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경계요소법은 자연현상을 재현하기 위한 수치해석(numerical analysis) 기법 중의 하나로 유한요소법(finite element method)과 더불어 자연과학 및 공학분야에서 많이 사용되고 있다. 이 기법은 자연현상에 대한 미분방정식 형태의 수학적 표현식과 그린함수(Green function)라 불리는 핵함수(kernel function)의 곱을 대상 영역에 대하여 체적적분을 취한다. 그리고 그린의 정리(Green theorem)에 따라 영역 전체에 대한 적분을 영역 경계에서의 적분인 경계적분(boundary integral) 형식으로 변환시키고, 여기에 경계조건(boundary condition)을 적용한다.
결국 대상이 되는 물체의 경계에서의 적분 형식으로 전환되는데, 이러한 점에서 전체 영역에 대해 적분을 취하는 유한요소법과 큰 차이를 나타낸다. 하지만, 유한요소법과 유사하게 물체 경계를 유한개의 작은 경계(경계요소라 부름)로 세분화 하고, 각 경계요소에 대해 보간함수(interpolation)를 적용하여 근사해(approximate solution)를 계산하기 위한 행렬방정식을 유도하게 된다.
경계요소법에 의해 유도되는 행렬방정식은 띠 형상의 분산행렬(banded sparse matrix)이 아니라 밀집행렬(dense matrix)이 되기 때문에 유한요소법에 비해 행렬 저장공간이 현저히 증가하게 된다. 따라서 해석문제가 대형인 경우에는 유한요소법에 비해 매우 제한적이라는 치명적인 단점을 지니고 있다. 하지만 해석문제의 크기가 그다지 크지 않고 source나 sink와 같이 현상을 주도하는 원천을 차지하는 장 문제(field problem)에 매우 효과적이다.
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인체에 있어 목(neck)은 머리와 가슴을 연결하는 부분으로 잘록한 형상을 지니고 있다. 따라서 이 용어 자체는 물체가 하중에 의해 그 형상이 잘록해진다는 의미를 지니고 있다. 가느다란 금속 봉을 길이 방향으로 잡아당기면 당기는 힘이 커질수록 금속 봉의 가운데 부분이 가늘어 지는데 이 현상이 네킹현상의 대표적인 예이다.
네킹현상이 발생하면 금속 봉의 길이 방향으로 잡아당기는 힘에 의한 응력(stress)은 잘록해진 부분에서 최대가 된다. 왜냐하면 잘록해진 부분에서 금속 봉의 단면적이 최소가 되고 또한 응력은 잡아당기는 힘을 단면적으로 나눈 값이기 때문이다. 더욱이 잡아당기는 힘이 계속 커지게 되면 잘록해진 부분에서의 응력은 급속도로 증가하여 네킹현상은 심화되어 결국 금속 봉은 이 부분에서 끊어지게 된다.
이처럼 네킹현상은 구조물의 파괴를 야기시키기 때문에 구조 안정성 측면에서 문제시 되는 현상이다. 또 다른 예로 물과 같은 유체의 흐름에 있어 잘록해진 영역을 통과하는 경우가 될 수 있다. 유체 흐름의 연속성(continuity)에 의하여 단면적이 작은 부분에서 흐름의 속도는 매우 빨라지게 된다. 이처럼 네킹현상은 물체의 거동에 있어 갑작스런 변화를 야기시키는 원인이 될뿐더러 이로 인해 물체의 파괴를 야기하곤 한다.
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점성(viscosity)을 포함한 일반화된 뉴튼의 제2법칙은 물체의 가속도, 속도 및 동적 변위를 수학적으로 표현한 미분방정식이다. 이러한 운동방정식을 수치해석(numerical analysis)적으로 푼다는 것은 각 시점에서 물체의 가속도, 속도 및 동적 변위를 구하는 것이다. 관심의 대상이 되는 시간 구간 동안, 이들을 구하기 위해서는 이들에 대한 초기 시점에서의 값, 즉 초기조건(initial condition)으로부터 시작하여 세분화된 각 시점에서의 값들을 순차적으로 계산하여야 한다.
