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자연계에서 발생하는 현상을 재현하거나 그 현상을 규명하는 방법에는 크게 두 가지로 분류할 수 있다. 첫째는 실험적 방법으로 그 현상을 규명하기 위하여 실험장치를 제작하고 필요한 측정장비를 이용한다. 다른 하나는 이론적인 분석으로 그 현상을 지배하는 원리와 조건을 보통 미분방정식이라 불리는 수학적 표현식에 대한 해답을 이론적으로 푸는 것이다.
이 두 가지 방법은 각기 장점과 단점을 지니고 있다. 전자의 경우에는 대상이 되는 현상을 직접 눈으로 볼 수 있지만 단점으로는 실험장치를 구성하기 위해 많은 돈과 시간 그리고 노력이 요구된다. 또한 실험적으로 재현할 수 없는 경우도 종종 있다. 후자의 경우는 실험장치를 필요로 하지 않기 때문에 재정적인 부담은 적지만, 실제 자연현상을 규명하기에는 많은 한계가 따른다. 왜냐하면 대부분의 자연현상은 그 대상이 되는 물체의 형상이 매우 복잡하기 때문에 수학적으로 풀 수가 없다.
우리가 손으로 푸는 미분방정식은 거의 대부분 형상이 매우 단순한 문제에만 국한되어 있기 때문이다. 따라서 이론적인 방법의 단점을 극복하기 위한 방법이 수치해석이다. 수치해석은 수학적 표현식에 대한 정확한 해답을 푸는 것이 아니라, 컴퓨터를 이용하여 근사해(approximate solution)를 구하는 방법이다.
모든 수치해석 기법의 공통점은 미분방정식을 행렬방정식으로 변환하고 이 행렬방정식을 컴퓨터를 이용하여 푼다는 점과 그 답이 정답이 아니라 근사해라는 점이다. 미분방정식을 행렬방정식으로 전환하는 방법에는 여러 가지 기법이 있는데, 어떻게 행렬식으로 전환시키느냐에 따라 수치해석 기법이 분류된다. 유한요소법(finite element method)은 대상 물체의 영역을 다수의 유한요소(finite element)로 나누어 효과적으로 행렬 방정식으로 전환시키는 기법이다.
따뜻한 커피를 종이로 된 커피잔 보다 자기로 된 커피잔에 담아 마시면 커피를 보다 오랫동안 따뜻하게 유지할 수가 있다. 이것은 종이보다 자기가 열을 잘 전달하지 못하기 때문이다. 한편, 금속과 플라스틱으로 만든 두 물체에 동일한 힘을 가하면 플라스틱이 더 많이 찌그러진다.
자기로 된 커피잔이 커피를 보다 따뜻하게 유지하는 이유는 열을 공기 중으로 전달하는 성질이 종이컵보다 낮기 때문이고, 플라스틱이 보다 많이 찌그러지는 이유는 플라스틱이 금속보다 약하기 때문이다. 열을 전달하는 정도를 나타내는 재료의 고유한 특성치에는 열전달계수(heat conduction coefficient)가 있으며, 재료의 강한 정도를 나타내는 고유한 특성치로는 탄성계수(elastic modulus)가 있다.
이처럼 자연계에서 관찰되는 다양한 거동들을 결정짓는 재료 고유의 특성치를 재료 물성치라고 부른다. 그리고 관심의 대상이 되는 재료 거동의 유형에 따라 각기 다른 재료 물성치가 필요로 한다. 다시 말해, 임의 물체의 열전달에 관련된 물성치, 강도에 관련된 물성치, 전자기 흐름에 관련된 물성치와 같이 다양한 종류의 재료 물성치를 가지고 있다.
이러한 재료 물성치는 특별히 제작된 측정장비를 이용하여 실험적으로 구할 수 있다. 대표적인 예가 인장시험기로서 각종 재료의 인장강도, 즉 탄성계수와 프와송 비(Poisson’s ratio)를 측정하기 위하여 매우 광범위하게 사용되고 있다.
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최적이란 용어는 효율이라는 용어와 밀접한 연관성을 가진다. 여기서 효율은 얼마를 투자하였을 때 얼마만큼의 성과를 얻었는가를 나타내는 투자 대비 성과의 상대적인 비율이다. 예를 들어 똑같은 제품을 만원을 들여 만든 경우와 이만원을 들여 만든 경우를 비교하면 전자의 경우가 후자에 비해 효율적인 측면에서 두 배이다. 물론 이 계산에는 만드는데 소요된 시간은 동일하다고 가정하였다.
