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하중을 받는 물체의 항복 혹은 파괴를 예측하기 위한 이론들 중에서 트레스카 항복조건(Tresca yield criterion)과 쿨롱-모어 이론(Coulomb-Mohr theory)은 주응력(principal stress)을 좌표축으로 하는 3차원 공간상에서 육면체의 다각형으로 표현된다. 그 이유는 이들 이론들이 물체 내 전단응력을 파괴 예측의 기준으로 삼고 있기 때문이다. 이들 이론들은 다각형의 각 면이 직선으로 표현되기 때문에 이론식으로 표현하기가 쉽다.
하지만 이 모서리부로 인해 이들 이론들을 수치해석(numerical analysis)에 적용할 때 많은 어려움을 안겨준다. 왜냐하면 다각형 형상의 항복기준에 있어 항복이 발생하기 쉬운 방향을 나타내는 법선벡터(normal vector)가 모서리 부분에서 갑자기 변함으로 인해 불연속이 되기 때문이다. 수치해석에 있어서 이러한 단위벡터의 불연속은 항복곡면을 수치해석적으로 처리하는 과정에서 많은 문제점을 야기한다.
따라서 이러한 문제를 해결할 수 있는 이론이 바로 드러커-프라거 항복기준이다. 이 이론은 최대 비틀림 에너지를 항복예측의 기준으로 삼는 폰-미제스 항복기준(von-Mises yield criterion)을 토양이나 눈과 같은 물질로 확장시킨 것이다. 이 이론은 주응력을 좌표축으로 하는 3차원 공간상에 나타내면 타원형으로 표현될뿐더러, 쿨롱-모어 이론의 기하학적 형상의 외접 타원형이 되기 때문에, 쿨롱-모어 이론보다 물체가 파괴되지 않고 안전한 범위가 넓은 특징을 지니고 있다.
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물체의 외곽 가장자리를 그 물체의 경계(boundary)라고 부른다. 예를 들어 1차원 직선의 경우에는 직선의 양 끝점이 경계가 되고 2차원 정사각형의 경우에는 4개의 변이 경계에 해당된다. 한편 3차원 구(sphere)는 구의 최 외곽 표면이 경계에 해당된다. 굽힘변형이 지배적인 박판 구조물(thin-walled structure)에서는 이 경계에서 거동의 특이성(singularity)이 발생하여, 경계부근에서 응력(stress)이 매우 큰 값으로 급격히 증가한다. 그 결과, 주의를 기울이지 않고 요소망(mesh)을 생성하여 유한요소 해석(finite element analysis)을 수행하게 되면 엉터리 결과를 구하게 되는 경우가 허다하다. 이렇게 물체의 경계 부근에서 발생하는 거동의 특이성을 경계층 효과(boundary effect)라고 부른다.
이러한 경계층 효과를 효과적으로 그리고 정확하게 모사하기 위해서는 물체의 경계에서 법선방향으로 폭이 매우 좁은 유한요소(finite element)를 사용하면 되는데, 이 유한요소를 특별히 경계요소라고 부른다. 경계요소의 특징은 경계에서 수직한 방향으로는 그 폭이 물체 두께보다 현저히 작은 반면, 경계에 접선 방향으로는 크기가 작아야 할 필요는 없다. 다시 말해, 경계에 수직한 내면방향으로 편향 요소망(gradient mesh)을 생성하면 효과적이다.
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물체가 외부로부터 힘이나 모멘트를 받게 되면 물체 내부에는 저항하려는 내력이 발생하게 되고 이 내력의 단위 면적당의 크기를 응력(stress)이라고 부른다. 응력은 몇 가지 이름으로 구분하여 불리는데, 첫째는 응력이 작용하는 물체의 면에 응력이 수직인가 아닌가에 따라 수직응력(normal stress)과 전단응력(shear stress)으로 구분된다. 둘째는, 수직응력 중에서 물체를 압축하는 방향이냐 아니면 늘어뜨리는 방향이냐에 따라 압축응력(compression stress) 혹은 인장응력(tensile stress)으로 구분된다. 마지막으로, 외부에서 가하는 힘의 유형에 따른 구분으로 굽힘 모멘트(bending moment)에 의해 물체 내부에 발생하는 응력을 굽힘응력(bending stress), 비틀림 모멘트(torsion moment)에 의한 응력을 비틀림 응력(torsion stress), 두 물체의 접촉에 의해 물체 내부에 발생하는 응력을 접촉응력(contact stress) 등으로 구분한다.
사각형 단면을 가진 긴 나무막대를 구부리면 나무막대는 굽힘 모멘트를 받게 되고, 그 결과 나무막대는 길이 방향으로 직선이 아니라 일정한 반경으로 구부러지게 된다. 그리고 나무막대 내부에는 굽힘응력이 발생하게 되는데, 이 굽힘응력은 나무막대 단면에 수직한 방향이므로 수직응력에 해당된다. 그리고 나무막대의 단면을 중립면(neutral plane)을 중심으로 안쪽과 바깥쪽 영역으로 나누면 안쪽 영역에서는 굽힘응력이 인장응력이 되고 바깥쪽 영역에서는 굽힘응력이 압축응력이 된다.
