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트러스는 고층건물 내부의 기본골격을 이루는 강철 구조나 각종 교량이나 타워 및 소형 선반에 이르기 까지 우리 생활과 밀접한 부재이다. 이러한 트러스 구조물은 각 부재의 양 끝단을 볼트나 핀 등을 통하여 결합되어 있다. 역학적인 측면에서 이러한 트러스 구조물은 외부 하중에 대하여 구성 요소 하나 하나가 단지 인장력이나 압축력만을 지탱한다. 이러한 측면에서 트러스 부재는 이력 부재(two-force member)에 해당된다.
트러스 구조물의 역학적 거동을 유한요소해석(finite element analysis)과 같은 수치기법(numerical technique)으로 분석하기 위해 사용되는 추상적인 부재(혹은 유한요소 모델)를 트러스 요소라고 부른다. 여기서 추상적이라는 용어는 3차원 형상을 지닌 트러스 부재를 중립축(neutral axis)과 같은 부재의 중심축을 따라 하나의 선으로 그 형상을 간략화 시키고, 이 간략화 된 1차원 형상에 대하여 역학적 모델식이 유도됨을 의미한다.
따라서 실제 수치해석에서 트러스 구조물은 선요소(line element)들로 요소망(mesh)이 구성되며, 상세한 단면정보(단면형상, 단면적, 면적 관성 모멘트(area moment of inertia) 등)는 입력창을 통하여 해석자가 입력하도록 되어 있다. 이렇게 입력된 단면정보는 트러스 구조물에 대한 강성행렬(stiffness matrix)과 질량행렬(mass matrix) 계산에 사용된다. 그리고 하나의 트러스 요소의 양 끝점에 절점(node)이 할당되며, 하나의 절점에는 세 개의 병진 자유도가 부여되어 있다.
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한 물체의 거동이 주위에 고정 혹은 움직이는 다른 물체와 구속관계를 가지고 있는 문제를 유한요소해석(finite element analysis)으로 시뮬레이션 하기 위해 필요한 특수한 유형의 수치기법이다. 유한요소 해석을 위해 대상이 되는 물체를 여러 개의 요소로 세분화 시키고 주위 물체와 실제로 구속되는 한 점 혹은 국부영역 내 절점(node)들을 구속관계에 있는 물체의 해당 절점들과 구속관계를 유지하도록 연결시키는 역할을 한다. 강체요소(rigid element)로 통칭하여 불리기도 하는데 차이점은 다수의 강체요소들을 이용하여 구속관계에 있는 절점들을 연관시키는 수치기법이라는 점이다.
다중점 구속은 접촉 경계에서 요소망(mesh)이 서로 일치하지 않는 경우, 두 요소망을 손쉽게 결합시키기 위해 사용되는 것 외에도 다양한 용도로 활용되고 있다. 예를 들어 자동차 타어어의 회전중심에 병진속도 혹은 각속도를 부여해야 할 경우, 회전중심과 타이어 내측 원주면 상의 점절들을 다수의 강체요소로 연결하여 원하는 속도 구속조건을 부과할 수 있다.
그리고 한 물체 내 일부 형상의 동적인 효과만을 간략하게 반영하고자 할 경우, 일부형상의 관성효과를 집중질량(lumped mass)으로 모델링하고 이 질중질량을 요소망으로 실제 표현된 나머지 물체 형상에 연결시킬 수 있다. 이와 같이 다중점 구속은 비접합 요소망(incompatible mesh) 사이의 결합, 접촉해석(contact analysis)에서의 각종 접촉조건 구현, 집중질량 처리, 요소망 외부에 부여되어 있는 각종 구속조건 처리 등을 위해 매우 효과적으로 사용되고 있다.
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그라스호프 수는 유체에 작용하는 부력과 점성력의 비로 정의되는 무차원 수이다. 열팽창과 중력의 영향으로 야기되는 자연대류의 특성을 나타내는 무차원 수이다.
, where g: 중력가속도, β: 열팽창계수(thermal expansion coefficient),, Ts: 표면 온도, T∞: 유체온도, ν: 동점성(kinematic viscosity), L: 특성길이(characteristics length)
마하수는 유체의 속도와 음속의 비를 나타내는 무차원 수이다.
