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한 물체의 기하학적 영역을 유한 개의 세부 영역들로 분할할 경우, 각 세부 영역 하나 하나를 유한요소(finite element)라고 부른다. 좁은 의미에서의 요소망은 이렇게 한 물체의 기하학적 영역을 유한개의 요소로 분할한 것 자체를 의미한다. 하지만 보다 정확한 의미에서의 요소망은 유한요소, 요소번호(element number), 절점(node) 및 절점번호로 구성된 하나의 유기적인 요소들의 네트워크(network)를 지칭한다.
요소망 내의 요소들은 1부터 순차적으로 번호가 부여되는데 이 번호를 요소번호라고 부른다. 요소번호는 각 요소를 구별하기 위해 필요한 일종의 명칭이다.
절점은 구하고자 하는 물체의 거동을 표현하기 위해 필요한 자유도(degree of freedom)가 부여되는 요소 상의 점을 의미한다. 절점의 위치는 요소의 모양과 종류에 따라 다양하다. 절점이 부여될 수 있는 요소상의 위치는 1차원 선요소(line element)에서는 요소의 양끝점과 선 요소의 내부에 존재하는 점, 2차원 삼각형 및 사각형 요소에서는 요소의 꼭지점(vertex), 모서리(edge)및 요소 내부에 위치하는 점이다. 3차원 요소들에 있어서는 꼭지점(vertex), 모서리(edge), 면(surface) 및 요소 내부의 점이다.
요소와 마찬가지로 한 요소망 내에 정의된 모든 절점들도 1부터 순차적으로 번호를 부여해야 한다. 각 절점에 부여된 번호를 절점번호라고 부른다. 절점번호는 그 절점의 기하학적 위치, 자유도 등의 정보를 관리하기 위해 필요하다.
스프링 상수가 K인 선형(linear) 코일스프링에 F라는 힘으로 잡아 당길 경우 늘어나는 길이가 d라고 하면, 2F의 힘을 가하게 되면 늘어나는 길이는 2d가 될 것이다. 그리고 반대로 F/2의 힘을 가하게 되면 늘어나는 길이는 그 절반이 될 것이다. 이 문제의 특징은 스프링에 가해지는 하중의 크기만 다를 뿐, 스프링의 크기 및 강성 그리고 늘어난 길이를 계산하는 방법에는 아무런 변화가 없다는 점이다.
이렇게 단순한 1 자유도(degree of freedom) 문제를 무한개의 스프링들이 밀집되어 있다고 생각할 수 있는 탄성체(continuum body)로 확장시켜 보자. 그리고 스프링에 가해졌던 하중이 달라졌던 것과 같이 이 탄성체에 가해지는 하중조건이 달라짐에 따라 변형이 어떻게 변할 것인지를 분석하는 문제를 생각해 보자. 이 문제에 대한 유한요소 근사화는 [K]{u}={F}라는 행렬 방정식을 푸는 문제로 귀착된다. 여기서 [K]는 물체의 기하학적 형상, 재료 물성치(material property), 요소망(mesh) 그리고 변위 경계조건(displacement boundary condition)에 의하여 결정되는 강성행렬(stiffness)이다. 그리고 {F}와 {u}는 각각 가해진 하중에 대한 하중벡터(load vector) 그리고 구하고자 하는 탄성체의 변위를 나타낸다.
앞서 코일 스프링의 늘어난 길이를 계산하는 것과 동일하게 이 경우에도 하중벡터만 달라지는 특징을 지니고 있다. 따라서, 하중벡터만 변화시키면서 탄성체의 변형을 구할 수 있는데, 이러한 수치기법을 다중 해석이라고 부른다. 그리고 각각의 하중벡터는 서로 다른 하중조건을 각기 하나의 하중 케이스로 정의하여 설정한 다중 하중 케이스(multi-load case)로부터 손쉽게 계산할 수 있다.
다중 해석은 하나의 해석문제를 계산하는 경우와 비교하여 그 방법과 절차가 동일하기 때문에 한 번의 전처리(preprocessing) 작업만으로 여러 하중조건을 다룰 수 있기 때문에, 해석을 위한 노력과 해석시간을 대폭적으로 줄일 수 있는 장점을 지니고 있다. 그리고 현재 시판되고 있는 대부분의 상용 유한요소해석 프로그램은 이 기능을 제공하고 있다.
