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비열은 어떤 재료의 단위 질량의 온도를 1도 높이는 데 필요한 열량을 의미한다. 따라서 재료에 따라 고유한 값을 가지는데 비열이 클수록 해당 재료의 온도를 높이는데 더 많은 열량이 필요함을 의미한다. SI단위계에서 비열의 단위는 J/(Kg‧K)이다.
비열은 실험을 통하여 얻어지는데 일정한 압력 하에서 측정한 비열을 정압 비열(specific heat at constant pressure, cp )이라 하고, 일정한 부피 상태로 측정한 비열(specific heat at constant volume, cv )을 정적 비열이라고 한다. 고체와 액체의 경우에는 정압 비열과 정적 비열이 큰 차이가 없으나 열을 가할 때 일정한 부피를 유지하도록 만들기 어렵기 때문에 정압 비열을 재료의 비열로 간주한다. 기체는 가열하면 열팽창에 의해 외부 압력에 대해 일을 하게 되므로 정압 비열과 정적 비열이 달라지게 된다. 예를 들어, 부피를 일정하게 유지하면서 가열할 경우 가해진 열은 모두 용기 내 기체를 가열하는 데만 쓰여진다. 그러나 압력 P인 피스톤으로 눌려지고 있는 기체를 가열하면 기체가 팽창하면서 P∆V만큼의 일을 하게 되므로 가한 열의 일부가 기체를 가열하는 것에만 쓰이지 않고 외부에 일을 하는데 쓰이게 된다. 따라서 기체의 정압 비열은 정적 비열보다 크다. 그리고 정적 비열에 대한 정압 비열의 비를 비열비(specific heat ratio, cp / cv )라고 한다.
물체가 외부로부터 동적인 하중을 받아 진동하거나 운동하게 되면, 물체의 동적인 움직임을 저지하려는 힘, 즉 감쇠력(damping force)이 물체에 작용하게 된다. 감쇠력은 감쇠를 유발시키는 원인에 따라 구조감쇠(structure damping), 점성감쇠(viscous damping) 등 여러 가지 유형으로 분류된다. 그리고 감쇠의 크기 즉, 감쇠계수(damping coefficient)는 물체 그 자체 그리고 물체의 동적인 환경에 따라 변할 뿐만 아니라, 물체가 진동하는 주파수에 따라서도 현저한 변화를 나타낸다.
따라서, 해당 동적 시스템에 정확한 감쇠계수를 반영하기란 쉬운 일이 아니다. 감쇠를 수반한 동적인 거동을 유한요소 해석을 위한 행렬방정식으로 전환시키면 [C]라는 감쇠행렬이 생성된다. 이 감쇠행렬을 단순히 물체의 강성행렬(stiffness matrix)이나 질량행렬(mass matrix)에 상수를 곱하는 방식으로 계산하는 감쇠를 비례감쇠라고 부른다. 비례감쇠에는 강성행렬과 질량행렬의 선형조합(linear combination)으로 나타내는 레일레이 감쇠(Rayleigh damping), 질량행렬에만 상수를 곱하여 표현하는 질량 비례감쇠(mass proportional damping) 그리고 감성행렬에만 상수를 곱하여 표현하는 강성 비례감쇠(stiffness proportional damping)가 있다.
그리고 질량행렬과 강성행렬에 곱해지는 상수는 실험으로 구한 해당 물체의 감쇠비(damping ratio)에 맞도록 설정하게 된다. 한편, 세 가지 유형의 비례감쇠 중에서 어느 것을 사용할 것인가는 해당 문제의 동적 특성을 토대로 해석자가 경험에 비추어 선택하는 것이 일반적이다.
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유체와 구조물이 접해 있는 상황은 우리 주위에서 쉽게 발견할 수 있다. 저수지의 물과 댐, 각종 공업용수를 저장하고 있는 탱크 구조물, 비행 중인 항공기의 기체와 주위 공기의 흐름, 빗길을 주행하는 자동차 타이어의 수막현상과 같은 경우를 유체-구조물 연계 시스템(fluid-structure interaction system) 혹은 간단히 FSI문제라고 부른다. 이러한 문제에서는 유체의 압력과 구조물의 변형이 상호 영향을 미치는 연계효과를 나타낸다.
