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평판 구조물(plate-like structure)은 두께가 얇은 대표적인 박판 구조물(thin-walled structure)로서 쉘 구조물(shell-like structure)과는 달리 곡률 반경(radius of curvature)이 무한대이다. 평판 구조물은 구조물을 구성하는 가장 보편적인 부재로서 우리 주변에서 흔히 볼 수 있다. 책상, 테이블 그리고 캐비닛은 거의 대부분 평판 부재로 구성되어 있다.
평판 구조물은 두께가 상대적으로 매우 얇기 때문에 변형(deformation), 변형률(strain) 그리고 응력(stress) 의 두께방향으로의 변화를 거의 무시할 수 있다. 이러한 기하학적 그리고 거동적 특성으로부터 두께 방향으로의 변위(displacement)를 일정하게 아니면 직선으로 가정할 수 있다. 따라서 평판 구조물의 중립면(neutral plane)에서의 변위(displacement)만 구하게 되면 구조물 전체의 변위, 변형률 그리고 응력을 계산할 수 있다.
평판요소는 평판 구조물의 중립면을 유한개의 작은 영역들로 세분화시킨 하나 하나를 지칭하며, 요소 내 각 절점(node)은 한 개의 수직변형 자유도(degree of freedom)과 두 개의 회전 자유도를 가지고 있다. 평판 구조물은 두께 방향으로 변형률과 응력 성분들이 모두 0인 평면응력 상태(plane stress state)를 만족하기 때문에, 평면 요소로 구한 변위로부터 변형률과 응력을 계산하면 이 조건을 만족한다. 평판 요소는 곡면으로 되어 있는 쉘 요소(shell element)의 특수한 요소 유형이다.
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둘 이상의 여러 물질들이 서로 반응(Reaction)하지 않고 물리적으로 서로 섞여 있는 상태로 화학적인 결합을 일어나지 않는 상태의 물질을 혼합물 이라고 한다. 이 때문에 혼합물은 각각의 화화적 성질은 그대로 가지고 있으면서, 혼합물의 새로운 성질까지 가지게 된다. 혼합물의 종류는 크게 균일 혼합물, 불균일 혼합물, 콜로이드로 나뉜다. 원래는 균일 혼합물과 불균일 혼합물로 혼합물을 구분하였는데, 콜로이드가 추가되었다. 콜로이드는 1 나노미터에서 1마이크로미터 사이의 크기를 갖는 입자들로 구성된 것을 가리킨다. 일반적인 균일 또는 불균일 혼합물은 용질이 용매에 완전히 녹아 있는 형태지만, 콜로이드는 용질이 용매 속에 떠다니는 차이가 있다.
CFD 해석에 있어서 혼합물은 콜로이드의 경우 입자 해석(particle simulation)을 통해서 해석을 수행하며 그 외에 일반적으로는 물질전달(species transport) 방정식을 수치해석을 하여 계산한다. 물질의 질량 분율(mass fraction) 또는 몰(mole)과 같은 농도(concentration)를 스칼라 변수로 정의하고 이들의 대류(conversion) 도는 이류(advection)현상과 확산(diffusion) 현상을 표현한다. 이때 혼합 법칙(mixing law)를 이용하면 혼합물과 유동의 흐름 결과를 직접적으로 연성하여 해석할 수 있게 된다.
시간에 따라 변화가 없는 물체의 거동을 분석하는 것을
전자의 경우에는 물체의 속도 및 가속도에 따른 관성력(inertia force)이나 감쇠력이 없는 반면, 후자에 있어서는 이들이 중요한 하중으로 작용한다. 하지만, 만일 물체의 거동에 미치는 이러한 동적 하중의 영향이 무시할 수 있을 정도로 작다면 동해석을
예를 들어, 자동차가 서서히 벽에 부딪히는 현상을 분석하는 경우를 생각해 보자. 자동차의 가속도에 따른 관성력이나 속도에 따른 공기의 저항 및 지면과의 동적인 마찰력은 벽과의 반발력에 비해 무시할 수 있을 정도의 크기일 것이다. 따라서 자동차의 관성력, 속도에 따른 공기저항 그리고 동적 마찰력을 무시하고 단순히 벽과의 반발력만을 고려한
준정적 해석은 유한요소 해석에서 해석 시간을 대폭 줄일 수 있을뿐더러 해석문제를 단순화 시킬 수 있기 때문에, 동해석 문제를 매우 효과적으로 풀 수 있는 하나의 대체적인 해석기법으로 많이 활용되고 있다.
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유한요소해석(finite element analysis)을 통해 임의 물체의 거동을 분석하는 경우, 구하게 되는 근사해(approximate)의 정확도가 원하는 수준에 미치지 못하는 경우가 많다. 근사해의 정확도는 오차평가(error estimate)라 불리는 특별한 기법이나 이론적인 정답 혹은 실험결과와의 비교 등을 통하여 수행된다.
