반디통 용어집

두께가 부재의 전체 크기에 비해 현저히 작은 구조물을 박판 구조물이라고 부른다. 평판(plate)이나 쉘(shell)과 같은 부재가 대표적인 예로서 유한요소 해석에서는 구조물의 중립면(neutral plane)에 2차원 요소망(mesh)을 적용하여 중립면의 변위(displacement)를 구하는 것이 효과적이다. 그 이유로는 두께 방향으로 변위의 변화는 매우 미소하기 때문에 일정하게 혹은 직선형태로 미리 가정할 수 있기 때문이다. 중립면에 적용되는 유한요소(finite element)를 각각 평판 요소(plate element) 그리고 쉘 요소(shell element)라고 부른다.

박판 구조물은 역학적 그리고 유한요소 해석(finite element analysis)적 측면에서 뚜렷이 구별되는 특성을 지니고 있다. 역학적 측면에서는 구조물의 두께방향으로 변형률과 응력 성분이 0인 평면응력 상태(plane stress state)에 있다는 점이다. 하지만 이러한 가정은 두께가 무한히 작은 극한상태(limit state)에 해당되기 때문에 실제로는 어느 정도의 변형률과 응력이 존재하고, 두께가 증가할수록 이 가정으로부터 멀어진다. 유한요소 해석 측면에서 요소크기(element size)가 크거나 요소차수(element order)가 낮으면 잠김현상(locking phenomenon)이라 불리는 해석결과의 부정확성이 유발된다.

또한 경계층 효과(boundary effect)라 불리는 특이성(singularity)이 구조물의 경계에서 발생하기 싶다. 일반적으로 박판이 두꺼운 구조물에 비해 유한요소 해석이 쉽다고 생각하기 쉬우나 실제로는 정반대로 주의를 요하는 매우 어려운 문제이다. 잠김현상은 요소의 크기를 줄이거나 요소의 차수를 높이면 어느 정도 해결되지만, 감차적분(reduced integration)이나 특이요소(singular element)를 사용하는 것이 보다 효과적이다. 한편 경계층 효과에 따른 특이성은 구조물의 경계를 따라 경계요소(boundary element)라 불리는 폭이 매우 좁은 요소를 배치시키면 효과적으로 구현할 수 있다.

.

유한요소법(finite element method)과 같은 수치해석(numerical analysis) 기법에 있어서 시뮬레이션의 대상이 되는 문제에 내재되어 있는 각종 구속조건(constraint)을 처리하는 방법들은 정확도에 따라 크게 두 가지로 구분할 수 있다. 첫 번째는 수치해석에서 구속조건이 정확하게 만족되도록 하는 방법이고, 다른 하나는 구속조건을 근사적으로 만족시키는 방법이다. 전자의 경우는 구속조건이 정확하게 만족되지만 수치기법상 어려울뿐더러 해석시간이 증가하는 단점이 있다. 이에 반해 후자의 경우는 정확도는 어느 정도 떨어지지만 수치적인 처리가 간단하고 해석시간을 증가시키지 않는 장점을 지니고 있다.

후자의 대표적인 방법으로 벌칙 기법이 매우 광범위하게 사용되고 있다. 벌칙(penalty)이란 용어는 벌금이란 뜻을 지니고 있으며, 이 용어를 사용하게 된 이유는 구속조건을 수치적으로 처리하는데 있어 간편함이란 장점을 얻기 위해 정확도를 어느 정도 희생하는 벌금을 낸다는 뜻에서 유래된 것이다. 벌칙기법은 흔히 구속조건을 스프링으로 대체하는 것으로 설명된다. 예를 들어 a=0라는 구속이 있다고 생각하면, a를 스프링 상수 k를 가지는 스프링의 늘어난 길이로 대체한다. 그러면 스프링 상수 k가 커질수록 늘어난 길이 a는 0으로 줄어들게 될 것이다. 여기서 스프링 상수k를 벌칙기법에서는 벌칙상수(penalty constant)로 정의하고 있다.

벌칙상수를 큰 값으로 설정할수록 구속조건은 보다 정확하게 만족된다. 하지만 벌칙상수가 과도하게 커지게 되면 수치적으로 불안정성을 야기한다. 유한요소 해석에 있어 적절한 벌칙상수의 값은 해석하고자 하는 대상 물체의 강성(stiffness)과 구속조건의 정확도에 따라 달라진다. 구속조건을 정확하게 만족시키는 전자에 해당하는 기법으로 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method)이 대표적이다.

.