유한요소법을 필두로 하는 수치해석에서 이러한 문제를 시뮬레이션 하기 위해서는 상호작용을 반영시키기 위한 특별한 수치적 알고리듬이 요구된다. ALE 연계법은 그 중 하나로써, 임의 라그랑지-오일러 기법(arbitrary Lagrange-Euler Method)의 약어이다. 이 용어가 의미하듯이 이 기법은 라그랑지 기술법(Lagrange description)과 오일러 기술법(Euler description) 보다 확정된 일반화 된 기술법이다.
유체-구조물 연계에 있어 구조물의 변형은 유체 영역의 경계에 영향을 미치는 반면 유체의 압력은 구조물에 외부 하중으로 작용한다. 이러한 두 매질의 상호작용을 반영하기 위해서는 두 매질이 접하는 공통경계를 연계면(coupling surface)으로 지정하여 이 계면을 통해 두 매질간의 상호작용 데이터를 서로 주고받게 된다. 구조물의 변형은 일반적으로 라그랑지 요소망(mesh)으로 표현되는 반면 유체의 유동은 오일러 격자(Euler grid)로 표현된다. 이러한 경우, 유체 격자는 유동을 따라 움직이지 않고 공간 상에 고정되어 있기 때문에 유체의 자유표면(free surface)을 정의하기가 어렵다.
에이엘이 연계법은 이러한 문제점을 해결하기 위한 수치기법으로써, 자유표면에 해당하는 유체 격자를 유동과 함께 공간상에서 움직일 수 있도록 라그랑지 기술법을 채택하고 자유표면 근처에 존재하는 유체격자의 일부는 격자의 균일성을 유지하기 위하여 임의로(arbitrary) 재구성하는 방법이다. 따라서 유체격자가 고정되어 있는 부분은 완전히 오일러 기술법으로, 구조물과 유체의 자유표면은 완전히 라그랑지 기술법으로, 그리고 자유표면 근처의 유체 격자는 유동속도와 완전히 일치하지는 않는 라그랑지-오일러 기술법을 혼합시킨 방법이다.
이 기법은 유체-구조물 연계면상의 격자가 구조물의 요소망(mesh)과 유체의 격자(grid)가 완전히 일치해야 하기 때문에 연계면의 형상이 단순한 경우에만 사용할 수 있다. 참고로 연계면의 형상이 복잡한 경우에는 보다 일반화 된 오일러-라그랑지 연계법(Euler-Lagrange coupling)을 사용하고 있다.
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보(beam)는 길이가 상대적으로 긴 사각단면 구조물에 대한 수학적인 모델을 의미하는 추상적인 구조물(abstract structure)이다. 보나 기둥(column)은 기하학적인 측면에서 단면에 비해 길이가 상대적으로 긴 가느다란 부재이다. 하지만 외부에서 가해지는 하중이 축 방향인 경우를 기둥이라고 하고 그렇지 않은 경우를 보로 구분하고 있다. 보와 같은 부재의 거동을 모사하기 위한 수학적 표현, 또한 수학적 이론 그리고 이 이론에 따라 만들어 진 유한요소(finite element)에는 몇 가지 유형이 있다.
우선 차원(dimension)에 따라 1차원, 2차원 그리고 3차원 보요소로 나뉜다. 요소의 형상은 공통적으로 직선이지만 보 요소의 각 절점(node)이 가지는 자유도(degree of freedom)는 각기 다르다. 3차원 보 요소는 한 절점에서 세 직교 방향으로의 병진 자유도를 가지는 반면, 2차원 보 요소는 한 절점에서 보의 축 방향과 하중작용 방향으로의 병진 자유도만이 정의되어 있다. 한편, 1차원 보 요소의 경우에는 하중 방향으로의 횡 전단변형률(transverse shear strain)을 반영하느냐 그렇지 않느냐에 따라 구분된다. 이 것을 무시하게 되면 가장 단순한 오일러 보(Euler beam) 요소가 되는데, 이 경우에는 한 절점에서 보의 처짐만이 자유도로 정의된다.
