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보(beam)는 길이가 상대적으로 긴 사각단면 구조물에 대한 수학적인 모델을 의미하는 추상적인 구조물(abstract structure)이다. 보나 기둥(column)은 기하학적인 측면에서 단면에 비해 길이가 상대적으로 긴 가느다란 부재이다. 하지만 외부에서 가해지는 하중이 축 방향인 경우를 기둥이라고 하고 그렇지 않은 경우를 보로 구분하고 있다. 보와 같은 부재의 거동을 모사하기 위한 수학적 표현, 또한 수학적 이론 그리고 이 이론에 따라 만들어 진 유한요소(finite element)에는 몇 가지 유형이 있다.
우선 차원(dimension)에 따라 1차원, 2차원 그리고 3차원 보요소로 나뉜다. 요소의 형상은 공통적으로 직선이지만 보 요소의 각 절점(node)이 가지는 자유도(degree of freedom)는 각기 다르다. 3차원 보 요소는 한 절점에서 세 직교 방향으로의 병진 자유도를 가지는 반면, 2차원 보 요소는 한 절점에서 보의 축 방향과 하중작용 방향으로의 병진 자유도만이 정의되어 있다. 한편, 1차원 보 요소의 경우에는 하중 방향으로의 횡 전단변형률(transverse shear strain)을 반영하느냐 그렇지 않느냐에 따라 구분된다. 이 것을 무시하게 되면 가장 단순한 오일러 보(Euler beam) 요소가 되는데, 이 경우에는 한 절점에서 보의 처짐만이 자유도로 정의된다.
횡 전단변형률을 포함한 경우가 티모센코 보(Timoshenko beam) 요소로서, 한 절점에서 보의 처짐과 기울기를 자유도로 가진다. 보 요소는 요소와 요소 사이에서 부재의 기울기가 연속적이지 않은 봉 요소(rod element)와는 확연히 구분된다.
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구조물이 심한 변형을 나타낼 경우, 물체의 기하학적 형상뿐만 아니라 하중 및 모멘트의 방향이나 물성치가 바뀔 수가 있다. 그리고 이렇게 과도한 변형을 나타내는 물체의 거동은 반복계산을 필요로 하는 비선형 해석(nonlinear analysis)으로 계산하게 된다.
모든 물리적 거동은 항상 변형된 현재 시점에서의 물체의 기하학적 영역 상에서 정의되는 값이기 때문에, 원칙적으로 현재 시점에서의 변형된 물체의 형상을 기준으로 계산되어야 한다. 이러한 측면에서 업데이티드 라그랑지 기법은 매 반복계산에 있어 현재 변형된 물체의 형상을 기준으로 다음 시점에서의 물체 거동을 구하는 비선형 해석기법이다. 따라서 이 기법에서는 초기 물체형상을 기준으로 다음 시점에서의 물체의 거동을 계산하고, 이 계산 결과를 이용하여 물체의 형상 및 하중 그리고 모멘트를 수정한 후, 수정된 물체의 형상 및 하중을 기준으로 다음 시점에서의 거동을 순차적으로 계산한다.
이 기법은 항상 초기 변형되기 전 물체의 형상을 기준으로 반복계산을 통해 물체의 거동을 계산하는 토탈 라그랑지언 기법(total Lagrangian method)과 현저한 차이를 나타낸다. 토탈 라그랑지언 기법에서는 변형된 물체의 형상, 하중, 변형률(strain), 응력(stress) 등을 모두 변형되기 전 초기 물체의 형상으로 변환시켜야 하는 어려움이 있다. 하지만 업데이티드 라그랑지언 기법에서는 이러한 변환에 따른 어려움이 전혀 없지만, 형상을 계속해서 갱신하는 과정에서 필연적으로 수치적인 오차가 수반되는 단점을 지니고 있다.
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자연형상에 대한 수치 시뮬레이션을 위하여 가장 많이 사용되고 있는 유한요소법(finite element method)의 가장 큰 특징이자 장점은 근사해(approximate solution)를 표현하기 위해 사용되는 보간함수(interpolation function)를 요소망(mesh)을 이용하여 체계적으로 정의할 수 있다는 점이다.