물체에 힘을 가하면 물체의 형상이 변하는 변형(deformation)이 발생한다. 그리고 물체 내부에는 외력에 저항하는 응력(stress)이 발생함과 동시에 원래 상태로 복원시키려는 복원 에너지가 축적된다. 이처럼 물체의 변형에 따라 물체 내부에 축적되는 복원 에너지를 변형률 에너지라고 부른다. 변형률 에너지는 물리적으로 일(work)과 동일한 단위(unit)를 가지며, 물체 내부의 응력과 변형률의 곱을 물체 전체에 걸쳐 합한 값으로 계산된다.

변형률 에너지는 물체에 가해진 힘이 제거되면 물체를 변형 전 모양으로 복원시키면서 소멸된다. 물체에 작용하는 힘에 의한 총 일의 일부는 물체를 영구적으로 변형시키는 소성변형(plastic deformation)에 사용되고 나머지가 변형률 에너지로 축적된다. 물체 단위 체적당의 변형률 에너지를 변형률 에너지 밀도(strain energy density)로 정의하고 이 값은 물체내 임의 한 점에서의 응력과 변형률의 곱으로 계산된다.

.

편리한 인간생활을 추구하기 위하여 개발된 각종 제품들은 각기 고유한 성능을 제공하기 위하여 설계되었다. 그리고 각 제품이 제공해야 할 성능은 하나 이상일 경우가 대부분이지만, 각 성능의 중요도는 각기 다르다. 예를 들어 에어컨의 주된 성능은 더운 날 실내온도를 원하는 수준으로 낮추어 주는 것이다. 하지만 에어컨의 기술 발전과 사람들의 욕망이 지속적으로 증가함에 따라 저소음, 공기 정화, 저가격 등과 같은 부가적인 성능들이 주요시 되고 있다.

이러한 성능들을 가장 잘 만족시키는 제품을 설계하는 일을 최적설계(optimum design)라고 부르고, 가장 최적으로 만족시키고자 설계한 성능을 특별히 목적함수(objective function)로 정의하고 있다. 특정한 제품의 개발에는 많은 성능들이 고려되지만, 해당 설계업무 시 고려의 대상이 되는 성능만이 목적함수에 해당된다. 따라서 해당 제품의 개발 목표에 따라 목적함수가 달라지게 되며, 각 목적함수 내에 포함되어 있는 세부 성능들의 상대적인 중요도도 달라질 수 있다.

하나 이상의 세부성능들로 구성된 목적함수를 특별히 다목적 함수(multiobjective function)라고 부르며, 일반적으로 각 세부성능에 가중치(weighting factor)를 곱하여 대수적으로 합한 값으로 정의된다.

.

CFL수를 설명하기 위해서는 먼저 CFL 조건을 설명하여야 한다. CFL 조건은 편미분방정식을 수치적으로 수렴시키기 위한 필요조건으로서, 계산에 사용되는 시간간격이 특정 시간보다 작아야 하며, 그렇지 않을 경우 부정확한 해를 구하게 된다는 수치해석학적 조건이다.

 

1차원 문제의 CFL 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

                                      : 유동속도 , : 계산시간간격 , : 메쉬 간격 , : CFL수

위 조건에서 는 이산화 방식에 따라 변하게 되는데 특히 외연적 또는 내연적 방법에 밀접하게 연관되어 있다. 외연적 시간진행 솔버(Explicit Time Marching Solver)의 경우 일반적으로 이 사용되며, 내연적 솔버의 경우 좀 더 큰 값이 사용되기도 한다.

 

 

                                                                   

 

위와 같이 CFL조건과 CFL수는 편미분방정식의 수치해석을 수행할 때 시간간격을 결정하거나 조정할 때 많이 활용되고 있다.

> CFL수 더 자세히 보기🔎

프란틀 수는 운동량과 열 경계층(boundary layer) 사이의 관계를 나타내는 파라미터이며 아래의 방정식으로 계산 되며, 유체의 점도와 열전도율을 이용해서 표현한다. 일반적으로 고체 온도에서 유체 포용 온도(bulk temperature)로 변하는 유체의 온도 구간을 열 경계층이라고 하며, 열 경계층과 운동량 경계층 사이에 상대적인 크기를 나타내는 것이 프란틀 수이다.

 

예를 들어 프란틀 수가 1일 경우 열과 운동량의 경계층 두께가 같다는 것을 의미하고, 일반적인 대기압에서 공기는 프란틀 수가 0.7이며, 섭씨 20도인 물의 경우 프란틀 수는 7정도이다. 프란틀 수는 층 흐름 내에서 운동량의 확산 상수가 열의 확산 상수의 몇 배인가 하는 것을 의미한다. 프란틀 수가 1보다 매우 작으면 열의 확산이 주로 일어나며, 1보다 크면 운동량의 확산이 지배적으로 일어나게 된다.

