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물체가 외부로부터 지진파와 같은 동적 하중을 받으면 물체는 시간에 따라 그 형상이 지속적으로 변하는 동적 응답을 나타낸다. 이러한 응답을 시간 함수로 표현한 것을 시간응답(time response)이라고 부르고, 반면 주파수의 함수로 변환하여 표현한 것을 주파수 응답(frequency response)이라고 부른다. 시간응답이나 주파수 응답의 구분과는 달리 물체의 시간에 따른 동변형(dynamic deformation)을 그대로 나타내느냐 아니면 해당 물체의 고유모드(natural mode)들의 조합으로 표현하느냐에 따라 직접응답해석(direct response analysis)과 모드응답해석으로 분류하기도 한다.
전자의 경우에는 요소망(mesh) 내의 각 절점(node)에서 물체의 동변형 값을 계산하는 반면, 후자에서는 각 고유모드들의 기여도를 연립방정식을 이용하여 계산한다. 모드응답해석의 기본원리는 물체의 동적 응답은 그 물체의 고유모드들의 조합으로 표현된다는 사실과 고유모드들로 구성된 행렬은 물체의 질량행렬(mass matrix)과 직교 수직한다는 사실에 기초한다. 직접응답해석에서는 행렬로 표현되는 운동방정식을 시간적분(time integration)을 이용하여 물체의 동응답을 구한다.
하지만, 모드응답해석에서는 물체의 고유모드를 우선 구한 다음 위에서 말한 기본원리를 이용하여 운동방정식을 각 고유모드의 기여도를 계산하는 2차 연립방정식으로 전환하게 된다. 모드응답해석에는 시간영역에서의 응답을 구하는 모드 시간응답해석(modal time response analysis)과 주파수 영역에서의 응답을 구하는 모드 주파수응답해석(modal frequency response analysis)으로 다시 구분된다.
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특정한 공간이나 시간 영역내 각 지점에서의 값들을 연결하면 하나의 선, 곡선 혹은 곡면이 된다. 이와 같이 특정한 구간 내 각 점에서 값들을 이용하여 연속적인 함수를 구하는 것을 보간(interpolation)이라 하고 이렇게 구한 함수를 보간함수(interpolation function)라고 부른다. 이와는 달리 특정한 구간 내에 존재하는 각 지점에서의 값들을 이용하여 이 구간 바깥에 존재하는 특정 지점까지 연속된 함수를 구하는 것을 외삽이라고 하고 이렇게 구한 함수를 외삽함수(extrapolation function)라고 부른다.
보간이나 외삽은 서로 떨어져 있는 점들에서의 값, 다시 말해 데이터(data)를 연속적인 함수로 표현한다는 점에서는 공통점을 지니고 있다. 하지만 함수로 나타내어야 할 DATA가 존재하는 영역 내부에 한정되어 있느냐 그렇지 않느냐에 따라 뚜렷한 차이점을 나타낸다. 보간이나 외삽은 실험으로 구한 각종 DATA를 연속적인 함수로 변환하고자 할 경우 주로 사용된다.
유한요소 해석(finite element analysis)에서 화면상에 출력되는 변형, 변형률(strain) 및 응력(stress)의 칼라 분포도 역시 요소망(mesh) 내 각 절점(node)에서의 값들을 보간 혹은 외삽하여 연속적인 분포로 보여주는 것이다. 보간이나 외삽을 위해서는 각 점에서의 값들을 직선으로 연결하는 가장 단순한 방법에서부터 최소자승법(least square method)에 이르기 까지 다양한 방법들이 사용되고 있다.
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보(beam)는 길이가 상대적으로 긴 사각단면 구조물에 대한 수학적인 모델을 의미하는 추상적인 구조물(abstract structure)이다. 보나 기둥(column)은 기하학적인 측면에서 단면에 비해 길이가 상대적으로 긴 가느다란 부재이다. 하지만 외부에서 가해지는 하중이 축 방향인 경우를 기둥이라고 하고 그렇지 않은 경우를 보로 구분하고 있다. 보와 같은 부재의 거동을 모사하기 위한 수학적 표현, 또한 수학적 이론 그리고 이 이론에 따라 만들어 진 유한요소(finite element)에는 몇 가지 유형이 있다.