그런데 요소망 내 각각의 요소(element)와 절점(node)은 상호간에 유기적인 연결성(connectivity)을 항상 유지해야 하는데, 이러한 조건을 만족시키는 요소망을 생성하는데 소요되는 시간은 물체의 형상이 대형화 되고 복잡해질수록 기하급수적으로 증가한다. 하나의 유한요소 해석 작업에 소요되는 총 해석시간의 대부분이 요소망 생성에 할당된다고 하여도 과언은 아니다.
이와 같은 요소망 생성이 안고 있는 본질적인 단점을 해결하고자 탄생된 수치해석 기법이 바로 무요소기법이다. 무요소기법에서는 대상 물체의 기하학적 영역을 여러 개의 작은 영역들로 세분화 시키지 않고, 영역 내에 유한개의 점들을 흩뿌리고 각각의 점을 중심점으로 한 보간함수들을 정의하여 근사해를 표현한다. 각 점에 대한 보간함수는 해당 점을 중심으로 작은 영영 내에서만 정의되는데, 중요한 사항은 각각의 작은 영역들은 유한요소(finite element)와 같이 정확히 접해야 할 필요는 없다는 점이다.
물론 유한요소와 같이 각 점을 중심으로 한 작은 영역들의 조합은 대상 물체의 기하학적 영역을 완전히 채워야 하지만, 유한요소법에서와 같이 엄격한 연결성이나 접합성을 필요로 하지는 않는다는 장점을 지니고 있다. 하지만, 무요소법이 안고 있는 가장 큰 난점은 행렬을 유도하기 위한 수치적분(numerical integration)과 변위 경계조건의 적용이다.
이러한 문제를 해결하기 위해 여러가지 추가적인 기법들이 소개되었지만, 궁극적으로 기존의 유한요소법에서의 요소망과 가우스 구적법(Gauss quadrature rule)을 활용한 수치적분을 사용하고 있으며 벌칙기법(penalty method)과 같은 기존의 기법들을 채택하고 있다. 더욱이 3차원 문제나 형상이 복잡하고 대형인 경우, 물체 내에 흩뿌려진 점들과 이에 해당하는 보간함수를 체계적으로 생성하기가 어려운 문제에 직면하고 있다. > 무요소법 더 자세히 보기🔎
임의 물체에 외부로부터 힘이나 열과 같은 자극을 가한다는 것은 물리적인 관점에서 물체에 일 혹은 에너지를 공급하는 것이다. 그렇다면 이렇게 외부로부터 공급된 일이나 에너지는 물체를 변형(deformation)시키거나 온도를 높게 한다. 여기서는 단지 힘과 열에 대해서만 언급하였지만 외부로부터 공급되는 일이나 에너지의 유형은 매우 다양하다.
만일 공급된 일이나 에너지가 어떠한 형태로든지 빠져나가지 않고 저장된다면 일과 에너지는 보존된다고 말하고, 이러한 경우를 보존적(conservative)이라고 정의한다. 그리고 내부에 보존된 일과 에너지는 외부에서 작용하는 힘이나 열적 자극이 제거되면 물체를 원래 상태로 복원시키는데 사용된다. 예를 들어, 금속판을 힘으로 굽히는 박판 성형에 있어, 외부에서 가한 일은 물체의 변형에 따른 변형률 에너지(strain energy)로 축적된다. 그리고 이렇게 축적된 변형률 에너지는 외부의 힘이 제거되었을 때 금속판을 원래 상태로 복원시키는 내력(internal force)으로 소모된다.
하지만, 실제 상황에 있어서는 외부로부터 공급된 일이나 에너지는 모두 저장되지 않고 일부는 빠져나가게 된다. 변형률 에너지 밀도(strain energy density)란 외부 힘에 의하여 변형되는 물체 내부에 저장되는 단위 체적당 변형률 에너지로 정의된다. 그리고 이러한 변형률 에너지 밀도의 양을 수학적인 함수형태로 표현한 것을 변형률 에너지 밀도 함수라고 부른다. 변형률 에너지 밀도 함수는 주로 변형률 불변량(strain invariant)과 물체에 따라 달라지는 고유상수들로 표현되며, 고유상수들은 시편시험을 통해 결정된다.
