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물체는 형상, 재질 및 외부 구속상태에 따라 고유한 진동 특성을 나타낸다. 여기서 고유한 특성이란 외부에서 어떠한 동적 자극을 받지 않은 상태에서 그 물체가 가지는 본질적인 특성을 의미한다. 이러한 맥락에서 모드해석을 고유치해석(eigenvalue analysis)이라고도 부른다. 물체의 고유한 진동 특성이란 고유주파수(natural frequency 혹은 eigen frequency)와 이에 대응하는 고유모드(natural mode 혹은 eigen mode)를 의미한다.
고유모드란 물체가 주어진 구속상태에서 자유로이 변형될 수 있는 형상을 의미하고, 고유진동수란 이 고유모드가 단위 시간당 얼마나 빨리 반복되는가의 정도를 나타낸다. 예를 들어 시계추는 수직 축에 대해 일정한 각도로 좌우로 요동한다. 여기서 수직 축에 대해 일정한 각도로 기울어져 있는 시계 추의 형상이 고유모드에 해당되고, 1회 왕복하는데 걸리는 시간의 역수에 2π(약 6.14)를 곱한 값이 고유진동수가 된다. 참고로 1회 왕복하는데 걸리는 시간을 고유주기라고 부르고 이 고유주기의 역수를 고유주파수라고 부른다.
고유주기의 단위는 초(second)이며 고유주파수의 단위는 헤르쯔(Hz)이다. 고유진동수는 단위는 단위시간당 왕복한 각도이다. 시계추의 운동은 자유도(degree of freedom)가 한 개밖에 없기 때문에 고유모드와 고유진동수도 각각 하나밖에 존재하지 않는다. 다른 예로 한쪽 끝이 고정되어 있는 긴 나무판은 무한개의 고유모드와 고유진동수를 가진다. 왜냐하면 나무판이 변형될 수 있는 모양은 무한히 가능하기 때문이다.
고유진동수와 고유모드는 진동수가 낮은 값으로부터 높은 값으로 순차적으로 구분한다. 진동수가 낮은 값일수록 대응되는 고유모드의 형상은 단순하다. 낮은 고유진동수일수록 물체가 변형되기 쉬운 고유모드 형상을 의미하고 고유진동수가 높아질수록 고유모드는 변형하기 어려운 형상이 된다. 참고로 고유진동수와 고유모드의 개수는 자유도와 일치한다. 나무판의 경우, 나무판을 요소망(mesh)으로 분할하여 유한요소 해석(finite element analysis)을 수행하게 되면 고유진동수와 고유모드는 유한개로 줄어든다. 그 이유는 요소망으로 분할된 나무판의 변형 모양은 요소망이 가지는 자유도로 한정되기 때문이다.
하중을 받으면 물체는 변형되고 물체의 내부에는 외력에 저항하려는 내력 즉, 응력(stress)이 발생하게 된다. 지구 상의 대부분의 물체는 연속적이고 조밀한 분포를 가진 입자들로 구성되어 있다. 이러한 측면에서 연속체(continuum material)라는 용어를 사용하고 있으며, 변형이나 응력과 같은 물체의 거동은 물체 내에서 연속적인 분포를 나타낸다.
그런데 이러한 물체의 거동을 유한요소해석(finite element analysis)과 같은 수치기법으로 근사해(approximate solution)를 구하게 되면 변형은 연속적인 분포를 나타내지만, 변형률(strain)과 응력은 요소망(mesh) 내 이웃한 유한요소(finite element) 사이에서 불연속성을 나타낸다. 그 이유는 다름아닌 물체의 변형을 근사화 하기 위해 사용되는 보간함수(interpolation function, 혹은 기저함수(basis function)라고도 불림)의 특성 때문이다.
유한요소해석에 사용되는 대부분의 보간함수는 기본적으로 인접한 요소 사이에서 연속적이지만 이 함수의 미분은 요소 사이에서 불연속적이다. 변형률과 응력은 모두 변형의 미분으로 정의되기 때문에 결국 변형률과 응력은 인접한 요소 사이에서 불연속적인 분포를 나타내게 되는 것이다. 하지만 우리가 상용 유한요소해석 프로그램을 사용하여 화면상에 응력을 출력하면 인접한 요소 사이에서 연속적인 분포를 보여준다. 이것은 프로그램 내에서 불연속적인 변형률과 응력을 연속적인 분포를 갖도록 인위적으로 수정하기 때문이다.
대부분의 경우 인접한 요소들의 공동 경계면(interface)에서의 변형률 혹은 응력값의 평균을 취하여 연속적인 분포로 수정하고 있다. 이처럼 인접한 요소 사이에서 불연속한 응력값의 평균을 취하여 정의한 응력을 평균응력이라고 부른다.