보다 엄밀한 의미에서 최적이란 주어진 조건 하에서 발휘할 수 있는 최대의 효율, 즉 최고의 성능을 의미한다. 그리고 이렇게 제품을 설계하는 기술을 최적설계라고 부른다. 여기서 주어진 조건이란 제약조건을 의미하며, 제약조건의 심각성에 따라 얻을 수 있는 최고의 성능은 당연히 달라질 것이다.
예를 들어 크기, 무게 그리고 가격이 얼마 이상을 초과해서는 안 된다는 제약조건 하에서 설계한 제품과 이러한 제약 조건이 없는 상태에서 설계한 제품의 성능은 분명 다르기 때문이다. 다른 한편, 어떠한 제품의 성능은 여러 가지 요인의 영향을 받는다. 예를 들어 자동차의 주행 성능은 타이어, 엔진, 차체 무게 등과 같은 요인에 지대한 영향을 받는다.
최적설계란 주어진 제약 조건하에서 얻을 수 있는 최고의 성능을 발휘하도록 제품을 설계하는 기술을 의미한다. 이러한 최적설계를 위해서는 각 설계변수(design variable)가 해당 제품에 미치는 영향력을 파악해야 한다. 그리고 이 영향력을 분석하는 것을 민감도 해석(sensitivity analysis)이라고 부른다. 한 제품의 최적설계 과정은 제품이 목표로 하는 성능의 설정, 각종 제약조건의 설정, 성능에 지대한 영향을 미치는 설계변수의 설정, 각 설계변수의 민감도 해석, 그리고 최적의 설계변수 조합을 찾는 것으로 구성된다. > 최적설계 더 자세히 보기🔎
지구상의 모든 물체는 항상 주위의 다른 물체나 매질과 접촉하고 있다. 그리고 주위 물체나 매질로부터 힘, 모멘트, 열, 전자기력 등과 같은 다양한 유형의 영향을 외부로부터 받고 있다. 예를 들어, 탁자 위에 놓여 있는 한 권의 책은 탁자로부터 수직 저항력이라 불리는 반력과 중력을 받고 있다. 또 다른 예로, 불에 달군 쇳덩이를 집게로 공기 중으로 끄집어 내면 쇳덩이의 열은 집게와 공기를 통해 방출되어 온도가 내려간다.
자유물체도란 관심의 대상이 되는 물체를 접하고 있는 외부의 물체 혹은 매질로부터 분리시키는 대신 외부로부터 받는 영향들을 경계조건(boundary condition)으로 대체시켜 표현한 도식이다. 여기서 외부로부터 받는 다양한 영향들 중에서 경계조건으로 포함시켜야 할 것들은 관찰하고자 하는 물체 거동의 유형이 무엇인가에 따라 결정된다. 그리고 분리시키고자 하는 물체의 대상은 관찰하고자 하는 물체의 범위에 따라 결정된다. 따라서 하나의 물체가 될 수도 있고 여러 개의 부품으로 구성된 조립체가 될 수도 있다.
한편, 경계는 분리시킨 물체 혹은 조립체 전체의 외곽을 의미한다. 자유물체도는 대상이 되는 물체 혹은 조립체의 거동을 효과적으로 분석하기 위해서 필요하다. 왜냐하면 모든 물체는 외부와 접촉하고 있기 때문에 분리시키지 않고는 접촉하고 있는 모든 물체나 매질들을 함께 고려해야 하기 때문이다.
자유물체도를 이용할 때 유의해야 할 점은 외부로부터 받는 영향을 정확하게 경계조건으로 반영해야 한다는 점이다. 이것이 불가능할 경우, 접촉하고 있는 외부 물체의 일부 혹은 전부를 포함시켜 거동을 분석해 한다.
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물체는 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 저항하는 능력을 지니고 있다. 이러한 저항능력을 그 물체의 강도(strength)라고 부르고, 이 강도를 나타내는 값들로는 영률(Young’s modulus)이라 불리는 탄성계수(elastic modulus)와 전단탄성계수(shear elastic modulus)가 있다. 이러한 값들은 물체를 이루는 재질에 따라 다를뿐더러 동일한 재질이라고 하더러도 상황에 따라 변한다.