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유한요소 해석을 위한 모델링(modeling)에는 형상, 요소망(mesh), 재료 물성치(material property) 그리고 경계조건(boundary condition)을 설정하게 된다. 그리고 이러한 제반 작업을 위해서는 기준 좌표계(reference coordinate)가 필요하게 되는데, 보통의 경우에는 하나의 좌표계만 지정하면 된다. 하지만 지정의 정확성과 편의성을 위하여 하나 이상의 좌표계를 필요로 하는 경우도 종종 발생한다.
예를 들어, 형상이나 요소망 생성을 위해 직교 좌표계를 사용하면서, 물체 내부에 존재하는 원형 구멍에 회전 슬라이딩(rotational sliding) 조건을 부여하기 위해 국부적으로 원통 좌표계를 사용할 수도 있다. 이렇게 되면 요구되는 경계조건을 정확하게 그리고 편리하게 지정할 수 있다. 또 다른 예로는 각기 방향이 다른 섬유(fiber)가 삽입되어 있는 복합재(composite material)의 재료 물성치를 지정하기 위해서는 좌표축이 섬유방향과 일치하도록 추가적으로 좌표계를 설정하면 편리하다.
이와 같이 위에서 언급한 제반 작업을 편리하게 그리고 정확하게 처리하기 위해 해석자가 국부적으로 설정한 추가적인 좌표계를 사용자 좌표계라고 부른다. 그리고 이러한 사용자 좌표계 가운데 재료 물성치 부여를 위해 추가적으로 설정한 사용자 좌표계를 재료 좌표계(material coordinate system)라고도 부른다.
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자연계에서 발생하는 현상에 대한 근사해(approximate solution)를 구하는 대표적인 수치기법인 유한요소법(finite element method)에서는 근사해를 각 유한요소(finite element) 상에서 정의되는 보간함수(interpolation function, 혹은 기저함수(basis function))들의 조합으로 표현한다. 그리고 각 기저함수들의 크기를 결정하는 상수는 행렬 방정식을 풀어서 계산한다.
예를 들어, 구조물의 변형을 구하는 경우 행렬방정식은 [K]{u}={F}으로 표현되는데, 여기서 {u}가 바로 구해야 하는 보간함수들의 크기이다. 그리고 강성행렬(stiffness matrix) [K]와 하중벡터(load vector) {F}는 보간함수들로 근사되는 물체의 변형률 에너지(strain energy)와 하중이 한 일(work)에 비례하여 수치적분(numerical integration)을 이용하여 계산된다.
임의 물체에 대한 요소망(mesh)에 있어서 요소망 내 각 유한요소는 그 형상과 기하학적 좌표값이 각기 다르기 때문에 실제 요소 상에서 수치적분을 수행하는 것은 어려움이 많다. 그래서 컴퓨터를 이용하여 체계적으로 강성행렬과 하중벡터를 계산하기 위하여 정규화 된 마스터 요소(master element)를 활용하고 있다. 그리고 이 마스터 요소와 요소망 내 실제 유한요소 사이의 정보 교환은 좌표변환(geometry transformation)을 통하여 이루어 진다.
마스터 요소와 실제요소 사이의 좌표변환에는 자코비언(Jacobian)이 반드시 포함되어 있는데, 이것의 물리적인 의미는 1차원의 경우는 두 요소의 길이 비, 2차원의 경우는 두 요소의 면적 비 그리고 3차원의 경우에는 두 요소의 체적 비를 나타낸다. 따라서 자코비언은 물리적으로 0 혹은 음(-)의 값을 가질 수가 없다.
하지만 요소망을 생성하는 과정에서 요소가 지나치게 찌그러지게 되면 마스터 요소와의 좌표변환에 있어 0 혹은 음(-)의 자코비언을 가지게 된다. 이렇게 요소의 과도한 찌그러짐은 물리적으로 불가능한 0 혹은 음(-)의 자코비언을 야기시켜 유한요소 행렬 방정식을 풀 수 없게 만든다. 다시 말해 유한요소 해석 프로그램이 [K]{u}={F}라는 행렬방정식을 풀지 못하고 도중에 중단되어 버린다.