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어떠한 물체의 거동을 컴퓨터를 이용하여 화면상에 재현(시뮬레이션)하기 위해서 여러 가지 작업들이 필요하다. 우선 대상이 되는 물체의 기하학적인 형상을 생성하고, 그 물체 고유의 재료 물성치(material property)와 그 물체가 외부로부터 받고 있는 각종 구속과 하중 등을 부여해야 한다. 또한 거동을 정확하고 효과적으로 계산하기 위하여 물체의 기하학적 형상을 다수의 작은 영역들로 분할하고 계산을 위해 필요한 수치적인 기능들을 지정해야 한다.
이와 같이 물체의 거동을 계산하기 위해 선행되어야 하는 모든 작업들을 담당하는 소프트웨어의 한 부분(모듈)을 전처리기라고 부른다. 물체의 기하학적인 형상은 물체의 공간 좌표값을 이용하여 근사적으로 모델링하는 것이 일반적이다.
필요한 물체의 특성치들은 시뮬레이션 하고자 하는 거동에 직접적으로 영향을 미치는 값들을 입력해야 한다. 구속과 하중 역시 시뮬레이션 하고자 하는 물체의 거동에 영향을 미치는 것들은 빠짐없이 반영시켜야 한다. 물체의 기하학적 형상을 세부영역들로 분할하는 것을 요소망 생성(mesh generation)이라고 부르고 수치해석과 관련된 사항들로는 요소의 유형, 계산방법 등이 있다.
전처리기는 일반적으로 크게 두 가지 형태로 분류할 수 있다. 하나는 CAD 시스템에서 지원하는 전처리 기능을 활용하여 전처리 데이터를 만드는 것이고, 다른 하나는 계산전용 유한요소해석 프로그램에 탑재되어 있는 전처리기를 그대로 사용하는 것이다.
일반적으로 하나의 CAE 프로그램은 전처리기를 포함하여 처리기(processor) 및 후처리기(post-processor)의 세 부분(모듈)으로 구성되어 있다.
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특이하다는 말은 정상적이지 않아 흔하지 않는 경우를 지칭한다. 이러한 용어가 공학분야에서도 종종 사용되고 있으며, 특히 유한요소법(finite element method)에서는 자주 등장하는 용어이다.
공학분야에 있어 특이성이란 물체 내 특정한 지점 혹은 부위에서 물체 거동이 급격한 변화를 나타내는 현상을 의미한다. 예를 들어 내부에 균열(crack)이 발생한 물체에 힘을 가하여 잡아당기면 균열이 있는 부분, 특히 균열의 선단부에서 응력(stress)이 급격하게 증가한다. 이러한 현상을 응력집중(stress concentration)이라고 부른다.
특이 거동은 수치해석(numerical analysis)에 있어 매우 어렵게 취급되고 있다. 왜냐하면 물체 거동의 이러한 급격한 변화를 수치해석적으로 계산하기가 매우 어렵기 때문이다. 예를 들어 균열 선단부의 정확한 응력값이 100이라면 수치해석으로 정확히 계산하면 이보다 훨씬 낮은 값 밖에 나오지 않기 때문이다.
이러한 특이거동을 유발시키는 원인은 크게 세 가지로 알려져 있다. 첫째는 물체의 표면이 180도 이상으로 꺾어지는 코너(corner) 부분, 둘째는 하중이 매우 좁은 면적에 집중되는 일명 점하중(point load)dl 작용하는 곳 그리고 마지막으로는 서로 다른 재질로 구성되어 있는 물체에 있어 재료간의 계면(interface) 이다. 균열의 경우에는 형상이 꺾이는 각도가 360도에 해당되기 때문에 특이성이 가장 심한 경우로 취급되고 있다.
이러한 특이성을 수치해석적으로 정확히 계산하기 위해서 특이요소(singular element) 혹은 매우 조밀한 요소망(fine mesh)이 효과적인 것으로 알려져 있다..
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임의 두 물체가 접촉하게 되면 접촉면에서는 크기가 같고 방향이 반대인 접촉력(contact force)이 발생하여 상대편을 변형시키게 된다. 이렇게 접촉에 따른 물체의 변형과 응력을 분석하는 것을 접촉해석(contact analysis)이라고 부르며, 대부분의 구조해석은 접촉해석을 수반하게 된다.
접촉해석은 크게 세가지 과정으로 이루어 지는데, 우선 접촉 중이거나 접촉이 예상되는 두 물체의 경계영역을 탐색하는 과정이고, 그 다음으로는 두 물체가 상호 침투하지 못하도록 구속조건을 부과하는 과정이다. 그리고 마지막 단계에서는 접촉에 따른 변형, 변형률(stain) 및 응력(stress)을 계산하게 된다.