대표적인 경우로 고무와 같은 초탄성 재료(hyperelastic material)를 위한 문리-리브린(Moonley-Rivlin), 오거던(Ogden), 여(Yeoh) 함수를 들 수 있다. 변형률 에너지 밀도함수를 변형률로 미분을 취하게 되면 응력(stress)을 구할 수 있기 때문에, 초탄성 재료의 재료 물성치(material property)는 이 밀도함수로 유한요소 해석 프로그램에 입력된다.
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유한요소해석(finite element analysis)을 위해 물체의 형상을 유한 개의 세분 영역들로 나누어 놓은 요소망(mesh) 내 각각의 요소들은 인접한 요소들과 맞붙어 있다. 1차원 선 요소(line element)의 경우에는 좌우 끝 점들은 인접한 좌우 요소들의 끝 점과 정확하게 공유된다. 2차원 삼각형 혹은 사각형 요소는 인접한 요소들과 요소의 변(edge)을 공유하게 되고, 3차원 요소의 경우에는 인접한 요소들과 요소 면(surface)을 공유하게 된다. 만약 한 요소가 하나의 끝 점, 하나의 변 혹은 하나의 면을 통해 오직 하나의 이웃 요소와 접하게 된다면, 이러한 요소망을 정규 요소망(regular mesh)이라고 부른다. 현재 시판되고 있는 대부분의 유한요소 해석 프로그램은 정규 요소망을 사용하고 있다.
하지만, 그렇지 않고 한 요소가 자신의 한 끝 점, 한 변 혹은 한 면에서 하나 이상의 이웃 요소들과 접하게 된다면 이 요소망을 비정규 요소망이라고 부른다. 비정규 요소망은 작은 요소 수로도 높은 해석 정확도를 제공할 수 있는 장점을 지니고 있기 때문에 국부적인 요소망 세밀화(mesh refinement)를 위해 매우 유용하다. 그리고 최근에 소개되고 있는 적응적 hp-유한요소법(adaptive hp-FEM)에서는 이러한 비정규 요소망을 채용하고 있다.
예를 들어, 해의 특이성(singularity)이 존재하는 특정 지점에만 요소망이 매우 조밀하도록 편향 요소망(gradient mesh)을 생성하고자 할 경우, 비정규 요소망은 요소망의 편향(gradient)을 급진전 시킬 수 있기 때문에 최소의 요소 수로 특이점에만 요소망을 매우 조밀하게 조절할 수 있다. 일반적으로 비정규 요소망에서는 1:2의 비율로 하나의 요소가 두 개의 이웃 요소들과 접하도록 하고 있는데, 그 이유는 이 비율이 해석의 안정성과 신뢰성 측면에서 최적이기 때문이다.
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유한요소 해석의 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 여러 개의 작은 영역으로 세분화 시킨 요소망(mesh)은 일련의 유한요소(finite element)들과 절점(node)들로 구성되어 있다. 그런데 이러한 요소망이 만족해야 할 두 가지 기본조건은 인접한 유한요소들은 마치 퍼즐게임과 같이 물체의 전체 영역을 완전하게 메우면서도 인접한 요소의 영역을 절대로 침범해서는 안 된다. 그 결과 요소망 내의 모든 요소들은 인접한 요소들과 공유 절점들을 통하여 유기적인 그물망을 형성하게 된다.
다시 말해, 인접한 요소들이 절점을 공유함으로써 요소망 내 모든 요소들은 완전한 연결성(connectivity)을 유지하게 되는 것이다. 이와 같이 요소망내 모든 요소들의 절점들이 인접한 요소들의 절점들과 완전히 일치하도록 생성된 요소망을 접합 요소망(compatible mesh)이라고 부른다. 하지만 조립체와 같이 하나 이상의 부품들로 구성된 경우에는 상황이 달라질 수 있다. 한 부품의 요소망과 인접한 다른 부품의 요소망은 각기 개별적으로 생성될 수 있고, 그 결과 서로 결합하게 되는 계면(interface) 상에서 두 요소망의 절점들이 일치하지 않을 수 있다.
