일정한 거리에 높이가 다른 두 개의 성냥개비를 수직으로 세운 뒤 성냥개비 끝 단을 실로 팽팽하게 연결하면 실은 비스듬하게 기울어진 직선 형태가 된다. 하지만 높이가 앞의 두 성냥개비와 다른 성냥개비 하나를 가운데에 추가로 설치한 후, 세 개의 성냥개비 끝 단을 실로 팽팽하게 연결하면 실은 성냥개비와 성냥개비 사이에서 기울기가 다른 비스듬한 연속적인 직선 형태가 된다. 이렇게 두 성냥개비 사이에 계속해서 높이가 서로 다른 성냥개비들을 추가하게 되면 실의 형태는 성냥개비 구간별로 기울기가 다른 보다 많은 직선들로 구성된다.
여기서 설치되어 있는 실의 모양이 양 끝에 설치된 성냥개비 사이의 실의 변형(deformation) 분포를 나타낸다고 가정하면, 성냥개비 사이 각 지점에서 실의 높이는 그 지점에서의 실의 변형 값에 해당된다. 한편 각 성냥개비의 높이를 바꾸면 실의 높이도 바뀌게 되어 변형분포도 달라질 것이다. 더욱이 성냥개비의 개수를 증가시키면 보다 복잡한 변형분포를 표현할 수 있을 것이다. 여기서 인접한 두 성냥개비의 사이의 영역이 유한요소 해석(finite element analysis)에 있어서 유한요소(finite element)에 해당되고, 그 간격이 요소망(mesh)의 크기, 즉 격자 크기에 해당된다.
따라서 격자 크기를 줄인다는 말은 유한요소의 개수를 증가시킨다는 뜻이다. 그리고 앞서 예시한 것과 같이 격자 크기를 줄이면 보다 복잡한 변형분포를 표현할 수 있기 때문에 유한요소 해석결과의 정확성을 향상시킬 수 있다. 참고로, 유한요소 해석의 정확성과 직결되는 다른 두 인자는 요소 차수(element order)와 시간 간격(time step)의 크기이다.
.
우리 주위에서 흔히 볼 수 있는 물체의 거동은 물체 내 위치에 따라 그 거동이 변할 뿐만 아니라 시간과 더불어 변하는 경우가 많다. 시간과 무관하게 물체 내 공간상의 위치에 따른 거동을 분석하는 경우를 경계치 문제, 그리고 물체 내 일정한 지점에서 시간에 따라 변하는 물체의 거동을 분석하는 것을 초기치 문제(initial value problem)로 구분하고 있다. 하지만 자연계 대부분의 현상은 그 거동이 공간상의 위치뿐만 아니라 동시에 시간에 따라서도 변하기 때문에 경계치-초기치 문제(boundary and initial value problem)로 볼 수 있다.
예를 들어, 고층건물이 자체 무게에 의해 얼마나 큰 응력(stress)이 내부에 발생하는가 하는 문제는 경계치 문제에 해당되고, 고층건물 내 특정한 부위가 지진파에 따라 시간적으로 어떻게 거동할 것인가는 초기치 문제에 해당된다. 그리고 지진파에 따라 고층건물 전체의 변형이나 응력이 시간과 더불어 어떠한 변동을 나타내는가 하는 문제는 경계치-초기치 문제에 해당된다. 시간과 무관하게 물체 내 위치에 따른 거동을 분석하는 것을 경계치 문제라고 부르는 이유는, 물체 내 거동이 물체의 경계, 즉 외부와 직접 접하고 있는 물체의 표면에 가해지는 각종 구속조건과 경계조건(총칭하여 경계조건(boundary condition)이라 부름)에 의해 절대적으로 좌우되기 때문이다. 예를 들어 한 쪽 끝 단이 벽에 고정되어 있는 가느다란 나무막대를 생각해 보자. 다른 쪽 끝 단에 수직하중을 가하는 경우와 다른 한 쪽 끝 단도 동시에 지지하면서 막대의 가운데에 수직하중을 가하는 두 경우에 있어서 막대가 변형(deformation)되는 모양은 판이하게 다르다.
이처럼 경계치 문제에 해당되는 물체의 거동은 경계조건에 주도적인 영향을 받는다. 따라서, 이러한 문제를 유한요소 해석(finite element analysis)으로 풀고자 할 경우, 해석결과의 신뢰성은 경계조건을 얼마나 정확하게 반영하느냐에 달려있다고 하여도 과언은 아니다.