접촉 중이거나 접촉이 예상되는 두 물체의 경계영역을 접촉쌍이라고 부르며, 이 접촉쌍 중에서 어느 한 편을 마스터(master) 그리고 상대편을 슬레이브(slave)로 정의하게 된다. 마스터와 슬레이브의 선택은 요소망(mesh)의 조밀한 정도와 두 물체의 강성에 의하여 결정된다.
요소망 조밀도 측면에서는 엉성한 요소망을 가진 물체의 경계가 마스터가 되고 조밀한 쪽이 슬레이브가 되는데, 이렇게 하는 것이 두 물체의 상호 침투량을 최소화 시킬 수 있기 때문이다. 그리고 강성적인 측면에서는 강한 물체가 마스터가 되고 상대적으로 연한 물체가 슬레이브가 된다. 이 또한 접촉경계에서의 침투량을 최소화 시킬 수 있기 때문이다.
접촉해석에 있어 접촉쌍의 탐색과 침투량의 최소화는 접촉해석 기법에 크게 영향을 받는데, 벌칙기법(penalty method)은 적용하기는 간편한 반면 상대적으로 많은 침투량을 허용하는 단점이 있다. 반면, 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method)은 침투량을 거의 허용하지 않는 반면 접촉경계 상의 절점(node)의 개수에 비례하여 미지수가 증가하는 단점을 지니고 있다. 접촉해석에 있어 접촉쌍의 정의는 접촉해석의 성공여부를 결정짓는 주요한 사항이므로 이에 대한 충분한 지식을 사전에 습득하고 있어야 한다.
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유한요소 해석에서는 구하고자 하는 물체의 거동을 요소망(mesh)내 각 유한요소(finite element)의 절점(node)에서의 값을 구하여 표현한다. 이것은 거동을 근사화 시키기 위해 사용되는 기저함수(basis function)의 특성에 따라 달라질 수도 있는데, 보편적으로 사용되는 기저함수는 라그랑지(Lagrange) 형식으로 각각의 기저함수는 자신의 함수번호와 일치하는 절점에서는 1의 값을 가지고 나머지 절점에서는 모두 0이 된다.
하지만 계층적 기저함수(hierarchical basis function)에서는 이러한 특성이 만족되지 않는다. 따라서, 라그랑지 혹은 계층적 유형에 따라 요소 내 절점의 위치는 판이하게 달라진다. 보편적으로 사용되는 라그랑지 유형의 요소에 있어서 절점은 요소의 각 모서리(vertex), 변(side), 면(surface) 그리고 내부(internal)에 위치한다. 요소의 차수(element order)와 무관하게 각 모서리는 항상 절점을 가지지만 나머지 위치에서의 절점 유무는 요소차수에 의존한다.
각 절점에서 물체의 거동값을 절점 자유도라고 부르는데, 각 절점에서의 자유도 개수는 풀고자 하는 물체 거동의 유형에 좌우된다. 예를 들어, 물체내 온도분포를 구하고자 하는 경우 각 절점에서의 자유도(degree of freedom) (즉, 미지수)는 하나이다. 하지만, 유속과 압력을 동시에 구하고자 하는 경우에는 각 절점에서의 자유도는 네 개가 된다 (2차원 문제의 경우에는 세 개).
따라서, 온도 분포를 구하는 해석문제에 있어서 총 자유도는 요소망내 총 절점수와 일치하지만, 거동값이 방향별 성분을 가지는 경우나 연계해석(coupled analysis)과 같이 여러 유형의 거동들을 동시에 구하는 경우는 총 자유도는 총 절점수보다 훨씬 많아지게 된다.
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요소망(mesh)을 구성하는 각 유한요소(finite element)의 크기를 간단히 요소 크기(element size)라고 부르고 상징적인 기호로 보통 h를 사용한다. 요소의 크기는 그 형상에 따라 정의하는 방식에 다소의 차이가 있다.
1차원의 경우에는 요소의 형상이 직선이기 때문에 단순히 요소의 길이가 그 요소의 크기가 된다. 하지만 2차원의 경우에는 사각형과 삼각형의 두 가지 요소 형상이 있고, 사각형의 경우에는 두 대각선 중에서 긴 대각선의 길이로 그리고 삼각형의 경우에는 세 변 중에서 가장 긴 변의 길이를 요소 크기로 정의한다. 3차원의 경우에는 육면체, 오면체 그리고 사면체 형상이 있고, 육면체와 오면체의 경우에는 서로 마주보는 꼭지점을 연결하는 대각선들 중에서 가장 긴 대각선의 길이를 요소 크기로 정의한다. 그리고 사면체의 경우에는 6개의 변 중에서 가장 긴 변의 길이를 요소 크기로 정의한다.