중립면은 나무막대가 구부러지더라도 길이방향으로 늘어나지도 줄어들지도 않는 면이기 때문에 굽힘응력이 전혀 발생하지 않는다. 그리고 나무막대 단면에서의 굽힘응력의 크기는 중립면으로부터 수직한 거리에 비례하여 증가한다. 다시 말해 나무막대가 구부러지는 안쪽 면에서 최대 압축 굽힘응력이 그리고 바깥 면에서 최대 인장 굽힘응력이 발생한다.
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강철과 같은 금속에 외부 하중을 가하여 임의 형상으로 변형시키거나 혹은 반복적으로 변형을 가하게 되면 재료의 항복응력(yield stress)은 계속해서 증가하는 특성을 나타낸다. 이와 같이 재료의 항복응력이 재료의 변형과 더불어 증가하는 현상을 경화(hardening)라고 부른다. 가장 전형적인 예로 변형률 경화(strain hardening)를 들 수가 있다. 예를 들어, 금속 봉을 구부렸다가 편 후 다시 구부리려고 하면 처음보다 더 큰 힘을 필요로 하는 것이 바로 경화에 따른 재료의 강성 증가 때문이다.
금속 봉을 구부리는 경우에는 물체 내부에 축 방향으로의 굽힘응력 만이 작용하지만, 대부분의 물체에는 3차원적인 하중이 작용하고 그 결과 물체 내부의 응력상태도 3차원적이다. 따라서 이러한 3차원적 응력상태에 있는 물체의 항복(yielding)을 판정하기 위해서는 폰-미제스 응력(von-Mises stress)를 활용한 최대 변형률에너지 원리(maximum strain energy theory)나 전단응력을 활용한 최대 전단응력 이론(maximum shear stress theory)과 같은 3차원적 항복조건(yielding criterion)을 적용해야 한다.
3차원적 응력상태에서 재료가 항복을 일으키는 응력크기의 수준은 구(sphere) 혹은 면의 크기가 동일한 다각형(polygon)으로 표현된다. 이 곡면을 항복곡면(yield surface)이라고 부르며, 물체 내 응력상태가 이 곡면 내에 존재하면 항복이 발생하지 않고, 이 곡면을 벗어나면 항복이 발생한다. 재료의 경화는 이 항복곡면의 크기를 증가시키게 되는데, 항복곡면이 모든 방향으로 동일한 크기로 증가하는 경우를 등방 경화(isotropic hardening)라고 부르고 이것을 수학적으로 표현한 것을 등방 경화법칙이라고 한다.
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동점성은 점성을 그 유체의 밀도로 나눈 값이다. 동점성은 운동량 확산(momentum diffusivity)으로도 불리며 점성을 그 유체의 밀도로 나눈 값이다.
동점성은 운동량(질량)에 의한 흐름에 대하여 작용하는 저항을 의미하며, 동점성이 클 경우 흐름에 대한 저항이 커서 운동량이 빠르게 확산되어 소산됩니다. 동일한 밀도를 가지는 유체의 경우 점성이 작을 수록 흐름에 대한 저항이 작으며, 동일한 점성을 가지는 유체의 경우 밀도가 클수록 점성저항을 잘 극복할 수 있다.
임의 물체의 거동을 공간상에서 표현하기 위해 기준이 되는 좌표를 설정하는 것을 운동학적 기술법(kinematic description)이라고 부르고, 라그랑지 기술법(Lagrange description)과 오일러 기술법(Euler description)으로 대별된다. 전자는 물체의 각 지점 혹은 입자의 운동을 그대로 따라가면서 그 입자의 물리량을 표현하는 기술법인 반면, 후자는 물체의 입자를 따라가지 않고 공간상에서 고정되어 있는 각 지점을 통과하는 물체의 물리량을 표현하는 방법이다.
예를 들어, 진동하고 있는 구조물의 동적 변위(dynamic displacement)는 구조물 내 각 지점이 시간에 따라 얼마나 이동하고 있는가를 나타내는 것으로 전자의 기술법으로 표현된다. 하지만, 공기나 물의 흐름에 있어서 유속(flow velocity)이나 압력(pressure)은 공간 상의 각 지점에서의 값을 나타내는 것으로 후자에 의한 기술법으로 표현된다.
유한요소 해석(finite element analysis)과 같은 수치해석(numerical analysis)에서 구조물의 강도나 진동해석을 위해 구조물 자체에 요소망을 생성하는 것은 라그랑지 기술법을 채택한다는 의미이고, 유체나 열해석을 위해서 물체 그 자체보다는 물체가 차지하고 있거나 물체로 둘러싸인 공간에 요소망을 생성하는 것은 오일러 기술법을 채택하겠다는 의미이다. 유체-구조 연계해석(fluid-structure coupled analysis)과 같은 연계해석에서는 두 매질의 특성에 따라 서로 다른 운동학적 기술법을 채용하기도 한다.