.두께가 부재의 전체 크기에 비해 현저히 작은 구조물을 박판 구조물이라고 부른다. 평판(plate)이나 쉘(shell)과 같은 부재가 대표적인 예로서 유한요소 해석에서는 구조물의 중립면(neutral plane)에 2차원 요소망(mesh)을 적용하여 중립면의 변위(displacement)를 구하는 것이 효과적이다. 그 이유로는 두께 방향으로 변위의 변화는 매우 미소하기 때문에 일정하게 혹은 직선형태로 미리 가정할 수 있기 때문이다. 중립면에 적용되는 유한요소(finite element)를 각각 평판 요소(plate element) 그리고 쉘 요소(shell element)라고 부른다.
박판 구조물은 역학적 그리고 유한요소 해석(finite element analysis)적 측면에서 뚜렷이 구별되는 특성을 지니고 있다. 역학적 측면에서는 구조물의 두께방향으로 변형률과 응력 성분이 0인 평면응력 상태(plane stress state)에 있다는 점이다. 하지만 이러한 가정은 두께가 무한히 작은 극한상태(limit state)에 해당되기 때문에 실제로는 어느 정도의 변형률과 응력이 존재하고, 두께가 증가할수록 이 가정으로부터 멀어진다. 유한요소 해석 측면에서 요소크기(element size)가 크거나 요소차수(element order)가 낮으면 잠김현상(locking phenomenon)이라 불리는 해석결과의 부정확성이 유발된다.
또한 경계층 효과(boundary effect)라 불리는 특이성(singularity)이 구조물의 경계에서 발생하기 싶다. 일반적으로 박판이 두꺼운 구조물에 비해 유한요소 해석이 쉽다고 생각하기 쉬우나 실제로는 정반대로 주의를 요하는 매우 어려운 문제이다. 잠김현상은 요소의 크기를 줄이거나 요소의 차수를 높이면 어느 정도 해결되지만, 감차적분(reduced integration)이나 특이요소(singular element)를 사용하는 것이 보다 효과적이다. 한편 경계층 효과에 따른 특이성은 구조물의 경계를 따라 경계요소(boundary element)라 불리는 폭이 매우 좁은 요소를 배치시키면 효과적으로 구현할 수 있다.
.유한요소 해석(finite element analysis)을 수행하기 위해서는 우선 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 유한요소(finite element)라 불리는 세부 영역들로 나누는 작업, 즉 요소망(mesh) 생성작업을 수행해야 한다. 요소망에 있어서 내부 요소들의 크기가 거의 같은 경우를 균일 요소망(uniform mesh)이라고 부르고 그렇지 않고 크기가 서로 다른 경우를 비균일 요소망(non-uniform mesh)이라고 한다.
비균일 요소망을 생성하는 가장 큰 이유는 최소의 요소개수를 이용하여 목표로 하는 정확도를 만족하는 해석결과를 얻고자 함이다. 유한요소 해석에 있어 수치해석 오차(numerical analysis error)는 요소크기(element size)에 반비례하고 보간함수(interpolation function)의 차수, 즉 요소차수(element order)에 비례한다. 일반적으로 물체가 특이한 거동(singular behavior)을 나타내는 부분에는 요소의 크기를 작게 하는 것이 효과적인 것으로 알려져 있다.
예를 들어, 균열(crack), 집중하중, 형상이나 재질이 급격하게 변하는 부분 등에는 요소를 조밀하게 생성하는 것이 효과적이다. 만일 이렇게 국부적으로 특이한 거동을 나타내는 문제에 대해 균일 요소망을 적용한다면 특이성을 나타내지 않는 영역을 기준으로 조밀한 요소망을 생성해야 하기 때문에 요소개수가 엄청나게 증가하게 된다.
따라서 특이성을 나타내는 영역으로 갈수록 요소의 크기를 점진적으로 감소시키는 요소망 기법을 적용하면 이러한 문제점을 해결할 수 있고, 이렇게 생성한 요소망을 편향 요소망이라고 부른다. 항공기 주위의 충격파(shock wave)를 효율적으로 모사하기 위해 충격파가 발생하는 영역 근처에 집중적으로 조밀한 요소망을 적용한 경우가 편향 요소망의 전형적인 예에 해당된다.
.아무리 작은 물체라고 하더라도 어느 정도의 체적을 갖는 3차원(three dimension) 형상으로 되어 있다. 하지만 물체가 길이에 비해 나머지 두 방향으로의 크기가 상대적으로 작은 경우에는 특징적인 물체 거동을 나타낸다. 예를 들어 축 방향으로의 길이에 비해 단면적이 상대적으로 작은 가느다란 막대를 굽히는 경우를 생각해 보자. 굽힘(bending)에 따른 막대의 전체적인 변형 형상(deformed shape)은 막대 중심축의 변형 형상과 거의 일치한다.
