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두께가 부재의 전체 크기에 비해 현저히 작은 구조물을 박판 구조물이라고 부른다. 평판(plate)이나 쉘(shell)과 같은 부재가 대표적인 예로서 유한요소 해석에서는 구조물의 중립면(neutral plane)에 2차원 요소망(mesh)을 적용하여 중립면의 변위(displacement)를 구하는 것이 효과적이다. 그 이유로는 두께 방향으로 변위의 변화는 매우 미소하기 때문에 일정하게 혹은 직선형태로 미리 가정할 수 있기 때문이다. 중립면에 적용되는 유한요소(finite element)를 각각 평판 요소(plate element) 그리고 쉘 요소(shell element)라고 부른다.
박판 구조물은 역학적 그리고 유한요소 해석(finite element analysis)적 측면에서 뚜렷이 구별되는 특성을 지니고 있다. 역학적 측면에서는 구조물의 두께방향으로 변형률과 응력 성분이 0인 평면응력 상태(plane stress state)에 있다는 점이다. 하지만 이러한 가정은 두께가 무한히 작은 극한상태(limit state)에 해당되기 때문에 실제로는 어느 정도의 변형률과 응력이 존재하고, 두께가 증가할수록 이 가정으로부터 멀어진다. 유한요소 해석 측면에서 요소크기(element size)가 크거나 요소차수(element order)가 낮으면 잠김현상(locking phenomenon)이라 불리는 해석결과의 부정확성이 유발된다.
또한 경계층 효과(boundary effect)라 불리는 특이성(singularity)이 구조물의 경계에서 발생하기 싶다. 일반적으로 박판이 두꺼운 구조물에 비해 유한요소 해석이 쉽다고 생각하기 쉬우나 실제로는 정반대로 주의를 요하는 매우 어려운 문제이다. 잠김현상은 요소의 크기를 줄이거나 요소의 차수를 높이면 어느 정도 해결되지만, 감차적분(reduced integration)이나 특이요소(singular element)를 사용하는 것이 보다 효과적이다. 한편 경계층 효과에 따른 특이성은 구조물의 경계를 따라 경계요소(boundary element)라 불리는 폭이 매우 좁은 요소를 배치시키면 효과적으로 구현할 수 있다.
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유한요소 해석(finite element analysis)을 수행하기 위해서는 우선 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 유한요소(finite element)라 불리는 세부 영역들로 나누는 작업, 즉 요소망(mesh) 생성작업을 수행해야 한다. 요소망에 있어서 내부 요소들의 크기가 거의 같은 경우를 균일 요소망(uniform mesh)이라고 부르고 그렇지 않고 크기가 서로 다른 경우를 비균일 요소망(non-uniform mesh)이라고 한다.
비균일 요소망을 생성하는 가장 큰 이유는 최소의 요소개수를 이용하여 목표로 하는 정확도를 만족하는 해석결과를 얻고자 함이다. 유한요소 해석에 있어 수치해석 오차(numerical analysis error)는 요소크기(element size)에 반비례하고 보간함수(interpolation function)의 차수, 즉 요소차수(element order)에 비례한다. 일반적으로 물체가 특이한 거동(singular behavior)을 나타내는 부분에는 요소의 크기를 작게 하는 것이 효과적인 것으로 알려져 있다.
예를 들어, 균열(crack), 집중하중, 형상이나 재질이 급격하게 변하는 부분 등에는 요소를 조밀하게 생성하는 것이 효과적이다. 만일 이렇게 국부적으로 특이한 거동을 나타내는 문제에 대해 균일 요소망을 적용한다면 특이성을 나타내지 않는 영역을 기준으로 조밀한 요소망을 생성해야 하기 때문에 요소개수가 엄청나게 증가하게 된다.
따라서 특이성을 나타내는 영역으로 갈수록 요소의 크기를 점진적으로 감소시키는 요소망 기법을 적용하면 이러한 문제점을 해결할 수 있고, 이렇게 생성한 요소망을 편향 요소망이라고 부른다. 항공기 주위의 충격파(shock wave)를 효율적으로 모사하기 위해 충격파가 발생하는 영역 근처에 집중적으로 조밀한 요소망을 적용한 경우가 편향 요소망의 전형적인 예에 해당된다.