, where M: 마하수, u: 유체속도, c: 음속(speed of sound)
마하수 1의 유속은 음속과 같으며, 마하수 0.65는 음속의 65%를 의미하고, 마하수 1.35는 음속보다 35% 빠르다는 것을 의미한다. 마하수에 따라 유동은 다음과 같이 나뉜다.
l : 아음속(subsonic) 영역
l : 천음속(transonic) 영역
l : 초음속(Supersonic) 영역
물체가 움직이지 못하도록 잡아놓는 것을 구속이라고 부르는데, 잡아 두는 방법에는 여러가지 수단이 있을 수 있다. 예를 들어 금속 판을 강철 프레임에 고정시키는 방법에는 나사, 볼트, 용접, 억지끼움 등이 있을 수 있다. 이와 같이 부품이나 조립체가 구속되어 있는 상태를 유한요소 해석에서 구현하는 것도 일종의 모델링(modeling)에 해당된다. 여기서 모델링이란 용어는 실제 상황과 해석모델에서 설정한 구속에는 차이가 있을 수 있고, 이 차이로 말미암아 오차(error)가 발생할 수 있다는 의미를 암시한다.
실제 상황보다 더 많은 구속을 부여한 경우를 과잉구속이라고 부르고, 이와 반대로 더 작은 구속을 부여한 경우를 과소구속(under constraint)이라고 부른다. 전자의 경우는 필요 이상으로 물체를 구속하기 때문에, 실제보다 물체의 강성을 강하게 하여 물체의 변위가 작아지게 된다. 반면, 후자의 경우에는 실제보다 물체의 강성을 낮게 하여 변위가 커지거나 심한 경우 강체운동(rigid body motion)을 허용할 수 있다.
강체운동을 허용하게 되면 물체는 정지상태에 있지 않고 운동 중에 있는 것으로 간주되기 때문에
자동차에 있어 창문과 같은 개폐부위의 가장자리를 따라 부착되어 있는 고무제품(웨더스트립이라 부름)을 제조하는 공정을 유한요소 해석(finite element analysis)으로 시뮬레이션하는 경우를 생각하기로 하자. 이 부품은 고무 성형압출기라 불리는 특수한 장비를 통해 만들어 진다. 고체 덩어리의 고무를 고온의 가압 스크류를 이용하여 액체상태의 고무로 변환시킨 후, 원하는 단면 형상을 가진 압출부를 통과시킨다. 그러면 공기 중에서 냉각이 되면서 원하는 단면 형상을 가진 웨더스트립이 만들어 진다.
이러한 경우, 초기 고체상태의 고무덩어리가 최종 제품으로 성형되는 과정에는 다수의 물리적인 현상들이 서로 복잡하게 연관되어 있다. 고체로부터 액체로의 상태변화, 열전달, 액체 고무의 유동, 밀도 및 압력 변화 등을 겪게 된다. 이들 물리현상들을 모두 반영하여 시뮬레이션을 하지 않는다면 성형공정의 정확한 재현은 불가능하다. 하지만 각각의 현상은 고유의 물리적인 법칙과 조건들의 지배를 받기 때문에 수학적인 표현 역시 각기 다르다. 유한요소 해석에서 솔버라 불리는 처리기(processor)는 원칙적으로 하나의 수학적 표현식을 행렬식으로 근사화(approximation)시켜 푸는 프로그램이다. 따라서, 위에서 말한 갖가지 물리현상들을 모두 반영하기 위해서는 그에 해당하는 처리기들이 모두 필요하다는 말이다.
이처럼 다수의 처리기들을 하나의 유한요소 해석시스템 내에 통합시켜 서로 연관되어 있는 자연현상들을 동시에 반영하여 시뮬레이션하는 기술을 다중 물리해석이라고 부른다. 최근 컴퓨터 성능과 해석기술의 급속한 발전과 세계시장에서의 기술경쟁력 강화에 따라 다중 물리해석의 필요성은 날로 높아지고 있다.