유한요소 해석(finite element analysis)을 수행하기 전에 선행되어야 할 작업들 중 하나인 요소망(mesh)은 CAE 프로그램의 자동 요소망 생성 기능을 이용하거나 혹은 해석자가 직접 생성할 수 있다. 전자를 자동 요소망 생성이라고 하고 후자를 수동 요소망(manual mesh) 생성이라고 부른다. 물체의 형상이 그다지 복잡하지 않은 경우에는 수동으로 요소망을 생성하는 것이 형상 종횡비(aspect ratio)가 높은 요소나 과도하게 찌그러진 요소(distorted element)를 예방할 수 있어 높은 정확도의 해석결과를 확보할 수 있다.
하지만 물체의 형상이 복잡한 경우에 해석자가 직접 요소망을 생성하는 것은 엄청난 시간과 노력이 요구되기 때문에 비현실적 일뿐더러 대부분의 경우 구현이 불가능하다. 따라서 실무에 있어 대부분의 유한요소 해석은 자동 요소망을 채택하고 있다. 하나의 요소망은 물체의 외곽에서부터 내부로 요소를 채워나가는 방식으로 생성된다.
그리고 최근 요소망 생성기법의 발달로 형상종횡비나 찌그러짐으로 문제가 되는 경우는 거의 없을뿐더러, 해석자가 임의로 요소망 밀도(mesh density, 혹은 요소 크기)를 조절할 수도 있고 또한 국부적으로 요소망을 조밀하게 생성할 수도 있다.
하지만 해석자가 간과해서는 안될 유의사항은 해석결과의 신뢰성은 요소망의 품질과 직결된다는 점과 해석하고자 하는 문제에 대해 어떠한 요소망이 최적인지를 판별할 수 있는 능력을 갖추고 있어야 한다는 점이다.
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유한요소 해석을 위해 물체가 차지하고 있는 기하학적 영역을 세분화시키는 요소망(mesh) 생성에 필요한 유한요소(finite element)의 한 종류이다. 유한요소는 차원, 형상 및 차수에 따라 분류할 수 있는데, 사면체 요소는 3차원 요소들 중에서 가장 기본이 되는 유형으로서, 쐐기 형상으로 4개의 면으로 구성되어 있다. 사면체 요소는 차수에 따라 1차 요소는 각 꼭지점에 하나씩 절점을 지닌 4절점 요소 그리고 2차 요소는 각 꼭지점과 변에 하나씩 절점을 가진 10절점 요소로 다시 구분된다.
사면체 요소는 임의 형상을 지닌 3차원 물체의 요소망 생성에 반드시 필요한 기본적인 요소이다. 왜냐하면, 오면체(pentahedron)와 육면체(hexahedron) 요소만으로는 요소망을 생성할 수 없는 경우가 종종 발생하기 때문이다. 예를 들어 3차원 구(sphere) 형상의 물체를 오면체와 육면체 요소로 세분화 하는 경우를 생각해 보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.
사면체 요소 중에서 1차 요소에 해당되는 4절점 요소는 일정 변형률 요소(constant strain element)의 한 유형으로서, 물체 변형에 따른 변형률(strain)이 이 요소 내에서 일정한 값을 가지게 된다. 그 결과 잠김현상(locking phenomenon)과 같은 해석 정확도(analysis accuracy)의 저하를 유발시킨다. 따라서, 4절점 사면체 요소는 불가피한 상황이 아닌 경우에는 사용하지 않는 것이 좋다.
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유한요소 해석을 위해 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 여러 개의 작은 세부 영역들로 쪼개는 작업을 요소망(mesh)을 생성한다고 말한다. 그리고 각각의 세부 영역들을 유한요소(finite element)라고 부르는데, 이와 같이 요소망을 생성하는 이유는 구하고자 하는 물체의 거동을 근사하기 위해 사용되는 기저함수(basis function)를 아무리 물체의 형상이 복잡하더라도 체계적이고 효과적으로 정의하기 위함이다. 그리고 유한요소법이라는 이름이 붙여지게 된 근원이 바로 여기에 있다.
각각의 요소는 절점(node)이라 불리는 특정한 점들을 가지고 있는데, 이 절점들에서 물체의 거동값을 계산하여 요소망 전체에 걸친 거동의 전체 분포를 최종적으로 표현(근사)한다. 한편, 각 절점에서의 물체의 거동값은 물체 거동을 계산하기 위해 수치적으로 변환시킨 행렬 방정식의 미지수, 즉 자유도(degree of freedom)에 해당된다.
