구조 비선형 시스템의 종류와 특성
목차 (Table of Contents)
1. 서론
2. 기하 비선형
3. 재료 비선형
4. 비선형 변위조건
5. 비선형 하중조건
6. 맺음말
1. 서론
비선형 시스템을 이해하기 위해서는 선형 시스템을 먼저 이해하여야 합니다. 일반적으로 선형 시스템은 입력과 출력의 관계가 선형인 경우를 의미합니다.
구조 시스템의 경우, 작용한 하중과 변위와의 관계가 선형인 경우입니다. 예를 들면, 하중이 두 배로 증가하면 변위도 두 배로 같이 증가합니다. 이러한 선형 시스템에서는 중첩법이 사용될 수 있습니다. 즉, 두 하중에 의한 변위는 각각의 하중에 의한 변위의 합으로 계산될 수 있습니다. 비선형 시스템은 입력과 출력의 관계가 선형이 아니어서 중첩법이 사용될 수 없는 모든 경우를 나타냅니다.
대부분의 물리 현상이 비선형이지만, 계산의 편의를 위해 제한된 조건에서 선형으로 가정하는 경우가 많이 있습니다. 예를 들면, 외팔보의 경우 변위가 작은 경우에 보 끝단에 작용하는 하중과 변위의 관계를 선형으로 가정해도 큰 오차가 없습니다. 하지만, 하중이 증가해서 변위가 커지게 되면 더 이상 선형 관계를 가지지 않게 됩니다. 이러한 미소 변위에 대한 제한 조건은 공학 시스템에 수없이 많이 존재합니다. 예를 들면, 교량이나 건물은 큰 변위가 생기지 않도록 설계하기 때문에 선형 관계를 사용할 수 있습니다.
비록 선형 시스템의 해석이 간단하고 편리하지만, 구조 시스템을 선형으로 간주할 수 없는 경우가 많이 있습니다. 이러한 경우는 큰 변형이 일어나거나, 재료의 거동이 복잡하거나, 경계 조건이 변화할 때에 흔히 발생합니다. 예를 들면, 판금 성형 작업의 경우, 금속판은 큰 변형을 일으키며 금형과 복잡한 접촉을 일으키기 때문에 선형으로 가정할 수 없습니다. 이번 칼럼은 구조 시스템 해석에서 어떤 종류의 비선형이 존재하며 어떠한 특성들을 가졌는지를 고찰해서 해석자들의 비선형 해석에 도움을 주는 것을 목적으로 합니다.
그림 1. 구조 해석 시스템의 비선형 종류
공학에서는 많은 종류의 비선형이 존재하지만, 비선형 구조 해석에서는 일반적으로 네 가지로 구분합니다. 그림 1은 이러한 네 종류의 비선형이 구조 해석 절차에서 발생하는 위치를 나타냅니다. 다음은 그림 1의 각 비선형 종류와 특성들을 정리한 것입니다.
2. 기하 비선형
기하 비선형은 일반적으로 변위나 변형의 관계가 선형이 아닌 경우이며, 변위가 큰 경우에 흔히 나타납니다. 그림 2는 외팔보 끝단에 회전력이 작용할 때 생기는 기하 비선형의 예입니다. 회전 변형이 크기 때문에 선형 해석으로는 변형을 정확하게 예측할 수 없습니다. 또한 작용 회전력과 끝단의 변위 관계가 선형이 아님을 알 수 있습니다.
1차원 선형 시스템의 경우 변위와 변형의 관계는 다음과 같이 선형으로 주어집니다.
그림 2. 외팔보의 굽힘 변형(기하비선형)
이 경우 변위가 두 배가 되면 변형도 두 배가 됩니다. 하지만 이 관계식은 변형이 매우 작을 때만 성립이 됩니다. 변형이 증가하면 이 관계식은 다음과 같이 비선형으로 수정되어야 합니다.
변형이 작은 경우에는 선형식과 비선형식의 차이가 미소하지만, 변형이 커질수록 오차도 증가합니다. 예를 들면, 변형량이 5%인 경우 그 차이는 2.5%이지만, 변형량이 15%인 경우는 오차가 30%로 증가하게 됩니다. 그러므로 변형이 작은 경우에는 선형관계식을 사용할 수 있지만, 변형이 커지게 되면 비선형 관계식을 사용해야만 합니다.
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