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재료의 강한 정도를 나타내는 강성(stiffness)은 열처리를 이용해 증가 혹은 감소시킬 수 있다는 사실은 이미 잘 알려져 있다. 하지만 열처리가 아닌 재료의 변형(deformation)에 의해서도 강성이 변할 수 있는데, 그 대표적인 것이 가공경화(working hardening)라고 불리는 변형률 경화(strain hardening)이다. 이러한 현상은 소성변형(plastic deformation)이 증가할수록 재료가 경화되는 것으로써, 변형률의 크기와 더불어 항복응력(yield stress)이 증가하는 것이 가장 뚜렷한 특징이다.
이와는 달리 가장자리가 구속되어 있는 보, 아치, 평판 그리고 쉘 구조물은 굽힘에 따른 변형량이 하중에 비례하여 증가하는 것이 아니라, 하중이 증가할수록 변형량의 증가가 둔화되는 비선형성(nonlinearity)을 나타낸다. 이러한 현상은 굽힘에 따른 박판 구조물(thin-walled structure)의 중립면(neutral plane)에 발생하는 인장응력의 증가가 재료의 강성을 증가시키 때문이다. 이러한 현상을 특별히 기하학적 경화라고 구분한다. 동일한 재질, 형상 그리고 크기를 가진 보에 있어서, 양 단이 고정된 경우에서의 처짐량이 외팔보 지지상태에 비해 현저히 작은 이유가 바로 여기에 있다. 하지만 유한요소 해석에 있어 대변형을 반영한 비선형 해석이 아닌, 선형해석으로는 대변형에 따른 뚜렷한 기하학적 경화를 구현할 수 없다.
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유한요소법(finite element method)과 같은 수치해석(numerical analysis) 기법은 자연현상의 수학적 표현(대부분 미분방정식 형태)을 행렬방정식(matrix equation)으로 전환하여 컴퓨터를 이용하여 근사적인 해답을 구한다.
행렬방정식을 구성하는 각각의 행렬은 컴퓨터를 이용한 수치적분(numerical analysis)으로 계산하는데, 특히 유한요소법에서 사용되는 수치적분은 일반적인 수치적분과는 달리 오차가 전혀 없는 정확한 수치적분을 적용하고 있다. 그 이유로는 조그마한 수치적분 오차라도 행렬방정식을 푸는 과정에서 누적되어 최종 수치해석 결과에 수용할 수 없을 정도의 큰 수치해석 오차(numerical analysis error)를 유발시키기 때문이다.
정확한 수치적분을 위해서는 함수의 실제 값을 취하는 샘플링 지점(sampling point)과 그 지점에 대한 가중치(weight)를 수학적으로 유도해야 한다. 정확한 샘플링 지점과 가중치를 계산하는 방법에는 가우스 구적법(Gauss quadrature rule)과 로빠또 구적법(Lobatto quadrature rule)이 있다. 그리고 정확한 수치적분을 위해 사용해야 할 샘플링 지점의 개수와 가중치 값은 적분하고자 하는 함수의 차수에 비례하여 증가한다. 감차적분이란 함수를 수치적으로 정확하게 적분하기 위해 필요한 샘플링 지점의 개수보다 작은 샘플링 지점 개수를 이용하여 수치적분하는 것을 일컫는다. 즉, 정확한 적분값보다 낮은 적분값이 나오도록 의도적으로 계산되도록 하기 위함이다.
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등가(equivalence)라는 용어는 임의 물체에 있어 관심이 되는 물리량과 대등한 효과를 나타내도록 치환된 물리량을 일컫는다. 예를 들어, 좌측이 고정되어 있는 가느다란 외팔보의 우측단에 분포하중이 작용하고 있다고 가정하자. 우측단의 처짐량이 관심이 되는 효과라고 설정하였을 때, 동일한 처짐량을 일으키는 우측단의 집중하중은 분포하중에 대한 등가 하중이라 할 수 있다. 그리고 등가라는 용어는 관심의 대상이 되는 물체와 물리량이 설정되어 있어야 한다.
하나 이상의 서로 다른 매질 혹은 입자들로 구성되어 있는 혼합체의 경우, 각 구성 매질 혹은 입자의 재료 물성치(material property)는 거의 대부분 이미 알려져 있다. 하지만 혼합체의 재료 물성치는 혼합비율, 혼합 구조, 구성입자 크기 등과 같은 미시적 인자(microscopic parameter)들에 민감한 영향을 받기 때문에 재료 내 각 지점에 따라 다른 값을 가진다. 다시 말해 균질성(homogeneity)과 등방성(isotropy) 어느 하나도 만족하지 않는 재질이다. 하지만 변형, 최대 변형률, 응력 및 온도 등과 같은 거시적(macroscopic)인 물리량이 관심이 되는 경우에는 굳이 각 지점에 따라 변하는 상세한 재료 물성치 정보가 필요로 하지는 않는다. 다만, 이러한 거시적 물리량과 동일한 크기를 나타내는 등가의 물성치만으로 충분하다.