수학적인 관점에서 본다면 미분방정식을 시간에 대해 적분하는 것이기 때문에, 각 시점에서 이들의 값을 순차적으로 계산하는 과정을 시간적분(time integration)이라고 부른다. 시간적분에는 크게 명시적 기법(explicit method)과 암시적 기법(implicit method)이 있는데, 뉴마크기법은 대표적인 암시적 시간적분 기법이다. 이 기법은 미국 일리노이 대학의 나단 뉴마크(Nathan Newmark, 1910~1981) 교수에 의해 소개되었으며, 일반적으로 뉴마크 베타 기법(Newmark beta method) 혹은 일정 평균가속도 기법(constant averaged acceleration method)이라고 불린다.
이 기법은 중앙차분법(central difference method)과 같은 명시적 시간적분법과는 달리 시간간격(time step)과 요소크기(element size)에 무관하게 항상 해의 수렴성(convergence)과 해의 안정성(stability)이 보장된다. 하지만 질량행렬(mass matrix)을 대각화 하지 않고 전체 행렬을 그대로 유지한 채 행렬계산을 수행하기 때문에 해석시간이 길어지는 단점을 지니고 있다. 이러한 이유로 지금과 같이 대형 동해석 문제를 주로 다루는 상황에서는 그 사용빈도가 줄어들고 있다. 참고로 뉴마크기법에서는 베타(beta) 그리고 감마(gamma)라고 하는 두 개의 변수를 포함하고 있는데, 일반적으로 베타는 1/4 그리고 감마는 1/2을 취한다.
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야구 배트의 손잡이 부분을 잡고 배트의 길이방향 축을 중심으로 일정한 속도로 돌릴 때 보다 손잡이 부분을 잡고 배트 전체를 돌릴 때 더 힘겹게 느껴진다. 이러한 차이는 회전 축으로부터 배트 각 부분까지의 최대 거리가 후자의 경우가 더 멀기 때문이다. 이와 같이 물체를 임의 축을 중심으로 회전시키기 위해 필요한 능력을 관성 모멘트, 보다 정확히는 질량 관성모멘트라고 부른다. 배트를 회전시키기 위해 필요한 물리량을 특별히 모멘트(moment)라고 부르며 보다 구체적으로는 힘과 회전 축으로부터 수직거리의 곱으로 정의된다. 그리고 힘은 물체의 질량(mass)과 가속도(acceleration)의 곱으로 정의된다. 한편, 배트의 질량은 배트 전체에 걸쳐 고르게 분포되어 있는 배트 구성 물질의 총 질량이다.
위의 두 경우에 있어서 야구 배트를 회전 축을 중심으로 같은 시간 내에 일정한 속도로 한 바퀴 돌린다면 각속도(1 초당 배트가 회전한 각도로 정의)는 동일한 반면, 배트 각 부분에 걸쳐 분포되어 있는 질량과 수직거리 제곱의 곱의 총 합은 후자의 경우가 더 크다. 여기서 회전 축의 중심으로부터 물체의 각 지점까지의 수직거리의 제곱과 그 지점에서의 질량의 곱을 물체 전체에 걸쳐 합한 량을 관성 모멘트로 정의하고 있다.
참고로, 질량대신 물체 각 지점에서의 면적과 그 지점까지의 수직거리 제곱의 곱을 물체 전체에 걸쳐 합한 값을 면적 관성모멘트(area moment of inertia)로 정의한다.
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지도상에서 산의 지형을 나타내기 위해서 등고선을 사용하는데, 그 이유는 산의 지형은 3차원 형상인데 비해 지도는 2차원 평면이기 때문이다. 같은 높이에 있는 산의 지점들을 평면 상의 지도에 등고선을 사용하여 구별하는 것과 유사하게, 유한요소해석(finite element analysis)을 통해 구한 물체의 거동을 컴퓨터 화면상에 나타내기 위해서도 이러한 방식이 사용된다.
예를 들어 임의의 3차원 물체 내 온도 분포를 시뮬레이션으로 구하여 2차원 화면 상에 나타내기 위해서 동일한 온도를 가지는 물체의 지점들을 하나의 곡선으로 연결한 것이 등치선(isoline)이다. 그리고 온도분포를 보다 쉽게 가시화 하기 위하여 온도 값이 각기 다른 등치선에 각기 다른 색상을 부여하고 있다.
한편, 온도 값이 서로 다른 두 개의 등치선 사이 물체 영역을 등치면이라고 부르고 각 등치면에서는 각기 다른 색상을 부여한다. 색상은 낮은 온도에서부터 높은 온도로 일련의 칼라색상 혹은 진하기가 다른 회색(gray)으로 부여하는데, 이와 같이 온도 값에 따라 각기 다른 다수의 색상으로 세분화 시킨 것을 색상 범례(color spectrum)라고 부른다. 이 외에도 컴퓨터 화면상에서 물체의 거동을 보기 편하게 가시화 하는 방법에는 프린지 출력(fringe plot) 및 벡터 출력(vector plot) 등이 있다.