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아무리 작은 물체라고 하더라도 어느 정도의 체적을 갖는 3차원(three dimension) 형상으로 되어 있다. 하지만 물체가 길이에 비해 나머지 두 방향으로의 크기가 상대적으로 작은 경우에는 특징적인 물체 거동을 나타낸다. 예를 들어 축 방향으로의 길이에 비해 단면적이 상대적으로 작은 가느다란 막대를 굽히는 경우를 생각해 보자. 굽힘(bending)에 따른 막대의 전체적인 변형 형상(deformed shape)은 막대 중심축의 변형 형상과 거의 일치한다.
다시 말해, 변형 후 막대의 곡률반경은 중심축에서나 막대의 안 그리고 바깥 면에서 거의 동일하다. 그리고 중심축과 막대 테두리에서의 변형, 변형률(strain) 그리고 응력(stress)의 차이는 선형적으로 가정할 수 있다. 이러한 기하학적 그리고 거동적 특징을 나타내는 물체는 박판 구조물(thin-walled structure)의 일종으로 취급된다. 그리고, 유한요소 해석(finite element analysis)을 위한 요소망(mesh) 생성에 있어 3차원 요소를 사용하지 않고 단지 중심축을 유한 개의 선 요소를 사용하여 세분화 시킨다.
그 결과 물체의 기하학적 형상은 3차원일지라도 요소망 자체는 1차원으로 표현된다. 그리고 막대의 두께, 단면정보 그리고 두께 방향으로의 선형적 변위(displacement)는 미리 계산되어 강성행렬(stiffness matrix)과 질량행렬(mass matrix)에 반영된다. 그리고 계산결과를 토대로 두께 방향으로의 거동의 변화는 중심축의 거동 값과 선형적 가정을 이용하여 구할 수 있다.
선 요소에는 형상적인 측면에서 직선과 곡선 요소로 나눌 수 있고, 절점의 자유도에 따라 보 요소(beam element), 봉 요소(rod element), 링크요소(link element), 강체 요소(rigid element)로 구분된다.
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항공기 날개를 위에서 바라보면 폭이 좁고 길이가 긴 마름모꼴에 가까운 형상을 지니고 있다. 이 경우 길이를 폭으로 나눈 비율을 항공기 날개의 형상 종횡비라고 부른다. 정사각형은 형상 종횡비가 1인 특수한 경우에 해당되는 단면이라 할 수 있다.
형상 종횡비는 다만 사각형 모양의 단면에만 국한되지 않고, 보다 광범위한 의미로 사용되고 있다. 원이나 타원형의 경우에는 이 것들을 둘러싸는 사각형으로 형상 종횡비를 계산한다. 따라서 원의 형상 종횡비는 1인 반면, 타원형의 경우는 1보다 큰 값이 된다. 임의의 단면을 지닌 막대기나 봉의 경우에는 단면의 직경이나 대각선을 길이로 나눈 값을 형상 종횡비로 정의한다. 따라서 형상 종횡비는 물체의 길쭉한 정도를 나타낸다고 말할 수 있다.
유한요소 해석(finite element analysis)을 위해 필수적인 요소망(mesh)을 구성하는 유한요소(finite element)의 형상 종횡비는 대단히 중요한 의미를 지니고 있다. 일반적으로 유한요소는 형상 종횡비가 1인 경우가 가장 이상적이다. 왜냐하면 형상 종횡비가 커지게 되면 유한요소 해석에 있어 오차(error)가 커지거나 심한 경우에는 해석을 불가능하게 만들 수도 있기 때문이다.
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유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 필수적인 요소망(mesh)을 구성하는 유한요소(finite element)는 물체의 형상을 유한 개로 나누어 세분화 시킨 작은 기하학적 영역 하나 하나를 일컫는다. 유한요소는 그 형상, 절점 혹은 요소 차수(element order)에 따라 구분된다. 2차원의 경우를 예를 들면, 형상에 따라 삼각형 혹은 사각형 요소로, 차수에 따라 1차, 2차 혹은 고차 요소로 구분된다. 그리고 3-, 4-, 8- 혹은 9-절점 요소로도 구분하는데, 여기서 숫자는 한 요소가 가지는 절점을 나타낸다.