등가 물성치란 임의 혼합체가 특정한 물리량에 대해 거시적인 측면에서 동일한 효과를 나타내는 치환된 균질 등방성 물성치를 의미한다. 예를 들어, 콘크리트와 같은 혼합체에 있어 동일한 최대 처짐량을 나타내는 균질 등방성의 탄성계수(elastic modulus)와 프와송 비(Poisson’s ratio)는 콘크리트의 등가 물성치에 해당된다. 등가 물성치는 거의 대부분 대상 물체의 관심 영역에 대한 평균화(averaged) 혹은 균질화(homogenized)된 물성치로써, 가장 간단한 등가 물성치 평가기법으로 선형 혼합법칙(linear rule of mixtures)이 있다.
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비압축성 유동과 압축성 유동에서의 동압은 각각 다음과 같이 정의된다
,where q : 동압, ρ : 믿로, v : 속도
,where q : 동압, γ : 비열, p : 정압, M : 마하수
, where p0: 전압
Ax=b라는 행렬방정식에서 x라는 해를 계산하는 경우를 생각해 보자. 만일 행렬 A와 b가 x의 함수가 아닌 특정한 숫자들로 구성되어 있다면 x는 A의 역행렬(inverse matrix)을 계산하여 쉽게 계산할 수 있다. 하지만 A나 b가 구하고자 하는 x에 무관하지 않고 x에 따라 변하는 값을 가진다면 이야기는 달라진다. 다시 말해 x를 알아야 A나 b를 결정할 수 있기 때문에 계산이 단순하지 않다. 이러한 경우가 바로 비선형(nonlinear) 문제에 해당된다.
이러한 비선형 방정식은 한번의 계산으로 해답을 구할 수 없기 때문에 반복계산(iterative calculation)을 하여야 한다. 즉, 구하고자 하는 x값을 미리 추정하고 이 추정 값을 가지고 A와 b을 결정한 다음 x값을 계산한다. 그리고 계산된 x값으로 다시 A와 b를 결정한 다음 다시 x값을 계산하는 일련의 반복과정을 거치게 된다. 이렇게 반복적으로 계산을 하면 대부분의 경우 x는 정답에 가깝게 된다. 이러한 반복계산에 있어 가장 큰 관심사는 원하는 정확도를 가지는 해답 x를 얼마나 적은 반복계산으로 구할 수 있느냐이다. 이를 위한 많은 반복계산 기법들이 연구자들에 의해 제안되었으며, 그 중에서 가장 효과적인 방법이 바로 뉴튼-랩슨 반복계산 기법이다.
이 기법은 반복계산 횟수를 최소화 시키기 위해 매 반복계산 시 정답에 도달하는 가장 빠른 방향으로 A와 b를 결정한다. 하지만 행렬방정식의 크기가 큰 경우에는 반복과정 시 매번 A나 b를 계산하는데 걸리는 시간이 증가하기 때문에 단순히 최초 계산에서 결정한 A나 b를 사용하기도 한다. 이렇게 단순화 된 반복계산 기법을 수정된 뉴튼-랩슨 기법(modified Newton-Raphson method)이라고 부른다.
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유체 흐름의 특성이 공간 상의 하나의 축(유체 흐름 방향)으로만 변할 때 1차원 유동이라고 할 수 있습니다. 실제로 파이프와 같은 관내 유동은 유동 특성이 원주방향을 따라서는 변화가 작고, 유체의 흐름방향으로 주로 변하는 1차원적인 특성을 보입니다. 따라서, 유동이 충분히 발달한 긴 관내 유동의 경우 다음과 같이 1차원적으로 접근할 수 있습니다. 단면적이 변하는 관내유동도 단면적의 변화를 고려한 준1차원 유동으로 접근할 수 있습니다.
물체의 운동을 저지하려는 성질을 감쇠(damping)라고 부르며, 감쇠를 유발시키는 근원에 따라 구조감쇠(structure damping), 유체감쇠(viscous damping), 마찰감쇠(frictional damping)로 대별된다. 한편, 감쇠는 물체 전 영역에 걸쳐 존재하는 경우와 부분적으로 존재하는 두 경우로 구분할 수 있다.