그리고 근사해의 정확도는 요소망(mesh)의 조밀도 혹은 유한요소(finite element)에 적용되는 기저함수(interpolation function)의 차수 그리고 입력 값으로 입력되는 재료 물성치(material properties), 경계조건(boundary condition), 그리고 수치기법과 관련된 각종 수치 파라메터(parameter)에 의하여 좌우된다.
적응적 유한요소 해석이란 원하는 정확도를 만족하는 근사해를 구하기 위하여 이러한 값들을 조절하면서 오차(error)를 줄여가는 일종의 반복해석 과정을 말한다. 흔히 요소망의 밀도와 기저함수의 차수를 조정하게 되는데, 보다 합리적으로 조정하기 위하여 선 오차평가(a priori error estimate)와 후 오차평가(a posteriori error estimate)를 동시에 활용한다.
적응적 유한요소해석의 절차는 다음과 같이 구성된다. 우선 해석자가 초기에 설정한 요소망과 기저함수의 차수로 유한요소 해석을 수행하고, 해석결과의 정확성을 후 오차평가를 통하여 정량적으로 계산한다. 이렇게 계산된 오차값을 선 오차평가에 대입하여 원하는 정확도를 만족시킬 수 있는 유한요소의 크기(h)와 기저함수의 차수(p)를 계산한다.
계산된 유한요소의 크기와 기저함수의 차수를 적용하여 요소망을 세밀화(mesh refinement)한 다음 유한요소 해석을 재차 수행한다. 그리고 해석결과에 대한 정확도를 후 오차평가를 이용하여 재차 계산한다. 만일 여전히 원하는 정확도에 미치지 못하면 이러한 과정을 반복한다.
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외부로부터 시간에 따라 변하는 동하중을 받는 물체나 구조물의 응답특성은 동하중의 크기(amplitude)뿐만 아니라 주파수(frequency)에도 지대한 영향을 받는다. 외란은 사인파(sine wave)나 코사인파(cosine wave)와 같이 단일 주파수를 가지는 경우도 있지만, 거의 대부분 주파수가 서로 다른 많은 파형들의 조합으로 이루어져 있다.
이러한 외란을 퓨리에 변환(Fourier transform)을 이용하여 주파수 영역으로 바꾸어, 주파수 영역에서 물체의 응답, 즉 주파수 응답해석(frequency response analysis)을 수행한다고 가정하자. 그러면 거의 연속적으로 분포되어 있는 모든 주파수 값에 대한 응답을 각각 구해야 한다. 하지만 이러한 작업은 계산시간 측면에서 비현실적이다.
따라서 일반적으로 중심 주파수(center frequency)라 불리는 주 관심 주파수를 중심으로 일정한 주파수 범위를 설정하고 이 범위 내에 포함되어 있는 주파수에 한정하여 응답을 구한다. 이렇게 설정한 주파수 영역을 관심 주파수 대역(frequency band)이라고 부르고, 주파수 응답의 목적에 따라 대역의 폭이 좌우된다. 그리고 이 주파수 대역에 포함되어 있는 주파수들에 대한 응답을 구하게 되는데, 이러한 작업은 마치 중심 주파수 값을 대역 내에서 좌우로 이동시켰을 때 물체의 응답이 어떻게 변화하는가를 분석하는 것과 같다.
이러한 맥락에서 주파수 스윕 해석이라고 부르고, 구체적인 계산방법에는 HFSS라 불리는 fast sweep과 discrete sweep이 있다. 전자는 계산시간을 최소화 하기 위해 중심 주파수와 대역의 좌우 끝점 주파수 값에 대한 응답을 구하여 대역 내 전체 주파수 응답을 개략적으로 구하는 방법이다. 반면, 후자는 대역 내에서 원하는 개수의 주파수 값을 선정하여 각 주파수에 대한 응답을 구하여 대역 전체에 대한 주파수 응답을 보간(interpolation)과 같은 곡선 맞춤(curve fitting)을 이용하여 근사화 시킨다. 일반적으로 fast sweep을 사용하면 discrete sweep에 비해 계산시간을 수십 배 이상 단축시킬 수 있다.
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점성(viscosity)을 지니고 있는 탄성 물체를 의미하는 것으로, 콘크리트와 고무가 대표적인 재료이다. 이러한 물체는 하중을 받는 동안 변형률(strain)에 비례하여 응력(stress)이 증가하다가, 하중을 제거하는 시점부터 변형률은 일정하게 유지되지만 응력이 서서히 감소하는 특성을 나타낸다.
이러한 특성을 특별히 응력이완(stress relaxation)이라고 부르고 지수함수(exponential function) 형태의 감소 그래프를 나타낸다. 스프링 백(spring back) 현상이 하중을 제거하면 응력이 제거됨과 동시에 변형률이 어느 정도 감소하는 것과는 뚜렷이 구별된다. 점탄성 재료에 대한 역학적 모델은 스프링에 감쇠기(dashpot)를 직렬로 연결한 것으로 표현된다.
항복응력(yield stress)을 초과하는 하중상태에서의 점성효과를 점탄소성(visco-elastoplasticity)이라고 부르고, 역학적 분석이 매우 난해한 것으로 알려져 있다. 그 결과, 점탄성 해석은 대부분의 범용 유한요소해석 프로그램(general-purpose FEM program)이 지원하고 있지만, 점탄소성 해석은 일부 전용 유한요소해석 프로그램(special-purpose FEM program)에서만 제공되고 있는 실정이다.