우선 차원(dimension)에 따라 1차원, 2차원 그리고 3차원 보요소로 나뉜다. 요소의 형상은 공통적으로 직선이지만 보 요소의 각 절점(node)이 가지는 자유도(degree of freedom)는 각기 다르다. 3차원 보 요소는 한 절점에서 세 직교 방향으로의 병진 자유도를 가지는 반면, 2차원 보 요소는 한 절점에서 보의 축 방향과 하중작용 방향으로의 병진 자유도만이 정의되어 있다. 한편, 1차원 보 요소의 경우에는 하중 방향으로의 횡 전단변형률(transverse shear strain)을 반영하느냐 그렇지 않느냐에 따라 구분된다. 이 것을 무시하게 되면 가장 단순한 오일러 보(Euler beam) 요소가 되는데, 이 경우에는 한 절점에서 보의 처짐만이 자유도로 정의된다.
횡 전단변형률을 포함한 경우가 티모센코 보(Timoshenko beam) 요소로서, 한 절점에서 보의 처짐과 기울기를 자유도로 가진다. 보 요소는 요소와 요소 사이에서 부재의 기울기가 연속적이지 않은 봉 요소(rod element)와는 확연히 구분된다.
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자연형상에 대한 수치 시뮬레이션을 위하여 가장 많이 사용되고 있는 유한요소법(finite element method)의 가장 큰 특징이자 장점은 근사해(approximate solution)를 표현하기 위해 사용되는 보간함수(interpolation function)를 요소망(mesh)을 이용하여 체계적으로 정의할 수 있다는 점이다.
그런데 요소망 내 각각의 요소(element)와 절점(node)은 상호간에 유기적인 연결성(connectivity)을 항상 유지해야 하는데, 이러한 조건을 만족시키는 요소망을 생성하는데 소요되는 시간은 물체의 형상이 대형화 되고 복잡해질수록 기하급수적으로 증가한다. 하나의 유한요소 해석 작업에 소요되는 총 해석시간의 대부분이 요소망 생성에 할당된다고 하여도 과언은 아니다.
이와 같은 요소망 생성이 안고 있는 본질적인 단점을 해결하고자 탄생된 수치해석 기법이 바로 무요소기법이다. 무요소기법에서는 대상 물체의 기하학적 영역을 여러 개의 작은 영역들로 세분화 시키지 않고, 영역 내에 유한개의 점들을 흩뿌리고 각각의 점을 중심점으로 한 보간함수들을 정의하여 근사해를 표현한다. 각 점에 대한 보간함수는 해당 점을 중심으로 작은 영영 내에서만 정의되는데, 중요한 사항은 각각의 작은 영역들은 유한요소(finite element)와 같이 정확히 접해야 할 필요는 없다는 점이다.
물론 유한요소와 같이 각 점을 중심으로 한 작은 영역들의 조합은 대상 물체의 기하학적 영역을 완전히 채워야 하지만, 유한요소법에서와 같이 엄격한 연결성이나 접합성을 필요로 하지는 않는다는 장점을 지니고 있다. 하지만, 무요소법이 안고 있는 가장 큰 난점은 행렬을 유도하기 위한 수치적분(numerical integration)과 변위 경계조건의 적용이다.
이러한 문제를 해결하기 위해 여러가지 추가적인 기법들이 소개되었지만, 궁극적으로 기존의 유한요소법에서의 요소망과 가우스 구적법(Gauss quadrature rule)을 활용한 수치적분을 사용하고 있으며 벌칙기법(penalty method)과 같은 기존의 기법들을 채택하고 있다. 더욱이 3차원 문제나 형상이 복잡하고 대형인 경우, 물체 내에 흩뿌려진 점들과 이에 해당하는 보간함수를 체계적으로 생성하기가 어려운 문제에 직면하고 있다. > 무요소법 더 자세히 보기🔎
유한요소 해석의 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 여러 개의 작은 영역으로 세분화 시킨 요소망(mesh)은 일련의 유한요소(finite element)들과 절점(node)들로 구성되어 있다. 그런데 이러한 요소망이 만족해야 할 두 가지 기본조건은 인접한 유한요소들은 마치 퍼즐게임과 같이 물체의 전체 영역을 완전하게 메우면서도 인접한 요소의 영역을 절대로 침범해서는 안 된다. 그 결과 요소망 내의 모든 요소들은 인접한 요소들과 공유 절점들을 통하여 유기적인 그물망을 형성하게 된다.