한편 요소 크기는 요소망의 밀도(mesh density)와 요소의 개수에 밀접한 관계가 있다. 왜냐하면 정해진 임의 물체 형상을 작은 영역으로 나눈 하나 하나가 유한요소이기 때문에 요소 크기가 줄어든다는 것은 요소의 개수가 늘어남을 의미하게 되어 요소망의 밀도가 커지게 되는 것이다. 다시 말해, 요소 크기가 줄어들면 요소의 개수와 요소망의 밀도는 커지게 되고, 요소 크기가 커지게 되면 요소의 개수와 요소망의 밀도는 작아지게 된다. 요소 크기(h)는 유한요소 해석결과의 정확성에 영향을 미치는 매우 중요한 인자이다. 이론적으로 해석결과의 정확도는 요소 크기가 작아질수록 비례적으로 증가한다.
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스프링을 잡아당기거나 누르면 길이가 늘어나거나 줄어든다. 이러한 스프링의 길이 변화는 스프링의 강한 정도를 나타내는 스프링 상수(spring constant)에 반비례하고 스프링에 가한 하중(load)에 비례한다.
우리 주위에서 흔히 볼 수 있는 임의 물체는 이러한 스프링이 무수히 많이 빽빽하게 차여있는 탄성체로 생각할 수 있다. 따라서 물체가 외부로부터 힘을 받아 늘어나거나 줄어드는 길이, 즉 변형(deformation)은 외력의 크기에 비례하고 물체의 강성에 반비례한다.
물체의 변형이 외력 및 강성에 비례적인 관계를 나타내는 경우를 선형(linear)이라고 한다. 선형적인 정적 거동(static behavior)을 나타내는 물체에 유한요소법(finite element method)을 적용하면 [K]{u}={F}라는 행렬방정식을 푸는 수치해석 문제로 변환된다. 여기서 행렬 [K]를 강성행렬(stiffness matrix), 행렬 {F}를 하중벡터(load vector), 그리고 행렬 {u}를 구하고자 하는 미지수, 즉 물체의 근사적인 변형 값이다.
행렬의 이름을 이처럼 부르게 된 것은 위에서 설명한 코일 스프링의 거동을 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 코일 스프링과 마찬가지로 하중벡터는 물체에 작용하는 힘의 크기를 나타내며, 요소망(mesh) 내 각 유한요소 별로 계산하여 모두 합쳐서 만들게 되는데, 각 요소별로 계산한 하중벡터를 특별히 요소 하중벡터(load vector)라고 부른다.
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자유도(degree of freedom)가 N개인 물체는 그 물체의 고유한 진동 형상인 고유모드(natural mode)를 N개 지니고 있다. 참고로, 지구상의 대부분의 물체는 무한 개의 자유도를 가지고 있으며, 그 결과 무한 개의 고유모드를 가지고 있는 셈이다. 하지만 무한 개의 고유모드는 실제적으로 수치해석(numerical analysis) 으로 구할 수 없기 때문에, 요소망(mesh)의 크기에 비례하여 유한 개의 고유모드로 한정된다.
한편, 물체가 외부로부터 동적인 하중을 받아 시간에 따라 변하는 물체의 동적 거동은 물체가 지니고 있는 모든 고유모드의 조합으로 표현된다. 이러한 물체의 동적 특성을 이용하여 외란을 받는 물체의 동적응답을 고유모드의 조합으로 구하는 수치기법이 바로 모드 응답해석(mode response analysis)이다. 동적 거동에 미치는 각 고유모드의 참여도는 외부 동하중(dynamic load)의 주파수, 물체에 부여된 구속조건 등에 따라 좌우되며, 대부분의 경우 가장 저차의 고유모드가 가장 큰 참여도를 나타낸다. 그리고 고차 고유모드로 갈수록 동적 거동에 미치는 고유모드의 참여도는 급속도로 줄어든다.
충돌에 따른 자동차의 동적 찌그러짐을 시뮬레이션하는 경우, 자동차 모델이 갖는 엄청난 량의 자유도에 기인하여 모든 고유모드를 반영하여 모드 응답해석을 수행한다는 것은 실로 엄청난 해석시간을 요구하게 된다. 따라서, 기여도를 무시할 수 있는 고차 고유모드를 배제하고 한정된 수의 저차 고유모드들의 조합으로 자동차의 충돌 응답을 시뮬레이션 하게 된다. 이와 같이 참여도가 미미한 고차모드를 배제하는 것을 모드차단이라고 부르고, 일반적으로 외부 동적 하중이 갖는 주파수의 2~3배 이내의 고유 주파수(natural frequency)에 해당하는 고유모드들만 반영하고 그 이상의 고차 고유모드들은 배제시킨다.