 

> 프란틀 수 더 자세히 보기🔎

 

where ν: 동점성(kinematic viscosity), α: 열확산 계수(thermal diffusivity), 

μ: 점성(dynamic viscosity), k: 열전도율(thermal conductivity), c_p: 비열(specific heat)

Prandtl number에 따른 열 경계층 변화 Pr<1(>왼쪽) Pr>1(오른쪽)

모든 유체는 점성을 가지고 있다. 유체가 흐를 때 점성 효과 때문에 물체 표면에서 흐름의 수직방향으로 속도가 변하는 얇은 층이 형성되는데 이를 경계층이라 한다. 경계층은 층류경계층(laminar boundary layer)와 난류경계층(turbulent boundary layer)이 있다. 층류경계층은 난류와동이 없는 매우 부드러운 경계층으로 주로 유체의 흐름이 시작되는 앞전(leading edge)에서 발생한다. 난류경계층은 불안정하여 그 상태를 지속하기 힘들며, 난류경계층으로 쉽게 천이(boundary layer transition) 된다. 난류경계층은 내에는 수많은 난류와동들이 발생하며 활발히 에너지를 교환하며 주변으로 확산시킨다.

 

얇은 박판 구조물(thin-walled structure)에 굽힘을 가하면 구조물내 응력이 경계(boundary) 근처에서 급격하게 증가하는 특이성(singularity)이 발생한다. 이러한 현상을 경계층 효과라고 불리며 구조물에만 한정되지 않고 유체 유동에서도 볼 수 있다. 즉 항공기 날개 주위의 공기 흐름에 있어 공기의 점성(viscosity)에 의하여 날개면에서 공기의 상대적인 속도는 0이 된다. 그리고 항공기 표면에서 매우 짧은 거리에 있는 공기속도는 급속히 증가하는 거동을 나타낸다.

이러한 경계층 효과를 수치해석(numerical analysis)적으로 모사하기 위해서는 많은 주의를 기울여야 한다. 박판 구조물이나 유동에 있어 경계층 효과는 경계면에 수직한 방향으로 거동의 급격한 변화이기 때문에, 경계에 폭이 가장 작은 요소를 배치시키고 경계에서 수직방향으로 편향 요소망(gradient mesh)을 적용하여야 한다. 이 요소망에 있어서 경계에 배치한 가장 작은 요소를 특별히 경계요소(boundary element)라고 부르며, 경계에 수직한 방향으로의 폭은 구조물의 두께보다는 작아야 할뿐더러, 그 크기가 작을수록 효과적이다. 한편 경계에 접선방향으로는 편향된 요소망을 적용할 필요가 없다. 왜냐하면 경계에 접선인 방향으로는 거동의 특이성이 발생하지 않기 때문이다.

.

유한요소 해석(finite element analysis)을 수행하기 위해서는 우선 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 유한요소(finite element)라 불리는 세부 영역들로 나누는 작업, 즉 요소망(mesh) 생성작업을 수행해야 한다. 요소망에 있어서 내부 요소들의 크기가 거의 같은 경우를 균일 요소망(uniform mesh)이라고 부르고 그렇지 않고 크기가 서로 다른 경우를 비균일 요소망(non-uniform mesh)이라고 한다.

비균일 요소망을 생성하는 가장 큰 이유는 최소의 요소개수를 이용하여 목표로 하는 정확도를 만족하는 해석결과를 얻고자 함이다. 유한요소 해석에 있어 수치해석 오차(numerical analysis error)는 요소크기(element size)에 반비례하고 보간함수(interpolation function)의 차수, 즉 요소차수(element order)에 비례한다. 일반적으로 물체가 특이한 거동(singular behavior)을 나타내는 부분에는 요소의 크기를 작게 하는 것이 효과적인 것으로 알려져 있다.

예를 들어, 균열(crack), 집중하중, 형상이나 재질이 급격하게 변하는 부분 등에는 요소를 조밀하게 생성하는 것이 효과적이다. 만일 이렇게 국부적으로 특이한 거동을 나타내는 문제에 대해 균일 요소망을 적용한다면 특이성을 나타내지 않는 영역을 기준으로 조밀한 요소망을 생성해야 하기 때문에 요소개수가 엄청나게 증가하게 된다.

따라서 특이성을 나타내는 영역으로 갈수록 요소의 크기를 점진적으로 감소시키는 요소망 기법을 적용하면 이러한 문제점을 해결할 수 있고, 이렇게 생성한 요소망을 편향 요소망이라고 부른다. 항공기 주위의 충격파(shock wave)를 효율적으로 모사하기 위해 충격파가 발생하는 영역 근처에 집중적으로 조밀한 요소망을 적용한 경우가 편향 요소망의 전형적인 예에 해당된다.

.