다시 말해, 변형 후 막대의 곡률반경은 중심축에서나 막대의 안 그리고 바깥 면에서 거의 동일하다. 그리고 중심축과 막대 테두리에서의 변형, 변형률(strain) 그리고 응력(stress)의 차이는 선형적으로 가정할 수 있다. 이러한 기하학적 그리고 거동적 특징을 나타내는 물체는 박판 구조물(thin-walled structure)의 일종으로 취급된다. 그리고, 유한요소 해석(finite element analysis)을 위한 요소망(mesh) 생성에 있어 3차원 요소를 사용하지 않고 단지 중심축을 유한 개의 선 요소를 사용하여 세분화 시킨다.
그 결과 물체의 기하학적 형상은 3차원일지라도 요소망 자체는 1차원으로 표현된다. 그리고 막대의 두께, 단면정보 그리고 두께 방향으로의 선형적 변위(displacement)는 미리 계산되어 강성행렬(stiffness matrix)과 질량행렬(mass matrix)에 반영된다. 그리고 계산결과를 토대로 두께 방향으로의 거동의 변화는 중심축의 거동 값과 선형적 가정을 이용하여 구할 수 있다.
선 요소에는 형상적인 측면에서 직선과 곡선 요소로 나눌 수 있고, 절점의 자유도에 따라 보 요소(beam element), 봉 요소(rod element), 링크요소(link element), 강체 요소(rigid element)로 구분된다.
.항공기 날개를 위에서 바라보면 폭이 좁고 길이가 긴 마름모꼴에 가까운 형상을 지니고 있다. 이 경우 길이를 폭으로 나눈 비율을 항공기 날개의 형상 종횡비라고 부른다. 정사각형은 형상 종횡비가 1인 특수한 경우에 해당되는 단면이라 할 수 있다.
형상 종횡비는 다만 사각형 모양의 단면에만 국한되지 않고, 보다 광범위한 의미로 사용되고 있다. 원이나 타원형의 경우에는 이 것들을 둘러싸는 사각형으로 형상 종횡비를 계산한다. 따라서 원의 형상 종횡비는 1인 반면, 타원형의 경우는 1보다 큰 값이 된다. 임의의 단면을 지닌 막대기나 봉의 경우에는 단면의 직경이나 대각선을 길이로 나눈 값을 형상 종횡비로 정의한다. 따라서 형상 종횡비는 물체의 길쭉한 정도를 나타낸다고 말할 수 있다.
유한요소 해석(finite element analysis)을 위해 필수적인 요소망(mesh)을 구성하는 유한요소(finite element)의 형상 종횡비는 대단히 중요한 의미를 지니고 있다. 일반적으로 유한요소는 형상 종횡비가 1인 경우가 가장 이상적이다. 왜냐하면 형상 종횡비가 커지게 되면 유한요소 해석에 있어 오차(error)가 커지거나 심한 경우에는 해석을 불가능하게 만들 수도 있기 때문이다.
.유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 필수적인 요소망(mesh)을 구성하는 유한요소(finite element)는 물체의 형상을 유한 개로 나누어 세분화 시킨 작은 기하학적 영역 하나 하나를 일컫는다. 유한요소는 그 형상, 절점 혹은 요소 차수(element order)에 따라 구분된다. 2차원의 경우를 예를 들면, 형상에 따라 삼각형 혹은 사각형 요소로, 차수에 따라 1차, 2차 혹은 고차 요소로 구분된다. 그리고 3-, 4-, 8- 혹은 9-절점 요소로도 구분하는데, 여기서 숫자는 한 요소가 가지는 절점을 나타낸다.
절점의 개수는 요소의 차수와 관련이 있을 뿐더러 해당 요소가 가지는 자유도(degree of freedom) 혹은 미지수의 개수와도 연관이 있다. 예를 들어 1차원에 있어 1차 함수 즉 직선은 양 끝 점의 위치가 결정되면 공간 상에서 그 위치가 고정된다. 이 경우 양 끝 점의 위치는 두 개의 미지수 혹은 자유도에 해당된다.