절점의 개수는 요소의 차수와 관련이 있을 뿐더러 해당 요소가 가지는 자유도(degree of freedom) 혹은 미지수의 개수와도 연관이 있다. 예를 들어 1차원에 있어 1차 함수 즉 직선은 양 끝 점의 위치가 결정되면 공간 상에서 그 위치가 고정된다. 이 경우 양 끝 점의 위치는 두 개의 미지수 혹은 자유도에 해당된다.
요소에 있어 절점이란 이러한 개념으로 생각하면 이해하기 쉽다. 즉 4-절점 요소라면 각 절점에 하나의 미지수를 가지므로 총 4개의 미지수를 가지는 요소라고 생각할 수 있다(하지만 물체의 거동이 스칼라가 아닌 벡터의 경우에는 성분들을 지니고 있기 때문에 한 절점에서 벡터의 성분개수 만큼의 미지수를 가질 수 있음에 유의).
예를 들어, 4-절점 요소로 온도 분포를 계산하는 경우에는 각 절점에 하나의 온도 값을 미지수로 하기 때문에 이 요소는 총 4개의 미지수를 갖는다. 하지만 4-절점 요소로 2차원 속도 분포를 계산하는 경우에는 각 절점에서 x 및 y방향 속도 성분을 미지수로 가지므로 이 요소는 총 8개의 미지수를 가진다.
요소망 내 인접한 요소들은 같은 위치에 있는 절점들을 서로 공유한다. 이를 통해서 요소망 내 모든 요소들은 서로 연결되어 하나의 유기적인 네트워크를 형성하게 된다. > 절점 더 자세히 보기🔎
특수한 목적의 유한요소 해석(finite element analysis)을 위해 사용되는 유한요소(finite element)의 일종으로, 질량이 전혀 없을뿐더러 하중을 받아도 변형이 전혀 발생하지 않는, 즉 강성(stiffness)이 무한대인 요소이다. 이 요소는 유한요소 해석이 직면하는 여러 가지 어려운 문제들을 매우 효과적으로 처리해 준다.
몇 가지 예를 들면 다음과 같다. 결합시키고자 하는 두 개의 서로 다른 요소망(mesh)이 결합되어야 할 경계에서 요소망의 패턴이 서로 일치하지 않을 경우, 경계면 상에 존재하는 두 요소망의 절점(node)들을 강체요소로 연결시켜 효과적으로 결합시킬 수 있다. 그리고 동적 시스템 내부에 존재하는 일부 부품에 대하여 질량만을 고려하여 총 질량을 집중질량(lumped mass)으로 단순화 시키는 경우에도 사용된다. 즉 부품의 집중질량을 무게중심에 위치시키고 이 집중질량과 연결되어야 할 인접 부품의 요소망 내 한 절점을 강체요소로 연결시키기만 하면 된다. 또한 해석문제에 내포되어 있는 각종 기하학적 구속조건들도 강체요소를 이용하여 효과적으로 구현할 수 있다.
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물체가 외부로부터 지진파와 같은 동적 하중을 받으면 물체는 시간에 따라 그 형상이 지속적으로 변하는 동적 응답을 나타낸다. 이러한 응답을 시간 함수로 표현한 것을 시간응답(time response)이라고 부르고, 반면 주파수의 함수로 변환하여 표현한 것을 주파수 응답(frequency response)이라고 부른다. 시간응답이나 주파수 응답의 구분과는 달리 물체의 시간에 따른 동변형(dynamic deformation)을 그대로 나타내느냐 아니면 해당 물체의 고유모드(natural mode)들의 조합으로 표현하느냐에 따라 직접응답해석(direct response analysis)과 모드응답해석으로 분류하기도 한다.
전자의 경우에는 요소망(mesh) 내의 각 절점(node)에서 물체의 동변형 값을 계산하는 반면, 후자에서는 각 고유모드들의 기여도를 연립방정식을 이용하여 계산한다. 모드응답해석의 기본원리는 물체의 동적 응답은 그 물체의 고유모드들의 조합으로 표현된다는 사실과 고유모드들로 구성된 행렬은 물체의 질량행렬(mass matrix)과 직교 수직한다는 사실에 기초한다. 직접응답해석에서는 행렬로 표현되는 운동방정식을 시간적분(time integration)을 이용하여 물체의 동응답을 구한다.
