최적 설계란 무엇인가

2022.07.08 민승재 교수

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기술용어통

전문가 칼럼

토목, 건축 구조물은 물론 항공기, 선박, 자동차 등으로 대표되는 구조물 설계에서 안전을 고려한 설계, 즉 구조의 강도 설계가 중요하다. 이것은 구조물의 파손 또는 파괴가 많은 인명피해가 예상되는 대형 사고와 연결되기 때문이다. 그러나 안전성 확보를 위해서 설계 대상물에 재료나 비용을 무제한으로 쓸 수도 없다.

 

목차

 

1. 서론

2. 치수 최적 설계

3. 형상 최적 설계

4. 위상 최적 설계

5. 맺음말

 

1. 서론


특히 항공기나 자동차 등의 구조설계에서는 안전성과 동시에 경량화 또한 중요시되고 있다. 이러한 구조의 경량화를 위해서는 안정성 및 제작비용에 관한 제약조건을 만족하면서 설계목적을 달성할 방법이 필요하다. 즉, 구조설계에 관한 최적화문제이다.


구조 최적 설계 분야는 효과적인 구조설계에 대한 이해를 증진하고 설계 엔지니어에게 체계적이면서 신뢰성 있는 구조 설계 방법을 개발하는 것을 목표로 한다. 따라서 설계된 구조를 평가할 수 있는 구조해석 방법과 효율적인 구조설계를 위한 최적화 방법을 포함한다. 일반적으로 구조물의 최적 설계에서는 구조물의 전체중량을 목적함수로 취하는 경우가 많고, 구속조건으로 최대응력, 최대변위, 국소 좌굴 등의 구조역학적인 조건, 설계상의 기하학적 제약조건, 구조부재의 제작에 따른 제약 등이 있다.


경제성보다 안전성이 우선인 항공기의 최적 설계에서는 제작상의 제약 등은 문제가 되지 않는 대신에 구조역학적 구속조건이 중요하다. 또한 구조부재 자체도 복잡한 형상이 아니므로 중량의 정의나 최대응력, 최대변위 등의 구속조건은 비교적 간단히 기술할 수 있다.

 

구조물의 최적 설계 문제는 설계변수에 따라 치수(size), 형상(shape), 위상(topology)의 세 가지 문제로 구분할 수 있다.

 

 

2. 치수 최적 설계

 

구조 최적 설계의 대부분은 치수 문제를 중심으로 최적 설계이론이 형성되어 왔다. 골조구조를 형성하는 트러스나 보의 단면 형상을 정의하는 치수, 평판이나 쉘의 두께, 섬유 강화재의 섬유 밀도나 방향 등이 설계변수인 치수 문제에서는 구조물의 형태(configuration) 자체는 최적 설계과정에서 변하지 않고 역학 모델이 그대로 유지된다. 따라서 구조물의 상태방정식이나 운동방정식을 해결하기 위한 유한요소법, 차분법, 경계요소법 등으로 대표되는 이산화 방법의 모델에서 기하학적 부분은 최적화 과정을 통해도 변화가 없다.

 

그러므로 구조 최적 설계 문제는 정식화에 사용되는 목적함수나 제약(구속)조건의 감도를 계산해 적당한 순차적 선형 근사법으로 최적화를 수행하면 최적해를 구할 수 있다. 최적화 방법이 다르면 그에 상응하는 감도나 함수값을 계산하면 된다. 일반적으로 치수 문제는 구조물의 응력해석, 최적 문제의 정식화에 표현된 함수의 설계변수에 관한 감도해석, 최적화 방법의 세 가지 모듈로 구성된 시스템이 가능하고 범용으로 사용할 수 있는 구조 최적 설계용 컴퓨터 소프트웨어를 개발할 수 있다. 실제로 1980년대 유럽을 중심으로 많은 구조 최적 설계용 범용프로그램이 개발되어 현재는 다수가 상용화 단계에 이르렀다.

 

유한 차원 공간에서 정의되는 치수 설계 문제

그림 1. 유한 차원 공간에서 정의되는 치수 설계 문제

 

3. 형상 최적 설계

 

1960년대에 상당한 연구가 진행되던 골조구조물의 치수 문제에 이어서 유한요소법이 많은 연구자에게 받아들여진 1970년대에 들어서 구조물의 형상에 관한 최적 설계가 연구되기 시작하였으며, 1972년 Zienkiewicz와 Campbell이 아치댐 형상에 관한 구조 최적 설계 문제를 등매개변수(isoparametric)요소를 이용한 유한요소법에 따른 응력해석, 형상 설계된 구조물 경계상의 절점 위치에 관한 감도해석, 순차적 선형화법, 이 세 가지 방법을 적절히 조합하여 해결한 것이 최초라고 할 수 있다.

 

형상 문제의 특징은 최적화 과정에서 구조물의 형상이 변하기 때문에 역학 모델을 설정하는 영역이 변수가 되고, 유한요소법 등의 이산화모델의 기하학적 부분이 변수가 된다는 점이다. 이를 위해서 유한요소법의 출현이 연구자들을 형상 최적 설계로 몰고 갔지만, 아쉽게도 그 이후 큰 발전을 못 보고 1980년에 들어서 CAD 개념이 컴퓨터 그래픽스의 영향을 받아 일반화되자 다시 형상 최적 설계가 많은 연구자에 의해 다루어지게 된다. 구조물의 영역이 설계 대상이므로 유한 요소 모델이 설계변경에 따라 변하지 않으면 안 된다.

 

 

형상 최적 설계 문제의 전형적인 예

그림 2. 형상 최적 설계 문제의 전형적인 예

 

4. 위상 최적 설계

 

경험에 비춰보면 기존 구조물의 경량화에 있어서 만일 구조물이 비교적 잘 설계되어 있다면 그림 3과 같이 크기나 외형 형상을 변경해 경량화를 시도한다 해도 큰 효과를 얻을 수 없고, 내부에 구멍을 내거나 내부 구멍까지 포함한 형상을 변경하지 않으면 목적을 달성할 수 없는 경우가 많다. 이러한 문제에서는 단순히 형상만을 다루어서는 해결할 수 없고, 영역에 존재하는 구멍을 도입하여 어떤 형상에 대해서도 대처할 방법을 생각할 필요가 있다.

 

구멍이나 형상을 스플라인으로 표시해 다루는 것이 지나치게 복잡하므로 만약 최적화 과정에서 구멍수가 증가하거나 감소하면 스플라인 개수가 변하기 때문에 설계변수를 최적화 도중에 바꾸지 않으면 안 되는 비현실적인 문제점이 발생한다. 이런 점을 고려해 본질적으로 다른 방법을 도입하지 않는 한 이런 요구를 만족시킬 수 없다. 즉, 구조물의 최적 위상을 구하는 문제이다.

 

외형 형상의 최적화와 내부 구멍 생성에 의한 최적화

그림 3. 외형 형상의 최적화와 내부 구멍 생성에 의한 최적화

 

 

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