점탄성 재료의 시간에 따른 응력이완 거동은 시간에 대한 프로니 급수 함수(Prony series function)로 표현되며, 이 함수에 포함되어 있는 프로니 상수(Prony constants)는 재료 시편을 이용한 실험 데이터를 최소자승법(least square method) 등으로 곡선 맞춤(curve fitting)을 통하여 결정된다. 따라서, 점탄성 해석은 하중이 가해지는 동안 탄성해석을 수행하여 하중이 가해지는 마지막 시점에서의 응력값을 구한 다음 이 응력값에 프로니 함수를 적용하는 방식으로 수행된다.
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유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 물체의 형상은 물체의 거동에 지대한 영향을 미친다. 특히 구멍이 물체 내부에 존재하거나 꺾어지는 부분 등이 존재하면 이러한 영역에서 물체는 특이(singular)한 거동을 나타낸다. 예를 들어, 동력을 전달하는 기어 축에 기어를 조립하기 위하여 핀(pin) 구멍을 형성하였을 경우, 이 핀 구멍 근처에는 응력집중(stress concentration) 현상이 발생한다. 또한 물체가 예리하게 꺾어져 있는 코너(corner)부나 균열(crack)과 같이 예리한 틈이 존재하는 영역 등에서도 주위와 비교하여 엄청나게 큰 응력(stress)값을 나타낸다.
이렇게 물체의 거동에 특이성을 유발하는 물체의 특수한 형상을 특징 형상이라고 부르고, 유한요소 해석에 있어 해석 결과의 정확성을 확보하기 위해 주의를 기울여야 한다. 보편적으로 특징 형상을 가진 물체영역에는 매우 작은 요소 크기(element size)로 요소망(mesh)을 생성하여야 한다. 그리고 특징 형상 부위로 갈수록 조밀한 요소망이 되도록 편향 요소망(gradient mesh)을 적용하는 것이 해석 결과의 정확성과 해석 시간의 효율성 측면에서 대단히 효과적이다.
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막대 형상을 지닌 구조물(beam-like structure)의 횡방향 처짐에 관한 거동을 모사하기 위한 공학적 이론들은 이미 오래 전부터 연구되어 왔다. 그 중에서 가장 기초가 되는 이론은 오일러 보(Euler beam) 이론은 부재 내 두께방향으로의 횡전단 변형(transverse shear deformation)을 무시하고 단순히 굽힘에 의한 변형만을 반영하고 있다.
하지만 부재의 길이에 대한 상대적인 두께비가 증가할수록 두께 방향으로의 전단 변형은 증가하기 때문에 오일러 보 이론의 정확성은 감소한다. 따라서 이러한 단점을 보완하기 위한 보 이론이 바로 티모센코 보 이론으로서, 러시아 출신 응용역학자인 티모센코(Timoshenko, 1878-1972)에 의하여 최초로 제안되었다.
티모센코 보 이론에서는 보의 처짐과 보의 기울기를 미지수로 하고 있으며, 그 결과 티모센코 보 요소는 한 절점(node)에서 처짐과 보의 기울기를 자유도(degree of freedom)로 가지고 있다. 참고로, 횡 전단 변형률을 무시한 오일러 보에서는 보의 기울기와 단면의 기울어짐 각도가 같다고 가정하고 있기 때문에 모의 기울기를 별도의 미지수로 가지지 않는다.
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물체 변형의 크기를 나타내는 변형률(strain)에는 탄성 변형률과 소성 변형률(plastic strain)이 선형적으로 결합되어 있다. 전자는 물체에 작용하고 있던 하중이 제거되면 함께 사라져 물체를 초기 형상으로 복원시키고자 한다. 반면 후자는 하중을 제거하여도 여전히 남게 되어 물체가 영구적으로 변형된 형상을 유지하도록 한다.
하중의 크기가 항복응력(yield stress)을 초과하지 않을 정도로 작은 경우에는 탄성 변형률만 존재하게 되지만, 항복응력을 초과하게 되면 소성 변형률도 함께 발생하게 된다. 이와 같이 항복응력을 초과한 물체의 변형을 소성변형 영역에 있다고 하며, 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)는 직선이 아닌 곡선 형태로 표현된다. 변형이 탄성영역 내에 있을 경우에는 응력과 변형률은 선형적인 관계를 나타내며 응력-변형률 선도의 기울기는 변형률의 값과는 무관하게 항상 일정한 값을 가지게 된다. 이 기울기를 탄성계수(elastic modulus) 혹은 영률(Young’s modulus)이라고 부른다.
하지만 소성변형 영역에서는 탄성계수를 사용하지 않고 선도의 접선 기울기로 물체의 강성을 표현한다. 그리고 이 기울기는 변형률의 크기에 따라 변하는 값으로 이 기울기를 특별히 탄소성 접선계수로 정의하고 있다.
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