횡 전단변형률을 포함한 경우가 티모센코 보(Timoshenko beam) 요소로서, 한 절점에서 보의 처짐과 기울기를 자유도로 가진다. 보 요소는 요소와 요소 사이에서 부재의 기울기가 연속적이지 않은 봉 요소(rod element)와는 확연히 구분된다.
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구조물이 심한 변형을 나타낼 경우, 물체의 기하학적 형상뿐만 아니라 하중 및 모멘트의 방향이나 물성치가 바뀔 수가 있다. 그리고 이렇게 과도한 변형을 나타내는 물체의 거동은 반복계산을 필요로 하는 비선형 해석(nonlinear analysis)으로 계산하게 된다.
모든 물리적 거동은 항상 변형된 현재 시점에서의 물체의 기하학적 영역 상에서 정의되는 값이기 때문에, 원칙적으로 현재 시점에서의 변형된 물체의 형상을 기준으로 계산되어야 한다. 이러한 측면에서 업데이티드 라그랑지 기법은 매 반복계산에 있어 현재 변형된 물체의 형상을 기준으로 다음 시점에서의 물체 거동을 구하는 비선형 해석기법이다. 따라서 이 기법에서는 초기 물체형상을 기준으로 다음 시점에서의 물체의 거동을 계산하고, 이 계산 결과를 이용하여 물체의 형상 및 하중 그리고 모멘트를 수정한 후, 수정된 물체의 형상 및 하중을 기준으로 다음 시점에서의 거동을 순차적으로 계산한다.
이 기법은 항상 초기 변형되기 전 물체의 형상을 기준으로 반복계산을 통해 물체의 거동을 계산하는 토탈 라그랑지언 기법(total Lagrangian method)과 현저한 차이를 나타낸다. 토탈 라그랑지언 기법에서는 변형된 물체의 형상, 하중, 변형률(strain), 응력(stress) 등을 모두 변형되기 전 초기 물체의 형상으로 변환시켜야 하는 어려움이 있다. 하지만 업데이티드 라그랑지언 기법에서는 이러한 변환에 따른 어려움이 전혀 없지만, 형상을 계속해서 갱신하는 과정에서 필연적으로 수치적인 오차가 수반되는 단점을 지니고 있다.
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자연형상에 대한 수치 시뮬레이션을 위하여 가장 많이 사용되고 있는 유한요소법(finite element method)의 가장 큰 특징이자 장점은 근사해(approximate solution)를 표현하기 위해 사용되는 보간함수(interpolation function)를 요소망(mesh)을 이용하여 체계적으로 정의할 수 있다는 점이다.
그런데 요소망 내 각각의 요소(element)와 절점(node)은 상호간에 유기적인 연결성(connectivity)을 항상 유지해야 하는데, 이러한 조건을 만족시키는 요소망을 생성하는데 소요되는 시간은 물체의 형상이 대형화 되고 복잡해질수록 기하급수적으로 증가한다. 하나의 유한요소 해석 작업에 소요되는 총 해석시간의 대부분이 요소망 생성에 할당된다고 하여도 과언은 아니다.
이와 같은 요소망 생성이 안고 있는 본질적인 단점을 해결하고자 탄생된 수치해석 기법이 바로 무요소기법이다. 무요소기법에서는 대상 물체의 기하학적 영역을 여러 개의 작은 영역들로 세분화 시키지 않고, 영역 내에 유한개의 점들을 흩뿌리고 각각의 점을 중심점으로 한 보간함수들을 정의하여 근사해를 표현한다. 각 점에 대한 보간함수는 해당 점을 중심으로 작은 영영 내에서만 정의되는데, 중요한 사항은 각각의 작은 영역들은 유한요소(finite element)와 같이 정확히 접해야 할 필요는 없다는 점이다.