이와 같이 서로 다른 두 요소망이 계면에서 절점들이 일치하지 않도록 생성된 요소망을 비접합 요소망이라고 부른다. 이러한 비접한 요소망을 계면에서 결합시키기 위해서 몇 가지 기법들이 사용되고 있다. 첫째는 강체요소(rigid element)와 같은 특수 요소를 이용하여 계면 상의 두 요소망의 절점들을 연결시키는 방법이고, 다른 기법으로는 벌칙기법(penalty method)이나 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method)을 이용하여 계면 상의 절점들을 서로 구속시키는 방법이다. 비접합 요소망은 접촉해석(contact analysis)에서 빈번하게 발생하기 때문에 이러한 요소접합 기법들에 대한 충분한 지식을 숙지하고 있어야 한다.
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슈미트 수는 운동 점성도와 물질(분자) 확산 계수의 비로 나타내는 무차원 수이다.
유동 내에 동시에 운동 확산과 물질 확산이 동시에 일어날 때 그 특성을 나타내는 데 사용된다. 열전달에서의 프란틀 수에 상당하는 역할을 하는 것인데, 프란틀 수가 유체의 성질만으로 결정되는 값인데 비해, 슈미트 수는 유체의 성질과 그 속을 확산하는 물질의 성질에 의해 결정되는 값이다.
박판 구조물(thin-walled structure)의 유한요소 해석에 주로 사용되는 평판 요소(plate element)나 쉘 요소(shell element)는 민들린-라이즈너 이론에 기초하고 있다. 이 이론은 두께가 충분히 작다고 가정한 박판 구조물에 대한 가장 오래 된 이론인 킥컵-러브 가설(Kirchhoff-Love postulates)을 미국의 공학자 민들린(Raymod Mindlin, 1906-1987)과 독일의 라이즈너(Hans Reissner, 1874-1967)가 보완한 것이다.
킥컵-러브 이론은 두께가 무한히 작지 않은 경우에는 두께 방향으로 전단 변형률(shear strain)과 전단 응력(shear stress)을 무시할 수 없기 때문에 그 정확성이 현저히 저하된다. 하지만, 민들린-라이즈너 이론에서는 구조물의 두께 방향으로 일정한 크기의 전단 변형률과 전단 응력을 허용하고 있다. 따라서, 두께가 작지 않은 구조물 해석에 적용이 가능하다. 하지만 이 이론도 구조물 두께방향으로의 전단 변형률과 전단 응력을 일정한 크기로 가정하였기 때문에 정확한 분포와는 어느 정도 거리가 있다.
구조물의 두께 방향으로의 전단 변형률과 전단 응력의 정확한 분포는 중립축(neutral axis)에서 최대가 되고 아래 윗 면에서는 0의 값을 갖는 타원 형태이다. 민들린-라이즈너 이론의 이러한 모순을 보완하기 위하여 전단 변형률로부터 전단 응력을 계산하는 과정에 전단 보정계수(shear correction factor)를 도입하고 있다. 평판 요소나 쉘 요소에서 이 보정계수를 필요로 하는 이유가 바로 이 때문이며 일반적으로 5/6의 값을 채택하고 있지만, 정확히는 부재의 단면적과 두께의 함수로 표현된다.
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고무와 같은 초탄성 재료(hyperelastic material)가 하중을 받아 그 내부에 축적되는 변형률 에너지 밀도(strain energy density)를 수학적으로 표현한 대표적인 재료 물성치(material property) 모델이다. 이 물성모델은 변형률과 물질의 고유한 상수의 곱으로 표현되며 수학적 표현식의 차수에 따라 1차, 2차 및 고차 모델로 분류된다.
이 물성 모델에 포함되어 있는 고유한 상수를 문리-리브린 상수(Moonley-Rivlin constants)라고 부르며, 고무 시편을 이용하여 실험적으로 구한 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)로부터 결정할 수 있다. 고무와 같은 초탄성 재료의 응력-변형률 선도는 거의 대부분 S자 형태로 증가하는 곡선형태를 나타낸다. 하중을 받고 있는 초탄성 재료 내부의 임의 지점에서의 응력(stress)은 문리-리브린 모델로 표현되는 그 지점에서의 변형률 에너지 밀도를 그 지점에서의 변형률로 나눔으로써 계산할 수 있다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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