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하중을 받고 있는 물체 내부에 응력이 집중되는 지점에 미세하게 금이 발생하는 것을 균열(crack)이라고 부른다. 균열은 한번 발생하면 점차적으로 확대되어 최종적으로 물체를 구조적 파괴(failure)에 이르게 한다. 초기 미세한 균열이 점차적으로 확대되어 나가는 현상을 균열진전(crack advance)이라고 부르고, 균열이 진전되어 나가는 선단부를 균열선단(crack tip)이라고 부른다.
균열은 그 형태에 따라 크게 열림모드(opening mode), 미끄러짐 모드(sliding mode) 그리고 찢어짐 모드(tearing mode)의 세 유형으로 분류된다. 열림형 모드는 균열이 한 평면 상에 존재하며 균열이 진행될수록 쪼개진 두 면이 상하로 벌어지게 된다. 미끄러짐 모드도 균열이 한 평면 상에 존재하지만 쪼개어진 아래 윗 부분의 틈새는 벌어지지 않은 채 상대적으로 밀려나고 밀려들어가게 된다. 그리고 찢어짐 모드는 균열이 한 평면상에 존재하지 않고 쪼개어진 아래 윗 부분이 균열진전 방향과 수직으로 서로 어긋나게 변형하게 된다.
세가지 균열 유형은 그 형상은 다르지만 공통적인 특징은 균열선단을 중심으로 한 응력분포가 응력집중계수(SIF: stress intensity factor)로 표현이 가능하다는 점이다. 다시 말해, 각 균열모드에 있어 응력집중계수만 결정되면 균열주위의 응력분포는 균열선단을 원점으로 한 극좌표(polar coordinate) 상에서 반경(r)과 원주방향으로의 각도 함수로 표현된다는 점이다. 참고로 응력집중계수는 제이 적분법(J integral method)을 이용하면 효과적으로 정확하게 계산할 수 있다.
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고정된 부시(bush) 속에서 회전하는 기어 축 사이에는 미소한 크기일지라도 항상 간격(gap)이 존재하고 두 물체의 움직임에 따라 이 간격의 크기는 변화한다. 두 물체가 접촉하게 되면 서로 밀어 내려는 반발력이 발생하고 이로 인해 서로 밀게 되어 다시 간격이 생기게 되는 반복과정이 지속된다. 이러한 두 물체 사이 간격과 반발력의 거동을 수치해석(numerical analysis)적으로 구현하기 위하여 몇 가지 기법들이 사용되고 있다. 그 가운데 가장 간단하고 효과적인 기법이 바로 갭 요소를 사용하는 것이다.
갭 요소는 선 요소(line element)의 특수한 경우로서, 이 요소가 지니고 있는 강성(stiffness), 자유도(degree of freedom) 그리고 방향성에 따라 표현할 수 있는 거동이 좌우된다. 예를 들어, 두 물체 사이의 간격이 항상 일정하게 유지되어야 한다면 강성을 무한대로 설정하여야 하고, 간격이 유동적이라면 적절한 강성을 부여하여야 한다. 그리고 반발력만 존재하는 접촉이라면 수직방향 압축력에만 저항하도록 자유도를 한정시켜야 한다. 유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 갭 요소는 두 물체의 요소망(mesh) 내에서 실제로 접촉이 예상되는 경계 영역 상의 상호 절점(node)들을 각각 갭 요소로 연결하고, 접촉 거동에 적합한 강성과 자유도 그리고 방향을 설정하면 된다.
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한 쪽 끝이 벽에 고정되어 있는 특정한 단면적을 가진 나무판자의 다른 쪽 끝에 수직으로 충격하중을 가하면 특정한 형상으로 아래 위로 진동하게 된다. 그리고 끝 단에 가해지는 충격하중을 얼마나 빠르게 그리고 얼마나 큰 힘으로 가하는가에 따라 진동하는 막대의 모양은 달라진다. 외부로부터 동적인 하중을 받는 물체의 진동은 물체의 강성(stiffness)에 의한 복원력과 질량에 따른 관성력(inertia)의 상호작용에 의한 결과이다.
