유한요소법(FEM, Finite Element Method)을 기반으로 하는 대부분의 CAE 해석 프로그램은 사용자가 불러온 모델(형상)에 대해 요소망(Mesh)을 만드는 과정으로 시작합니다. 설계 형상을 작은 영역으로 나누는 작업인 Mesh 생성은 왜 필요한걸까요? 요소망을 구성하는 절점(Node)과 요소(Element)는 무엇이며, 어떤 역할을 하고 있을까요?
목차
1. 요소망(Mesh)의 이해
2. 절점(Node)이란?
3. 요소(Element)란?
4. 요소망의 생성
5. 정규 요소망과 비정규 요소망
- 정규 요소망(Regular Mesh)
- 비정규 요소망(Irregular Mesh)
1. 요소망(Mesh)의 이해
물체의 기하학적 영역을 유한개의 세부 영역으로 나눌 경우 각 세부 영역 하나하나를 유한 요소(element)라고 합니다. 즉, 해석 대상의 형상을 작고 규칙적인 모양인 유한개의 요소로 나누는데 이때 생성된 요소들의 집합을 요소망(mesh) 또는 격자(grid)라 정의합니다.
요소의 분할은 절점의 위치를 정하게 되며, 요소의 경계에 생성되는 절점(node)은 요소들을 묶어주는 역할을 수행합니다. 인접한 요소들의 같은 위치에 있는 절점을 통해서 연결되어 요소망 내부에서 유기적인 네트워크 관계를 형성하며, 전체 구조물을 절점들의 변위를 미지수로 하는 연립방정식으로 나타낼 수 있습니다.
유한요소는 그 형상, 절점 혹은 요소 차수(element order)에 따라 구분됩니다. 2차원의 경우를 예를 들면, 형상에 따라 삼각형 혹은 사각형 요소로, 차수에 따라 1차, 2차 혹은 고차 요소로 구분된다. 그리고 3, 4, 8 혹은 9-절점 요소로도 구분하는데, 여기서 숫자는 한 요소가 가지는 절점의 개수를 의미합니다.
요소와 마찬가지로 한 요소망 내에 정의된 모든 절점도 1부터 순차적으로 번호를 부여해야 한다. 각 절점에 부여된 번호를 절점 번호라고 부르고 있습니다. 절점 번호는 그 절점의 기하학적 위치, 자유도 등의 정보관리를 위해 필요합니다.
2. 절점(Node)이란?
절점은 물체 거동에 대한 근사적 표현, 즉 유한급수 속에 포함된 자유도(degree of freedom)라 불리는 미지계수의 값이 부여되는 점입니다. 절점에 할당되는 미지계수의 값을 유한요소 해석에서는 절점 값(nodal value) 혹은 절점 자유도(nodal degree of freedom)라고 부릅니다. 물체의 거동이 온도와 같이 스칼라 함수인 경우에는 하나의 절점에 하나의 자유도가 부여되지만, 속도나 변위와 같이 벡터량인 경우에는 하나 이상의 자유도가 부여된다. 따라서 한 절점에 부여되는 절점 자유도의 개수 DOF/Node 는 다음과 같이 결정됩니다.
DOF / Node = 물체 거동 성분의 개수
요소망 내 절점의 총수가 N 개라고 가정하면, 요소망의 총자유도 NDOF 는 N X DOF/Node 가 됩니다. 예를 들어, 3차원 구조해석에 있어 요소망 내 총 절점 수가 100개이면, 각 절점은 3방향으로의 변위 성분을 절점 자유도로 가지므로 요소망의 총자유도는 300개가 됩니다. 따라서 동일한 요소망을 사용할지라도 해석의 대상이 되는 물체 거동의 유형에 따라 총자유도는 달라집니다.
유한요소 해석을 통해 풀어야 할 행렬방정식의 크기는 요소망이 가지는 총자유도로 결정되며, 총자유도는 요소망 내 절점의 총수와 절점 자유도의 곱으로 계산됩니다.
행렬방정식의 크기 ∝ NDOF = N × DOF / Node
3. 요소(Element)란?
구조물의 분할 과정은, 실제 구조물과 이에 작용하는 하중 등을 근사적으로 해석하기 위한 수치해석 모델을 구성하는 과정입니다. 유한요소법의 정확도는 연속체의 역학 문제를 표현하는 미분방정식에서 얻어지는 변형에너지와 유한요소법에서 이를 행렬식으로 표현했을 때 얻어지는 변형에너지 사이의 오차에 의해 좌우됩니다.
행렬식에서 얻어진 변형에너지를 원래의 정확한 변형에너지와 동일한 크기를 갖게 할 수만 있다면 이론적으로 유한요소법에서도 정확한 해를 얻을 수 있습니다. 전체 구조물을 유한개의 요소로 분할하는 과정에서 사용되는 요소의 종류, 형상 및 그 수를 결정하고, 절점의 위치를 정의하는 것이 유한요소법을 이용하여 정확한 해를 구함에 있어 매우 중요합니다. 이 분할 과정은 1차적으로 많은 경험을 거쳐서 얻은 공학적인 지식에 바탕을 둔 통찰력에 의한다고 할 수 있습니다.
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