다시 말해, 인접한 요소들이 절점을 공유함으로써 요소망 내 모든 요소들은 완전한 연결성(connectivity)을 유지하게 되는 것이다. 이와 같이 요소망내 모든 요소들의 절점들이 인접한 요소들의 절점들과 완전히 일치하도록 생성된 요소망을 접합 요소망(compatible mesh)이라고 부른다. 하지만 조립체와 같이 하나 이상의 부품들로 구성된 경우에는 상황이 달라질 수 있다. 한 부품의 요소망과 인접한 다른 부품의 요소망은 각기 개별적으로 생성될 수 있고, 그 결과 서로 결합하게 되는 계면(interface) 상에서 두 요소망의 절점들이 일치하지 않을 수 있다.
이와 같이 서로 다른 두 요소망이 계면에서 절점들이 일치하지 않도록 생성된 요소망을 비접합 요소망이라고 부른다. 이러한 비접한 요소망을 계면에서 결합시키기 위해서 몇 가지 기법들이 사용되고 있다. 첫째는 강체요소(rigid element)와 같은 특수 요소를 이용하여 계면 상의 두 요소망의 절점들을 연결시키는 방법이고, 다른 기법으로는 벌칙기법(penalty method)이나 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method)을 이용하여 계면 상의 절점들을 서로 구속시키는 방법이다. 비접합 요소망은 접촉해석(contact analysis)에서 빈번하게 발생하기 때문에 이러한 요소접합 기법들에 대한 충분한 지식을 숙지하고 있어야 한다.
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일반적으로 보(beam)라고 하면 사각단면을 지니고 있고 이 단면의 크기가 길이에 비해 상대적으로 작은 부재를 일컫는다. 그리고 역학적인 측면에서 인장과 압축 그리고 굽힘 및 비틀림에 대하여 저항하는 성질을 지니고 있다. 이러한 기하학적 특성과 역학적 거동을 반영하여 유한요소법(finite element method)에서는 보 요소(beam element)라고 불리는 1차원 선 요소(line element)를 정의하고 있다. 보 요소의 각 절점(node)에는 3개의 병진 자유도와 3개의 회전 자유도를 가지고 있다.
그런데 보와 같은 부재가 다른 구조물에 핀이나 슬라이딩으로 연결되는 경우가 종종 있다. 이러한 경우, 연결부에서 보는 굽힘 그리고 슬라이딩 방향으로의 저항력을 나타내지 않는다. 물론, 연결부를 제외한 보의 나머지 부분은 위에서 말한 인장 및 압축 그리고 굽힘 및 비틀림 저항력을 모두 나타낸다. 따라서, 이러한 경우에 보 부재를 보 요소로 모델링하기 위해서는 연결점에 해당하는 보 절점의 회전자유도 그리고 병진 자유도 일부를 제거하여야 한다.
이와 같이 보 요소의 끝단 절점에서 일부 자유도를 제거시키는 것을 보의 끝단부 해제라고 부른다. 특정 절점에서 이 절점이 표현할 수 있는 자유도의 일부를 제거하는 것은 비단 보 요소에만 한정되지 않고 거의 모든 유형의 유한요소(finite element)에서도 가능하다.
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유한요소해석(finite element analysis)을 수행한다는 것은 대상이 되는 해석문제를 표현하는 수학적 표현식을 행렬방정식으로 변환하여 물체의 거동을 근사적으로 구하는 것이다. 그런데 행렬방정식을 풀어서 구한 값들은 일반적으로 요소망(mesh) 내 각 절점(node)에서의 물체의 거동값에 해당된다. 예를 들어 열전달 해석으로 구한 수치값들은 대상이 되는 물체의 요소망 내 각 절점에서의 온도를 나타낸다.
이처럼 요소망 내 각 절점에서의 값들을 절점 값이라고 부르고, 값의 유형에 따라 절점 변위(nodal displacement), 절점 온도(nodal temperature), 절점 하중(nodal force) 등으로 명명된다. 행렬방정식을 풀어서 구한 수치값이 각 절점에서의 값이 되는 것은 물체의 거동을 근사화 하기 위해 사용되는 기저함수(basis function)의 특성 때문이다.