위에서 열거한 감쇠 유형 중에서 유체감쇠는 유체의 전 영역에 걸쳐 분포하는 반면, 구조와 마찰감쇠는 감쇠를 나타내는 재료와 마찰이 발생하는 특정 부분에만 한정된다. 한편, 자동차 상하 진동을 저감시키기 위한 현가장치에 부착되어 있는 완충기(shock absorber)는 자동차의 한 지점에 감쇠력을 전달하고 있다. 앞서 언급한 물체 전 영역 혹은 부분 영역에 걸쳐 분포하는 감쇠는 수치해석(numerical analysis)에서 감쇠행렬(damping matrix)로 계산되어 행렬방정식 속으로 포함된다. 하지만 완충기와 같이 물체의 한 지점에 감쇠장치가 부착되어 있는 경우에는 감쇠요소를 이용하여 물체에 전달되는 감쇠를 반영시켜야 한다.
이와 같이 감쇠요소는 동해석 모델에서 완충장치의 감쇠효과를 반영하기 위해 사용된다. 감쇠요소의 단위는 힘/속도이며, 정적해석에서는 사용되지 않는다. 감쇠요소도 축 하중과 비틀림 하중을 지탱할 수 있으며, 주로 외부 감쇠장치 대신 사용된다. 동해석이 가능한 대부분의 상용 유한요소해석 프로그램에서는 이러한 감쇠요소를 제공하고 있다.
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이론적으로 정의된 형상이나 자유물체 형상을 매우 유연하게 그리고 정확하게 표현하기 위하여 컴퓨터 그래픽스(computer graphics)에서 주로 사용되는 곡면으로 non-uniform rational basis spline의 약어이다. 이 곡면은 1950년대 프랑스 르노 자동차 회사의 베지어(Bezier)와 시트뤤 회사의 카스텔자우(Caleljau) 등에 의하여 선박, 항공기, 자동차 본체와 같은 자유곡면을 정확하게 모델링하기 위하여 개발하였다. 이 곡면은 컴퓨터 응용 설계 프로그램 즉, CAD에 탑재되었으며 그 이후 각종 컴퓨터 그래픽스 및 애니메이션(animation) 패키지에 탑재되게 되었다.
너브 곡면은 CAD는 물론 컴퓨터 응용 제작(CAM), 컴퓨터 응용 공학(CAE) 분야를 망라하여 광범위하게 사용되고 있으며, 아이지이에스(IGES)를 위시한 각종 CAD 표준의 한 부분을 차지하고 있다. 너브 곡면의 장점은 제어점(control point)을 이용하여 2차원 표면을 아주 간편하게 3차원 곡면으로 변환(mapping)시킬 수 있다는 점이다.
너브 곡면을 이용하면 두 개이상의 곡면을 결합하는데 필요한 위치 연속성, 접선 연속성 및 곡률(curvature) 연속성을 아주 간편하고 효과적으로 구현할 수 있다. 너브 곡면은 가중치(weight)를 가지는 제어점 혹은 knot 벡터조합의 차수로 정의가 되며, 비-스플라인(B-spline) 혹은 베지어 곡선(Bezier curve)과 곡면의 일반화된 형태로 간주할 수 있다. 하지만 이들과의 차이는 가중치를 갖는 제어점으로써 너브 곡면이 유리 기저함수(rational basis function)로 표현된다는 점이다.
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얇은 금속판을 구부려 원하는 형상으로 성형하는 경우, 금속판은 소성변형(plastic deformation)이라 불리는 영구변형을 일으키게 된다. 만일 금속판에 작용하였던 하중을 제거하였을 때 이러한 영구변형이 제거되어 원래 형상으로 복구된다면 금속성형은 불가능해 질 것이다. 소성변형을 일으키는 물체에 있어 물체 내부에 발생하는 응력(stress)과 변형률(strain)의 관계는 더 이상 직선적인 관계에 있지 않고, 재료에 따라 특정한 곡선적인 관계를 나타낸다.
이와 같이 곡선적인 응력-변형률 관계는 소성변형에 따른 가공경화(work hardening) 혹은 변형률 경화(strain hardening)에 기인한다. 다시 말해 변형률의 증가와 더불어 재료의 강성이 지속적으로 증가한다. 이와 같이 가공경화를 나타내는 물체의 소성변형에 있어 응력은 일반적으로 변형률의 n 제곱승으로 표현되는데, 이 실수값 n을 경화지수라고 부른다. 경화지수는 0과 1사이의 값을 가질 수 있는데, 0의 값은 완전소성(perfectly plastic)을 나타내며 수평선 형태의 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)로 표현된다. 반면 이 값이 1인 경우는 재료의 변형이 아직 소성이 아닌 탄성변형(elastic region)에 있음을 나타낸다. 금속의 경우 가공경화를 수반하는 소성변형 에 있어 n값은 0.1에서 0.5사이의 값을 가진다.
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