물론 유한요소와 같이 각 점을 중심으로 한 작은 영역들의 조합은 대상 물체의 기하학적 영역을 완전히 채워야 하지만, 유한요소법에서와 같이 엄격한 연결성이나 접합성을 필요로 하지는 않는다는 장점을 지니고 있다. 하지만, 무요소법이 안고 있는 가장 큰 난점은 행렬을 유도하기 위한 수치적분(numerical integration)과 변위 경계조건의 적용이다.
이러한 문제를 해결하기 위해 여러가지 추가적인 기법들이 소개되었지만, 궁극적으로 기존의 유한요소법에서의 요소망과 가우스 구적법(Gauss quadrature rule)을 활용한 수치적분을 사용하고 있으며 벌칙기법(penalty method)과 같은 기존의 기법들을 채택하고 있다. 더욱이 3차원 문제나 형상이 복잡하고 대형인 경우, 물체 내에 흩뿌려진 점들과 이에 해당하는 보간함수를 체계적으로 생성하기가 어려운 문제에 직면하고 있다. > 무요소법 더 자세히 보기🔎
임의 물체에 외부로부터 힘이나 열과 같은 자극을 가한다는 것은 물리적인 관점에서 물체에 일 혹은 에너지를 공급하는 것이다. 그렇다면 이렇게 외부로부터 공급된 일이나 에너지는 물체를 변형(deformation)시키거나 온도를 높게 한다. 여기서는 단지 힘과 열에 대해서만 언급하였지만 외부로부터 공급되는 일이나 에너지의 유형은 매우 다양하다.
만일 공급된 일이나 에너지가 어떠한 형태로든지 빠져나가지 않고 저장된다면 일과 에너지는 보존된다고 말하고, 이러한 경우를 보존적(conservative)이라고 정의한다. 그리고 내부에 보존된 일과 에너지는 외부에서 작용하는 힘이나 열적 자극이 제거되면 물체를 원래 상태로 복원시키는데 사용된다. 예를 들어, 금속판을 힘으로 굽히는 박판 성형에 있어, 외부에서 가한 일은 물체의 변형에 따른 변형률 에너지(strain energy)로 축적된다. 그리고 이렇게 축적된 변형률 에너지는 외부의 힘이 제거되었을 때 금속판을 원래 상태로 복원시키는 내력(internal force)으로 소모된다.
하지만, 실제 상황에 있어서는 외부로부터 공급된 일이나 에너지는 모두 저장되지 않고 일부는 빠져나가게 된다. 변형률 에너지 밀도(strain energy density)란 외부 힘에 의하여 변형되는 물체 내부에 저장되는 단위 체적당 변형률 에너지로 정의된다. 그리고 이러한 변형률 에너지 밀도의 양을 수학적인 함수형태로 표현한 것을 변형률 에너지 밀도 함수라고 부른다. 변형률 에너지 밀도 함수는 주로 변형률 불변량(strain invariant)과 물체에 따라 달라지는 고유상수들로 표현되며, 고유상수들은 시편시험을 통해 결정된다.
대표적인 경우로 고무와 같은 초탄성 재료(hyperelastic material)를 위한 문리-리브린(Moonley-Rivlin), 오거던(Ogden), 여(Yeoh) 함수를 들 수 있다. 변형률 에너지 밀도함수를 변형률로 미분을 취하게 되면 응력(stress)을 구할 수 있기 때문에, 초탄성 재료의 재료 물성치(material property)는 이 밀도함수로 유한요소 해석 프로그램에 입력된다.