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시간에 따라 변동하는 물체의 동적 거동을 수학적으로 표현하면 미분방정식 형태가 된다. 여기서 미분이란 시간 혹은 공간에 따른 물체 거동의 변화율(rate of change)을 의미한다. 한편, 미분방정식은 크게 상미분 방정식(ordinary differential equation)과 편미분 방정식(partial differential equation)으로 대별된다. 전자는 물체 거동의 변화율이 하나의 변수(variable)에만 의존하는 반면, 후자는 변화율이 하나 이상의 변수에 의존하는 경우이다. 예를 들어, 물체 내 온도가 시간과 장소에 따라 변하는 경우라면, 이러한 열전달(heat transfer) 거동을 수학적으로 표현하게 되면 편미분방정식으로 귀착된다.
룽게-쿠타 기법은 시간에 따른 변화율로 표현되는 상미분 방정식의 근사해(approximate solution)를 구하는 수치기법으로 잘 알려져 있다. 이 수치기법은 1900년대 독일의 수학자 룽게(Runge)와 쿠타(Kutta)에 의하여 소개되었으며, 현재 물체 거동의 시간에 따른 변화를 수치적으로 구하기 위해 매우 광범위하게 적용되고 있다. 이 수치기법은 일반적인 시간적분(time integration) 기법과 개념적으로는 유사하지만, 다음 시점에서 물체의 거동을 계산하기 위해 평균화된 시간 변화율을 사용한다는 점에서 큰 차이를 지니고 있다.
평균화된 시간 변화율은 해당 시간 간격(time step)의 시작점, 중간점 그리고 끝 점에서 계산된 4개의 변화율에 가중치를 곱하여 계산된 기울기이다. 룽게-쿠타 기법의 가장 큰 장점은 시간적분의 오차(error)가 시간간격 크기의 5승으로써 일반 시간적분법에서의 2승에 비해 현저히 높은 정확도를 나타낸다는 점이다. 그리고 물체의 동적 거동의 관심이 되는 전체 시간구간에 대해서는 시간간격 크기의 4승에 비례하는 오차를 나타내기 때문에 4차 시간적분 기법에 해당되며, 이러한 맥락에서 4차 룽게-쿠타 혹은 간단히 RK4 기법으로 불린다.
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외부로부터 물체나 시스템에 가해지는 동적인 하중을 총칭하여 가진(excitation)이라고 부른다. 대표적인 가진으로 지진파, 풍압, 충격파를 들 수 있다. 그리고 이러한 가진을 받았을 때 물체 혹은 시스템이 나타내는 시간에 따른 거동을 가진응답이라고 부른다. 가진응답은 강제진동(forced vibration)과 동일한 의미로써, 보다 실무적인 용어로 사용되고 있다. 지진파에 따른 가진응답을 지진응답 해석(earthquake response analysis), 풍압에 따른 응답해석을 풍응답 해석이라고 부르고, 이러한 가진에 대해 물체나 시스템이 안전하도록 설계하는 것을 각각 내진설계(earthquake-resistant design) 그리고 내풍설계라고 부른다.
가진응답 해석은 시간영역 혹은 주파수 영역에서 분석할 수 있는데, 전자를 시간응답해석(time response analysis)이라고 하며 시간에 따른 지진파를 입력 데이터로 한다. 반면, 후자의 경우를 주파수응답해석(frequency response analysis)이라고 부르며, 시간영역의 지진파를 퓨리에 변환(Fourier transform)을 통해 주파수 영역으로 변환하여 입력하게 된다. 풍하중은 구조체에 미치는 동압을 풍속의 크기에 따라 이론적으로 계산하거나, 풍압에 따른 동적효과를 등가의 부가질량(added mass)으로 변환하여 구조체에 부가하는 방식으로 반영된다.
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레일리 수는 자연대류(natural convection)와 같이 부력(buoyancy)에 의하여 유도된 흐름과 관련된 무차원 수이다. 그라스포흐 수와 프란틀 수의 곱으로 나타낼 수 있다.
, where ν: 동점성(kinematic viscosity), α: 열확산 계수(thermal diffusivity), β: 열팽창 계수(thermal expansion coefficient), L: 특성길이(characteristics length), g: 중력가속도(gravitational acceleration), TS: 표면온도, T∞: 유체온도, GrL: 그라스호프 수(Grashof number)
점성유체층을 가열할 때, 유체 중의 온도기울기가 특정 값이 되면 대류가 일어나게 되는데 이때의 레일리 수를 임계 레일리 수(critical Rayleigh number) 라고 한다. 보통 임계 레일리 수의 값은 1,000 정도이다.
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