요소에 있어 절점이란 이러한 개념으로 생각하면 이해하기 쉽다. 즉 4-절점 요소라면 각 절점에 하나의 미지수를 가지므로 총 4개의 미지수를 가지는 요소라고 생각할 수 있다(하지만 물체의 거동이 스칼라가 아닌 벡터의 경우에는 성분들을 지니고 있기 때문에 한 절점에서 벡터의 성분개수 만큼의 미지수를 가질 수 있음에 유의).
예를 들어, 4-절점 요소로 온도 분포를 계산하는 경우에는 각 절점에 하나의 온도 값을 미지수로 하기 때문에 이 요소는 총 4개의 미지수를 갖는다. 하지만 4-절점 요소로 2차원 속도 분포를 계산하는 경우에는 각 절점에서 x 및 y방향 속도 성분을 미지수로 가지므로 이 요소는 총 8개의 미지수를 가진다.
요소망 내 인접한 요소들은 같은 위치에 있는 절점들을 서로 공유한다. 이를 통해서 요소망 내 모든 요소들은 서로 연결되어 하나의 유기적인 네트워크를 형성하게 된다. > 절점 더 자세히 보기🔎
일정한 거리에 높이가 다른 두 개의 성냥개비를 수직으로 세운 뒤 성냥개비 끝 단을 실로 팽팽하게 연결하면 실은 비스듬하게 기울어진 직선 형태가 된다. 하지만 높이가 앞의 두 성냥개비와 다른 성냥개비 하나를 추가로 가운데에 설치한 후, 세 개의 성냥개비 끝 단을 실로 팽팽하게 연결하면 실은 성냥개비 구간별로 기울기가 다른 연속적인 직선 분포를 나타내게 된다. 이렇게 두 성냥개비 사이에 계속해서 높이가 서로 다른 성냥개비들을 추가하게 되면 실의 형태는 성냥개비 구간별로 기울기가 다른 보다 많은 직선들로 구성된다.
왼 쪽 끝에 설치된 성냥개비를 시간적으로 초기 시점(initial stage)이라고 가정하고 우측 끝 단에 설치된 성냥개비를 시간이 어느 정도 지난 시점이라고 가정한다. 그리고 실의 모양이 두 시점 사이에서의 온도의 시간에 따른 변화를 나타낸다고 가정하면, 성냥개비 사이 각 지점에서 실의 높이는 해당 시점에서의 온도 값에 해당된다. 한편 각 성냥개비의 높이를 바꾸면 실의 높이도 바뀌게 되어 온도변화도 달라질 것이다. 더욱이 성냥개비의 개수를 증가시키면 보다 복잡한 온도변화를 표현할 수 있을 것이다.
여기서 인접한 두 성냥개비의 사이의 영역이 유한요소 해석(finite element analysis)에 있어서 시간 간격(time step)에 해당되고, 그 간격의 크기가 시간 간격의 크기에 해당된다. 따라서 시간 간격을 줄인다는 말은 두 시점 사이를 보다 세밀하게 나눈다는 뜻이다. 그리고 앞서 예시한 것과 같이 시간 간격의 크기를 줄이면 보다 복잡한 온도변화를 표현할 수 있기 때문에 유한요소 해석결과의 정확성을 향상시킬 수 있다. 참고로, 유한요소 해석의 정확성과 직결되는 또 다른 두 인자는 요소 크기(element size)와 요소 차수(element order)가 있다.
.특수한 목적의 유한요소 해석(finite element analysis)을 위해 사용되는 유한요소(finite element)의 일종으로, 질량이 전혀 없을뿐더러 하중을 받아도 변형이 전혀 발생하지 않는, 즉 강성(stiffness)이 무한대인 요소이다. 이 요소는 유한요소 해석이 직면하는 여러 가지 어려운 문제들을 매우 효과적으로 처리해 준다.
몇 가지 예를 들면 다음과 같다. 결합시키고자 하는 두 개의 서로 다른 요소망(mesh)이 결합되어야 할 경계에서 요소망의 패턴이 서로 일치하지 않을 경우, 경계면 상에 존재하는 두 요소망의 절점(node)들을 강체요소로 연결시켜 효과적으로 결합시킬 수 있다. 그리고 동적 시스템 내부에 존재하는 일부 부품에 대하여 질량만을 고려하여 총 질량을 집중질량(lumped mass)으로 단순화 시키는 경우에도 사용된다. 즉 부품의 집중질량을 무게중심에 위치시키고 이 집중질량과 연결되어야 할 인접 부품의 요소망 내 한 절점을 강체요소로 연결시키기만 하면 된다. 또한 해석문제에 내포되어 있는 각종 기하학적 구속조건들도 강체요소를 이용하여 효과적으로 구현할 수 있다.
.