼각형 및 사각형 요소에서는 요소의 꼭지점(vertex), 모서리(edge)및 요소 내부에 위치하는 점이다. 3차원 요소들에 있어서는 꼭지점(vertex), 모서리(edge), 면(surface) 및 요소 내부의 점이다.
요소와 마찬가지로 한 요소망 내에 정의된 모든 절점들도 1부터 순차적으로 번호를 부여해야 한다. 각 절점에 부여된 번호를 절점번호라고 부른다. 절점번호는 그 절점의 기하학적 위치, 자유도 등의 정보를 관리하기 위해 필요하다.
스프링 상수가 K인 선형(linear) 코일스프링에 F라는 힘으로 잡아 당길 경우 늘어나는 길이가 d라고 하면, 2F의 힘을 가하게 되면 늘어나는 길이는 2d가 될 것이다. 그리고 반대로 F/2의 힘을 가하게 되면 늘어나는 길이는 그 절반이 될 것이다. 이 문제의 특징은 스프링에 가해지는 하중의 크기만 다를 뿐, 스프링의 크기 및 강성 그리고 늘어난 길이를 계산하는 방법에는 아무런 변화가 없다는 점이다.
이렇게 단순한 1 자유도(degree of freedom) 문제를 무한개의 스프링들이 밀집되어 있다고 생각할 수 있는 탄성체(continuum body)로 확장시켜 보자. 그리고 스프링에 가해졌던 하중이 달라졌던 것과 같이 이 탄성체에 가해지는 하중조건이 달라짐에 따라 변형이 어떻게 변할 것인지를 분석하는 문제를 생각해 보자. 이 문제에 대한 유한요소 근사화는 [K]{u}={F}라는 행렬 방정식을 푸는 문제로 귀착된다. 여기서 [K]는 물체의 기하학적 형상, 재료 물성치(material property), 요소망(mesh) 그리고 변위 경계조건(displacement boundary condition)에 의하여 결정되는 강성행렬(stiffness)이다. 그리고 {F}와 {u}는 각각 가해진 하중에 대한 하중벡터(load vector) 그리고 구하고자 하는 탄성체의 변위를 나타낸다.
앞서 코일 스프링의 늘어난 길이를 계산하는 것과 동일하게 이 경우에도 하중벡터만 달라지는 특징을 지니고 있다. 따라서, 하중벡터만 변화시키면서 탄성체의 변형을 구할 수 있는데, 이러한 수치기법을 다중 해석이라고 부른다. 그리고 각각의 하중벡터는 서로 다른 하중조건을 각기 하나의 하중 케이스로 정의하여 설정한 다중 하중 케이스(multi-load case)로부터 손쉽게 계산할 수 있다.
다중 해석은 하나의 해석문제를 계산하는 경우와 비교하여 그 방법과 절차가 동일하기 때문에 한 번의 전처리(preprocessing) 작업만으로 여러 하중조건을 다룰 수 있기 때문에, 해석을 위한 노력과 해석시간을 대폭적으로 줄일 수 있는 장점을 지니고 있다. 그리고 현재 시판되고 있는 대부분의 상용 유한요소해석 프로그램은 이 기능을 제공하고 있다.
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자유도는 모든 분야에서 광범위하게 사용되는 용어이기 때문에 어떤 특정한 분야에 한정하여 이 용어를 일률적으로 정의할 수는 없다. 다만 이 용어의 개략적인 의미는 ‘주어진 대상(집단)의 특정한 특성을 완전히 결정하기 위해 필요한 최소한의 독립적인 선택의 개수’ 정도이다.
예를 들어 열 명의 사람들 중에서 현재 네 명은 주말에 스케줄이 잡혀있는 반면 나머지 여섯 명은 스케줄이 잡혀있지 않다고 생각하자. 그러면 열 명을 주어진 대상으로 생각하고 스케줄을 특성이라고 한정할 때, 이 집단의 주말 스케줄에 대한 자유도는 6이 된다. 하지만 몇 일이 지나 추가로 두 명의 스케줄이 정해졌다면 자유도는 4로 줄어든다.
다른 예를 들면, 비행 중인 항공기의 위치는 위도, 경도 그리고 고도에 의하여 결정된다. 이 경우 한 대의 항공기는 주어진 대상에 해당되고 그 위치는 특성에 해당된다. 그리고 이 특성을 결정하기 위해 필요한 최소한의 독립적인 변수는 세 개이므로 자유도는 3이 된다. 이처럼 자유도는 대상과 그 대상의 특성이 무엇인가에 따라 달라진다. 만약 항공기의 위치뿐만 아니라 비행 자세까지도 특성에 포함시키면 자유도는 6으로 늘어난다. 왜냐하면 이 특성은 항공기 특정 부위의 위도, 경도 및 고도상의 위치뿐만 아니라, 특정 부위를 중심으로 한 세 축 방향으로의 항공기의 회전 각도에 의하여 완전히 결정되기 때문이다.
Ax=b라는 행렬식에 있어서 A행렬이 NxN의 크기라면 x는 N개의 자유도를 가진다. 하지만 만약 이 행렬방정식이 두 개의 구속조건을 가진다면 x는 N-2개의 자유도를 가지게 된다. 왜냐하면 N개의 미지수 중에서 두 개는 나머지 미지수들과의 구속 관계에 의해 자동적으로 결정되기 때문이다.
마지막 예로는 로봇과 인체 골격의 동작상태이다. 로봇은 유한개의 관절과 구동 모터로 구성되어 있기 때문에 로봇 전체의 동작은 유한개의 자유도로 표현된다. 반면 인체는 자유자재로 움직일 수 있기 때문에 무한대의 자유도를 가진다.
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유한요소 해석을 위해 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 여러 개의 작은 세부 영역들로 쪼개는 작업을 요소망(mesh)을 생성한다고 말한다. 그리고 각각의 세부 영역들을 유한요소(finite element)라고 부르는데, 이와 같이 요소망을 생성하는 이유는 구하고자 하는 물체의 거동을 근사하기 위해 사용되는 기저함수(basis function)를 아무리 물체의 형상이 복잡하더라도 체계적이고 효과적으로 정의하기 위함이다. 그리고 유한요소법이라는 이름이 붙여지게 된 근원이 바로 여기에 있다.
각각의 요소는 절점(node)이라 불리는 특정한 점들을 가지고 있는데, 이 절점들에서 물체의 거동값을 계산하여 요소망 전체에 걸친 거동의 전체 분포를 최종적으로 표현(근사)한다. 한편, 각 절점에서의 물체의 거동값은 물체 거동을 계산하기 위해 수치적으로 변환시킨 행렬 방정식의 미지수, 즉 자유도(degree of freedom)에 해당된다.
한 절점이 가지게 되는 미지수의 개수를 절점 자유도(nodal degree of freedom)라고 부르며, 풀고자 하는 물체 거동의 유형에 따라 달라진다. 요소 자유도란 한 요소내 각 절점에서의 자유도를 모두 합한 자유도를 의미한다. 예를 들어 절점 자유도가 3인 4개의 절점으로 구성되어 있는 사각형 요소의 요소 자유도는 12가 된다.
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