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물체가 공간 상에서 정적인 평형(static equilibrium)을 유지하기 위해서는 물체에 작용하는 모든 힘의 합과 모든 모멘트의 합이 0이 되어야 한다.
하지만 컴퓨터를 이용하게 되면 컴퓨터가 저장할 수 있는 소수점 이하 유효자리수의 한계와 이로 인한 계산과정 상에서의 반올림 오차(round off error)에 기인하여 물체에 작용하는 힘과 모멘트의 합이 정확히 0이 되지 않는다. 다시 말해, 사람은 해당 물체가 정적인 평형을 만족한다고 여기지만 컴퓨터는 정적인 상태에 있지 않은 것으로 생각한다. 결국 해석자가 추가적인 구속을 물체에 적용하지 않는다면 이 물체는 컴퓨터 상에서 동적인 문제가 되어 정지상태에 있지 않는 것으로 취급될 가능성이 있다.
이러한 컴퓨터 계산상의 문제로
유체의 유동에 의해 발생하는 전단응력(shear stress)이 유체 속도의 변화율(일명 유체변형률의 증분)과 선형적인 관계를 나타내는 유체를 뉴튼 유체 그렇지 않은 유체를 비뉴튼 유체(non-Newtonian fluid)라고 부른다. 뉴튼이라는 용어는 영국의 물리학자겸 수학자인 뉴튼(Isaac Newton, 1643-1727)의 이름에서 유래되었다. 파이프(pipe) 속을 통과하는 물은 대표적인 뉴튼 유체로써, 유체 내에 발생하는 전단응력은 파이프 내벽에 수직한 방향으로 유속의 변화율에 비례한다. 뉴튼 유체에 발생하는 전단응력은 수식적으로 유동에 수직한 방향으로 유속의 변화율과 점성(viscosity)의 곱으로 정의된다. 따라서 점성이 일정할 경우, 전단응력의 크기는 유속의 변화율에 비례하여 증가한다.
뉴튼 유체의 가장 큰 특징은 유체의 성질이나 유동이 외부 하중과 무관하게 일정하게 유지된다는 점이다. 따라서, 점성은 온도와 압력만의 함수로 표현되고, 유동을 아무리 휘젓거나 혼합시켜도 이에 무관하게 유체는 계속해서 일정한 성질을 지니고 흘러간다. 다시 말해 이러한 유체는 저절로 흘러가려는 성질을 지니고 있다. 반면, 치약이나 페인트는 대표적인 비뉴튼 유체로써, 이들은 힘을 받으면 흘러가지만 저절로는 절대 흘러가지 않는다. 다시 말해 저절로 흘러가려는 유동을 방해하는 힘이 유동 내부에 존재한다는 뜻이다. 따라서 유동의 흐름을 방해하려는 힘이 자체 내에 존재하지 않는 경우라야 뉴튼유체에 해당된다.
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자연계에서 발생하는 현상은 그 현상과 관련된 각종 조건에 따라 현저히 달라지게 된다. 극단적인 예를 들면 차가운 얼음 덩어리를 냉장고에 넣어 두는 경우와 따뜻한 장소에 두는 경우에 있어 얼음 덩어리가 녹는 시간에는 현저한 차이가 있다. 이와 같이 대상이 되는 물체 혹은 매질의 거동을 구속하는 조건을 전문적인 용어로 경계조건(boundary condition)이라고 부른다.
예를 들어 나무판자의 한 쪽 끝단부를 나사를 이용하여 벽에 고정시키고 판자 위에 물체를 올려놓은 경우를 생각해 보자. 나무판자는 물체의 무게에 의해 아래로 처지는 변형(deformation)이 발생할뿐더러, 나무판자 내부에는 이 무게를 지탱하기 위해 내부에 저항하려는 응력(stress)이 발생하게 된다. 이 경우 나무판자의 변형, 변형률(strain) 및 응력(stress)이 거동에 해당되고, 나사로 벽에 고정한 것과 올려놓은 물체가 가하는 힘이 나무판자에 대한 경계조건이 된다. 물체의 거동을 정량적으로 분석하기 위해 경계조건을 반영하는 것도 일종의 모델링(modeling)에 해당된다. 왜냐하면 나사로 나무판자를 벽에 고정하고 있는 구속조건을 역학적으로 표현하는 과정에는 알지 못하는 불확실성과 실제 상황을 정확히 표현하지 못하는 한계가 있기 때문이다. 다시 말해 실제 상황과 역학적으로 표현한 경계조건 사이에는 반드시 차이가 존재한다. 또한 올려 놓은 물체가 나무판에 미치는 하중을 역학적으로 표현하는 데에도 불확실성과 한계가 존재하기 때문에 모델링에 불과하다.
구속조건의 브래키팅이란 이러한 불확실성과 한계성 속에서 물체의 거동을 최대한 정확하게 파악하기 위하여 가장 적합한 경계조건을 찾기 위한 방법이다. 적용가능한 경계조건들을 하나의 그룹으로 지정하여 각각의 경계조건에 따른 물체의 거동을 분석한 다음 실제 거동과 가장 근접한 결과를 제공하는 경계조건을 선택하는 방법이다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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