하지만, 모드응답해석에서는 물체의 고유모드를 우선 구한 다음 위에서 말한 기본원리를 이용하여 운동방정식을 각 고유모드의 기여도를 계산하는 2차 연립방정식으로 전환하게 된다. 모드응답해석에는 시간영역에서의 응답을 구하는 모드 시간응답해석(modal time response analysis)과 주파수 영역에서의 응답을 구하는 모드 주파수응답해석(modal frequency response analysis)으로 다시 구분된다.
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유한요소 해석에 있어 응력값은 수치 근사화를 위한 기본 거동인 변위(displacement) 결과로부터 이론적으로 계산된다. 응력 복원이란 요소망(mesh)으로 표현되지 않는 물체 지점에서의 응력값을 계산하거나, 보다 정확한 응력값을 계산하는 것을 통틀어 일컫는 말이다.
형상 그 자체는 3차원이지만 변형 거동의 특성상 2차원으로 요소망을 생성하는 경우가 종종 발생한다. 보(beam), 기둥(column), 아치(arch), 평판(plate) 및 쉘(shell)이 이에 해당된다. 일반적으로 중립축 혹은 중립면에만 요소망을 생성하게 되고 이 바깥 지점에서의 거동값은 중립축 혹은 중립면에서 구한 값을 토대로 계산해야 하는데 보간(interpolation)이 가장 많이 사용되고 있다.
한편, 물체의 전체 영역을 요소망으로 생성하는 경우에 있어서도, 응력은 기본적으로 각 유한요소 내 적분점(integration point)에서 계산되고 이 지점에서의 값들을 보간하여 물체 전체 영역에서의 응력분포를 구하게 된다. 이렇게 하는 이유는 유한요소 근사화를 위해 사용하는 기저함수(basis function)의 특성에 기인한 것으로, 유한요소 해석으로 구한 변위를 미분하여 응력을 계산하면 요소와 요소 사이에서 불연속을 나타내기 때문이다. 그리고 적분점에서 계산한 응력값이 가장 정확하다는 극도 수렴(super convergence)이라는 이론에 기초하고 있다.
상용 유한요소해석 프로그램에서는 이러한 응력복원 기능을 제공하고 있기 때문에 해석자가 위에서 언급한 위치가 아닌 임의 지점에서의 응력값을 제공받을 수 있다.
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물체를 둘러싸고 있는 표면을 경계(boundary)라고 부르고, 이 경계는 물체의 변형(deformation)에 따라 변하게 된다. 변형을 전혀 일으키지 않는 가상적인 물체인 강체(rigid body)에 있어서도 강체의 이동에 따라 경계 역시 이동하게 된다. 따라서 엄밀한 의미에서 물체가 외란을 받게 되면 물체의 경계는 시간에 따라 변화하게 된다. 특히 외란에 따라 움직임이 극심한 액체나 기체는 경계의 움직임 역시 극심하다.
이와 같이 시간과 더불어 움직이는 물체의 경계를 움직이는 경계라고 부르며, 수치해석(numerical analysis)에 있어 하나의 주요한 연구분야로 취급되고 있다. 물체의 경계는 해석의 관심이 되는 물체 거동에 의해 결정되기 때문에 움직이는 경계는 비선형 문제에 해당된다. 왜냐하면, 물체의 거동을 구하기 위해서는 경계가 먼저 정의되어 있어야 하는데, 움직이는 경계는 물체의 거동이 먼저 계산되어야지 결정되기 때문이다.
따라서 움직이는 경계를 포함하는 해석문제는 반복계산(iterative computation)에 의해 그 해답을 구하게 된다. 다시 말해, 초기 경계조건을 이용하여 물체의 거동을 구하고, 계산된 물체의 거동을 토대로 변화된 물체의 경계를 정의하는 일련의 반복 계산을 거치게 된다.
라그랑지(Lagrange) 기반의 수치기법에서는 요소망(mesh)이 물체의 거동과 정확하게 함께 이동하기 때문에 변화된 물체의 경계가 자연스럽게 정의된다. 하지만, 오일러(Euler) 기반의 수치기법에 있어서는 요소망은 공간상에 고정되어 있는 반면 물체가 요소망을 가로질러 이동하기 때문에 물체 경계를 정의하기 위해 추가적인 기법이 요구된다. 움직이는 물체의 경계를 정의하기 위해 사용되는 기법을 자유표면 추적기법(free surface tracking method)이라고 부른다.
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