한편, 나무막대와 같이 내부가 꽉 채워진 탄성체는 무한개의 질점(point mass)과 무한개의 스프링이 서로 연결된 동적 시스템으로 생각할 수 있다. 따라서, 이러한 탄성체, 전문용어로 연속체(continuum body)는 무한개의 자유도(degree of freedom)를 가지고 있고, 그 결과 물체의 고유한 진동형상, 즉 모드형상(mode shape) 역시 무한개이다. 이러한 물체의 고유모드와 각 고유모드에 해당하는 고유진동수(natural frequency)를 구하는 것을 모드해석(modal analysis)이라고 부른다. 한편, 무한개의 고유모드를 가지는 연속체를 유한개의 유한요소(finite element)로 요소망(mesh)을 생성하면 요소망의 자유도 개수만큼 고유모드를 가지는 한정된 동적 시스템으로 축소된다.
하지만 유한개의 고유모드를 수치해석으로 계산하는 일도 요소망 내 유한요소의 개수가 많을 경우 계산시간의 문제로 쉽지는 않다. 그렇지만, 구조물의 진동에 미치는 고유모드의 영향력은 고차 고유모드로 갈수록 줄어든다. 따라서, 진동분석을 위해 모든 고유모드가 필요로 하는 것은 아니며, 진동분석의 목적에 따라 특정한 개수의 저차 고유모드로 한정된다.
n개의 고유모드를 풀기 위해 필요한 (nxn)크기의 고유치 행렬방정식을 N개의 저차 고유모드만을 풀기 위해 필요한 (NxN) 행렬방정식으로 축소시키는 수치 알고리듬을 란초스 알고리듬이라고 부른다. 한편 주의할 점은 N개의 저차 고유모드만이 필요하다고 N개의 고유모드만을 가지는 엉성한 요소망을 생성하여 고유모드를 구해서는 안 된다. 란초스 알고리듬은 20세기에 개발한 10대 수치기법들 중 하나로, 아인슈타인의 조수이자 상대성 이론 연구를 도왔던 헝가리 수학자 란초스(Lanczos, 1893-1974)에 의해 개발되었다.
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스케일(scale)이라고 하면 눈금 혹은 규모라는 의미로 생각할 수 있다. 예를 들어, 구조물의 전반적인 변형을 관찰하는 것은 거시적(macroscopic)인 스케일이 큰 분석이다. 하지만, 구조물의 극히 국부적인 영역에서의 물체 내부의 미세한 균열(crack)을 현미경을 통해 관찰하는 것은 미시적(microscopic)인 스케일이 매우 작은 분석이다. 구조물의 변형, 유체의 유동, 물체내 열전달, 전자기 현상 등과 같은 지금까지 거의 대부분의 유한요소해석(finite element analysis)은 거시적 관점에서의 해석이었다.
하지만 최근 분자동역학(molecular dynamics)이나 양자역학(quantum mechanics)에 기초를 둔 마이크로(micro) 혹은 나노해석(nano-scale analysis)이 급증하고 있다. 이러한 해석은 물체 내 입자 혹자 원자 단위의 거동을 분석하는 스케일이 아주 작은 분석이다. 멀티 스케일 해석이라 함은 하나의 해석 문제에 있어 특정 영역은 미세한 스케일을 그리고 나머지 영역은 거시적인 스케일로 그 거동을 분석하는 최신의 수치기법(numerical analysis)을 일컫는다. 예를 들어, 균열이 존재하는 금속 부재를 분석하는 경우, 균열을 포함한 국부적인 영역에는 마이크로 혹은 나노 수준의 모델링을, 그리고 그 나머지 영역에는 기존의 연속체 역학(continuum mechanics)에 기초한 모델링을 혼합하는 경우이다.
이러한 경우에 있어 미시적인 모델링과 거시적인 모델링 사이의 계면에는 엄청난 스케일의 차이가 존재하고 이것을 처리하기 위한 연계기법이 필요하게 된다. 다시 말해, 거시적인 영역에서의 유한요소(finite element)와 미시적 영역에서의 요소는 현저한 크기 차이로 인해 두 요소를 연결하기 위한 특별한 기법이 요구된다. 또 다른 문제점은 두 영역에 적용되는 지배방정식이라 불리는 수학적 표현식이 다르다는 점이다. 그 결과 두 영역에서의 자유도(degree of freedom)는 근본적으로 그 성질이 다르므로 이들을 연결하기 위한 특별한 상관 관계식이 요구된다.
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