유한요소 해석에 사용되는 대부분의 기저함수는 자신의 번호와 일치하는 절점에서는 1의 값을 가지는 반면 나머지 모든 절점에서는 0의 값을 가지게 된다. 만일 기저함수가 이러한 특성을 지니고 있지 않다면 행렬방정식으로부터 구한 값이 곧바로 절점에서의 거동값을 나타내지 않는다. 이러한 경우에는 거동에 대한 근사식에 해당 절점의 좌표값을 대입하여 그 절점에서의 값을 계산해 내어야 한다.
한편, 변형률(strain)이나 응력(stress)은 절점에서 그 값을 계산하지 않고 행렬의 수치적 적분(numerical integration)을 위해 사용되는 적분점(integration point)에서 그 값을 계산한다. 그 이유는 이러한 값들은 절점에서 계산하는 것보다 적분점에서 계산하는 경우가 보다 정확하기 때문이다.
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유한요소 해석에서 가장 많이 사용되는 특수요소 중의 하나로 스프링 요소가 있다. 대부분의 상용 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 스프링 요소는 요소망(mesh) 내 두 절점(node)을 연결하는 단순한 1차원 선요소(line element)다. 스프링 요소는 일반적으로 스프링을 표현하는 데 사용되지만, 조립체 모델링이나 접촉을 구현하기 위해서도 다양하게 활용된다. 스프링 요소는 축 방향 외에 비틀림 방향으로도 하중을 지탱할 수 있다.
스프링은 적절한 탄성계수와 단면적을 가진 보요소(beam element)를 사용하여 표현할 수도 있지만, 대부분의 상용 프로그램에서는 단순하게 스프링 상수만 입력하면 설정이 가능한 스프링 요소를 제공한다. 절점과 절점을 연결하는 기본적인 절점연결 스프링(node-to-node spring) 요소와 함께, 한 절점의 모든 자유도가 자동적으로 구속된 지반 스프링(grounded spring) 요소를 제공하는 프로그램도 있다.
또 다른 유형의 스프링은 자유도 스프링(degrees of freedom spring)으로써, 특정 방향 또는 특정 자유도에 대해서만 스프링 강성을 가진다는 점에서 일반 스프링 요소와는 다르다. 일반 스프링 요소는 스프링 하중이 스프링의 양 끝점 사이의 거리 변화로 발생되지만, 자유도 스프링은 지정한 자유도의 병진이나 회전에만 국한된다. 어떤 상용 프로그램에서는 프리로드(preload) 스프링이나 비선형 스프링을 제공하기도 한다. 기계나 조립체 모델링이 유한요소해석의 주 목적인 경우, 앞서 언급한 모든 유형의 스프링 요소들이 매우 유용하다.
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질량은 물체가 지니고 있는 크기가 변하지 않는 고유한 물리량으로, 물체의 자중(self weight), 관성력(inertia force)과 운동량(momentum)은 이 질량에 비례한다. 정지하고 있는 물체를 움직이고자 할 경우에는 이 움직임에 저항하려는 반면 운동 중인 물체는 운동을 정지하려는 제동력에 저항하려는 성질을 지닌다. 자중은 물체의 질량과 중력 가속도의 곱으로, 관성력은 물체의 질량과 가속도의 곱으로, 그리고 운동량은 물체의 질량과 속도의 곱으로 표현된다.
유한요소법(finite element method)으로 물체의 공간을 유한 개의 세부 영역으로 나눈 요소망(mesh)과 요소망 내 유한요소(finite element) 상에서 정의되는 보간함수(interpolation function)를 사용하면 물체의 자중, 운동량 그리고 관성력은 질량행렬로 표현된다. 질량행렬은 물체 내에 연속적으로 분포되어 있는 물체의 질량을 요소망 내 각 절점(node)에 집중질량(lumped mass) 형식으로 이산화시켜 놓은 것으로, 이 질량행렬 내 각 행렬요소를 합하면 물체의 전체 질량과 같게 된다.
한편, 수치해석의 편의상 이 질량행렬을 대각화(diagonalization)하는 경우가 종종 있는데, 그렇게 하더라도 대각화 된 질량행렬 내 행렬요소의 총 합은 물체의 전체 질량과 반드시 일치해야 한다.
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