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유한요소해석(finite element analysis)을 위해 물체의 형상을 유한 개의 세분 영역들로 나누어 놓은 요소망(mesh) 내 각각의 요소들은 인접한 요소들과 맞붙어 있다. 1차원 선 요소(line element)의 경우에는 좌우 끝 점들은 인접한 좌우 요소들의 끝 점과 정확하게 공유된다. 2차원 삼각형 혹은 사각형 요소는 인접한 요소들과 요소의 변(edge)을 공유하게 되고, 3차원 요소의 경우에는 인접한 요소들과 요소 면(surface)을 공유하게 된다. 만약 한 요소가 하나의 끝 점, 하나의 변 혹은 하나의 면을 통해 오직 하나의 이웃 요소와 접하게 된다면, 이러한 요소망을 정규 요소망(regular mesh)이라고 부른다. 현재 시판되고 있는 대부분의 유한요소 해석 프로그램은 정규 요소망을 사용하고 있다.
하지만, 그렇지 않고 한 요소가 자신의 한 끝 점, 한 변 혹은 한 면에서 하나 이상의 이웃 요소들과 접하게 된다면 이 요소망을 비정규 요소망이라고 부른다. 비정규 요소망은 작은 요소 수로도 높은 해석 정확도를 제공할 수 있는 장점을 지니고 있기 때문에 국부적인 요소망 세밀화(mesh refinement)를 위해 매우 유용하다. 그리고 최근에 소개되고 있는 적응적 hp-유한요소법(adaptive hp-FEM)에서는 이러한 비정규 요소망을 채용하고 있다.
예를 들어, 해의 특이성(singularity)이 존재하는 특정 지점에만 요소망이 매우 조밀하도록 편향 요소망(gradient mesh)을 생성하고자 할 경우, 비정규 요소망은 요소망의 편향(gradient)을 급진전 시킬 수 있기 때문에 최소의 요소 수로 특이점에만 요소망을 매우 조밀하게 조절할 수 있다. 일반적으로 비정규 요소망에서는 1:2의 비율로 하나의 요소가 두 개의 이웃 요소들과 접하도록 하고 있는데, 그 이유는 이 비율이 해석의 안정성과 신뢰성 측면에서 최적이기 때문이다.
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유한요소 해석의 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 여러 개의 작은 영역으로 세분화 시킨 요소망(mesh)은 일련의 유한요소(finite element)들과 절점(node)들로 구성되어 있다. 그런데 이러한 요소망이 만족해야 할 두 가지 기본조건은 인접한 유한요소들은 마치 퍼즐게임과 같이 물체의 전체 영역을 완전하게 메우면서도 인접한 요소의 영역을 절대로 침범해서는 안 된다. 그 결과 요소망 내의 모든 요소들은 인접한 요소들과 공유 절점들을 통하여 유기적인 그물망을 형성하게 된다.
다시 말해, 인접한 요소들이 절점을 공유함으로써 요소망 내 모든 요소들은 완전한 연결성(connectivity)을 유지하게 되는 것이다. 이와 같이 요소망내 모든 요소들의 절점들이 인접한 요소들의 절점들과 완전히 일치하도록 생성된 요소망을 접합 요소망(compatible mesh)이라고 부른다. 하지만 조립체와 같이 하나 이상의 부품들로 구성된 경우에는 상황이 달라질 수 있다. 한 부품의 요소망과 인접한 다른 부품의 요소망은 각기 개별적으로 생성될 수 있고, 그 결과 서로 결합하게 되는 계면(interface) 상에서 두 요소망의 절점들이 일치하지 않을 수 있다.
이와 같이 서로 다른 두 요소망이 계면에서 절점들이 일치하지 않도록 생성된 요소망을 비접합 요소망이라고 부른다. 이러한 비접한 요소망을 계면에서 결합시키기 위해서 몇 가지 기법들이 사용되고 있다. 첫째는 강체요소(rigid element)와 같은 특수 요소를 이용하여 계면 상의 두 요소망의 절점들을 연결시키는 방법이고, 다른 기법으로는 벌칙기법(penalty method)이나 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method)을 이용하여 계면 상의 절점들을 서로 구속시키는 방법이다. 비접합 요소망은 접촉해석(contact analysis)에서 빈번하게 발생하기 때문에 이러한 요소접합 기법들에 대한 충분한 지식을 숙지하고 있어야 한다.
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