가장 대표적인 경우가 피로(fatigue)에 의한 강도 저하이다. 물체가 반복하중, 특히 인장(tension)과 압축(compression)이 반복되는 하중을 받게 되면 물체 내부에 미세한 균열(crack)들이 발생하면서 강도가 지속적으로 저하하게 된다. 이러한 현상을 물체의 피로라고 부르고, 피로가 누적되어 파단 되는 현상을 피로파괴(fatigue failure)라고 부른다.
피로에 따른 강도저하를 그래프로 나타낸 것을 S-N선도라고 부른다. 특정 재료에 대한 S-N선도는 재료의 시편(specimen)을 만들어 특수한 피로시험기 장비를 이용하여 반복하중 횟수(N)에 따른 강도(S)를 측정하여 그래프로 만든 것이다. 이 S-N선도는 피로에 취약한 용접부위(welding part)나 변동이 심한 동하중을 받는 물체내 국부영역의 피로수명(fatigue life) 예측에 매우 효과적으로 활용되고 있다.
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고무줄에 힘을 가하여 잡아 당기면 길이 방향으로 늘어났다가 힘을 제거하면 초기 상태로 되돌아 간다. 하지만 진흙 덩어리와 같은 물체는 힘을 가하여 임의 형상으로 찌그러뜨리면 힘을 제거하여도 초기 형상으로 되돌아 가지 않는다. 전자와 같은 물체의 성질을 탄성(elastic)이라고 부르고 후자와 같은 성질을 소성(plastic)이라고 부른다.
위에서 설명한 것과는 달리 지구상의 대부분의 물질은 이 두 가지 성질을 모두 지니고 있고, 어느 성질이 더 우세한가는 물질의 종류, 외부 하중의 크기 그리고 변형(deformation) 형상에 좌우된다. 예를 들어, 가느다란 금속 판에 길이방향으로 서서히 힘을 가하여 잡아당긴다고 생각해 보자. 초기 변형량이 크지 않은 범위에서는 길이 방향으로 늘어나는 길이는 가하는 힘에 비례적으로 증가한다. 하지만 힘의 크기가 특정한 값을 초과하게 되면 늘어나는 길이와 힘은 더 이상 비례관계를 유지하지 않을뿐더러, 힘을 제거하여도 물체의 늘어난 량이 완전히 없어지지 않는다.
일반적으로 힘과 늘어난 길이가 비례관계에 있는 물체의 변형을 탄성변형(elastic deformation)이라고 부르고, 이 탄성영역을 초과하여 힘을 가하면 물체는 소성변형(plastic deformation)을 나타내기 시작한다. 물체의 늘어난 량에 대한 외부 힘의 상대적인 비를 탄성계수라고 부르고, 보다 정확한 공학적인 정의는 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)의 탄성범위 내에서의 기울기이다.
탄성계수(elastic modulus)는 영률(Young’s modulus)이라고도 많이 불린다. 탄성계수는 프와송 비(Poisson’s ratio)와 함께 물체 내부의 저항력인 응력과 물체의 변형된 정도를 나타내는 변형률을 연관시키는 주요한 재료 물성치(material property)이다.
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자연계에서 일어나고 있는 대부분의 현상들은 공간 상의 위치와 시간에 따라 그 거동이 변하는 것이 일반적이다. 바람의 속도나 대기 온도만 생각하더라도 쉽게 이해할 수 있을 것이다.
하지만, 어떠한 특수 거동들은 시간이 경과해도 일정한 상태를 유지한다. 대표적인 경우가 벽걸이 시계 추의 요동으로서, 시간과는 무관하게 항상 일정한 속도로 진동한다. 이처럼 시간과 무관한 일정한 거동을 정적인 거동(static behavior)이라고 부르고, 그렇지 않은 경우를 동적인 거동(dynamic behavior)이라고 부른다.