한 절점이 가지게 되는 미지수의 개수를 절점 자유도(nodal degree of freedom)라고 부르며, 풀고자 하는 물체 거동의 유형에 따라 달라진다. 요소 자유도란 한 요소내 각 절점에서의 자유도를 모두 합한 자유도를 의미한다. 예를 들어 절점 자유도가 3인 4개의 절점으로 구성되어 있는 사각형 요소의 요소 자유도는 12가 된다.
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설계업무를 수행하다 보면 형상은 동일하지만 가해지는 하중조건(load condition)만 달라지는 경우가 종종 있다. 다시 말해, 하나의 대상 물체에 있어 물체에 작용하는 하중이 달라짐에 따라 물체의 거동이 어떻게 변화하는지가 관심사가 되는 경우가 종종 발생한다.
고층건물이 자중에 의해 얼마나 변형(deformation)하는지, 지진에 의해서는 얼마나 변형하는지, 그리고 자중과 지진파를 동시에 고려하였을 경우에는 또 변형이 어떻게 되는지를 각각 계산하여 그 결과를 비교하고자 하는 경우를 예를 들어 보자. 이러한 경우, 물체의 기하학적 형상, 재료 물성치(material property), 요소망(mesh) 그리고 변위 구속조건(displacement boundary condition)은 동일하지만, 하중조건만 달라지게 된다. 이러한 해석문제를 효과적으로 수행하기 위한 방법으로 다중 해석(multi-analysis)이라는 수치기법이 있으며, 거의 대부분의 상용 유한요소 해석 프로그램에서 이 기능을 지원하고 있다.
이 기법에서는 하중조건을 설정하는 것 이외에는 하나의 해석문제를 취급하는 일반 유한요소 해석과 그 절차와 방법이 동일하다. 하지만 다루고자 하는 각각의 하중조건을 각기 하나의 하중 케이스(load case)로 설정하여 여러 하중 케이스를 준비해야 한다. 그리고 각각의 하중 케이스를 불러들여 유한요소 해석을 각각 수행하기만 하면 원하는 여러 하중 조건에 대한 물체의 거동을 빠른 시간 내에 효과적으로 구할 수 있다. 이와 같이 각기 독립적으로 설정된 여러 하중 케이스들을 특별히 다중 하중 케이스라고 부른다.
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코일 스프링을 길이 방향으로 잡아당기거나 누르면 길이가 늘어나거나 줄어든다. 늘어나거나 줄어드는 길이는 스프링의 강한 정도, 즉 강성(stiffness) 혹은 스프링 상수(spring constant)에 반비례하고 스프링에 가한 하중(load)에 비례한다. 임의 3차원 물체는 이러한 스프링이 무수히 많이 빽빽하게 차여있는 물체라고 생각할 수 있다. 따라서 임의 물체가 외부로부터 힘을 받아 늘어나거나 줄어드는 길이, 즉 변형은 외력의 크기에 비례하고 물체의 강성에 반비례한다.
물체의 변형이 외력 및 강성에 비례적인 관계를 보이는 경우를 선형(linear)이라고 말한다. 선형적인 정적 거동(static behavior)을 나타내는 물체에 유한요소법(finite element method)을 적용하면 [K]{u}={F}라는 행렬방정식을 푸는 수치해석 문제로 변환된다. 여기서 행렬 [K]를 강성행렬, 행렬 {F}를 하중벡터(load vector), 그리고 행렬 {u}는 구하고자 하는 미지수, 즉 물체의 근사적인 변형 값이다.
행렬의 이름을 이처럼 부르게 된 것은 위에서 설명한 코일 스프링의 역학적 거동에서 유래되었다. 코일 스프링과 마찬가지로 강성행렬은 물체의 강한 정도를 나타내며, 물체의 재질, 두께 및 구조에 따라 결정된다. 강성행렬은 요소망(mesh) 내 각 유한요소 별로 계산하여 모두 합하는 방식으로 계산되며, 각 유한요소 별 강성행렬을 특별히 요소 강성행렬(element stiffness matrix)이라고 부른다.
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