정적인 거동은 시간에 따른 변화가 없기 때문에 공간 상의 위치에 따른 변동만을 분석하면 되기 때문에 동적인 거동에 비하여 훨씬 간단하다. 이렇게 시간이란 변수를 배제하고 공간 상의 위치에 따른 거동만을 분석하는 것을
한편 시간에 따른 결과의 변화까지를 포함한 해석을 동해석(dynamic analysis) 혹은 비정상상태(unsteady state) 해석이라고 부른다. 냉장고 내부의 온도분포는
어떠한 자연현상은 초기에는 비정상상태 거동을 나타내지만 어느 정도 시간이 경과하면 정상상태 응답(steady state response)을 나타낸다. 대표적인 경우로 일정한 온도를 유지하고 있는 물 속에 고온의 쇳덩어리를 담구었을 때의 열전달 현상이다. 초기에는 물의 온도는 증가하고 쇳덩어리의 온도는 감소한다. 하지만 두 물체의 온도가 같아지는 시점부터는 시간에 따른 온도변화는 더 이상 발생하지 않는다. 그리고 이러한 특수한 거동을 나타내는 문제에 있어서는 해석의 목적에 따라 동해석 혹은
물체가 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 물체의 모양과 위치가 변할 뿐만 아니라, 물체 내부에는 저항하려는 내력이 발생한다. 물체의 모양이 변하는 정도를 나타내는 단위 길이당의 변형 즉, 변형률(strain)과 저항력의 크기를 나타내는 단위 면적당의 내력, 즉 응력(stress)과의 사이에는 특정한 관계가 있다.
영국의 자연철학자인 로버트 후크(Robert Hooke, 1635~1703)는 용수철의 힘과 변형량과의 관계로부터 탄성체(elastic material)의 변형률과 응력 사이의 관계를 최초로 정립하였다. 용수철에 가해지는 힘과 늘어난 길이는 용수철의 강한 정도를 나타내는 스프링 상수(spring constant)를 통해 상관관계를 가진다.
용수철을 잡아당기는 것은 1차원적인 변형으로 이러한 단순한 거동을 3차원 물체에 적용하기 위해서는 프와송 효과(Poisson’s effect)를 고려하여야 한다. 즉 3차원 물체를 한 방향으로 잡아당기면 서로 직교하는 다른 두 방향으로는 물체가 줄어드는 현상이 발생한다. 따라서, 한 방향으로의 힘(혹은 응력)은 세 방향으로의 변형과 서로 연관된다.
이 경우, 연관성을 지어주는 물체 고유의 재료 물성치(material properties)는 영률(Young’s modulus)이라 불리는 탄성계수(elastic modulus)와 프와송 비(Poisson’s ratio)이다. 혹은 프와송 비 대신에 전단 탄성계수(shear elastic modulus)가 사용되기도 하는데, 이 계수는 탄성계수와 프와송 비로 표현되는 물성값이다.
이처럼 모든 물체에 있어 응력과 변형률과의 관계를 물체 고유의 재료 물성치를 이용하여 표현한 것을 총체적으로 후크의 법칙이라고 부른다.
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하중을 받으면 물체는 변형되고 물체의 내부에는 외력에 저항하려는 내력 즉, 응력(stress)이 발생하게 된다. 지구 상의 대부분의 물체는 연속적이고 조밀한 분포를 가진 입자들로 구성되어 있다. 이러한 측면에서 연속체(continuum material)라는 용어를 사용하고 있으며, 변형이나 응력과 같은 물체의 거동은 물체 내에서 연속적인 분포를 나타낸다.
그런데 이러한 물체의 거동을 유한요소해석(finite element analysis)과 같은 수치기법으로 근사해(approximate solution)를 구하게 되면 변형은 연속적인 분포를 나타내지만, 변형률(strain)과 응력은 요소망(mesh) 내 이웃한 유한요소(finite element) 사이에서 불연속성을 나타낸다. 그 이유는 다름아닌 물체의 변형을 근사화 하기 위해 사용되는 보간함수(interpolation function, 혹은 기저함수(basis function)라고도 불림)의 특성 때문이다.
유한요소해석에 사용되는 대부분의 보간함수는 기본적으로 인접한 요소 사이에서 연속적이지만 이 함수의 미분은 요소 사이에서 불연속적이다. 변형률과 응력은 모두 변형의 미분으로 정의되기 때문에 결국 변형률과 응력은 인접한 요소 사이에서 불연속적인 분포를 나타내게 되는 것이다. 하지만 우리가 상용 유한요소해석 프로그램을 사용하여 화면상에 응력을 출력하면 인접한 요소 사이에서 연속적인 분포를 보여준다. 이것은 프로그램 내에서 불연속적인 변형률과 응력을 연속적인 분포를 갖도록 인위적으로 수정하기 때문이다.
대부분의 경우 인접한 요소들의 공동 경계면(interface)에서의 변형률 혹은 응력값의 평균을 취하여 연속적인 분포로 수정하고 있다. 이처럼 인접한 요소 사이에서 불연속한 응력값의 평균을 취하여 정의한 응력을 평균응력이라고 부른다.
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