설계 시간이 길어지고 있나요? 효율적인 해석으로 시간을 절약해보세요!
[맞춤 솔루션 알아보기]
CAE 입문자도 쉽게 이해할 수 있는 '알기 쉬운 기술 용어집'
CAE 관련 용어를 확인해 보세요.
반도체 / 디스플레이 공정 및 장비 관련 용어를 확인해 보세요.
통신 분야의 다양한 용어를 확인해 보세요.
정상상태란 어떤 물리적 상태를 나타내는 밀도, 압력, 온도, 속도 등의 값이 시간에 따른 변화가 없음을 의미한다. 정상상태에 반대되는 말로 과도상태(transient) 혹은 비정상상태를 사용한다.
보통 유동해석에서의 정상상태란 유동장이 시간에 따른 변화가 없음을 의미하며 유동이 안정된 상태를 의미한다. 열역학적인 관점으로 살펴보면 어떤 계에 물리량의 출입이 있는 상태에서 그 계의 물리적 상태가 어떤 공간에서도 시간적으로 변하지 않음을 의미한다.
유동해석과 관련된 방정식인 Navier-Stokes 방정식에는 시간과 관련된 항이 있는데 이 항은 시간에 따른 물리량의 변화율을 의미한다. 정상상태는 시간에 따른 물리량에 변화가 없음을 의미하므로 정상상태에서는 이 시간항이 0을 의미한다. 유동이 난류의 특성을 나타낼 경우 유동은 불규칙적인 소용돌이가 나타나게 되는데 이 경우 계속해서 유동에 변화가 생긴다. 이런 경우에는 앙상블 평균을 통해 유동의 움직임이 평균적으로 일정하게 나타날 경우 정상상태라고 하기도 한다.
물과 같은 유체 흐름에 대한 유동해석(flow analysis)은 유체로 가득찬 영역을 대상으로 하는 경우와 그렇지 않은 경우로 구분할 수 있다. 유체로 가득찬 유동을 대상으로 하는 경우에는 유체로 채워져 있는 영역과 그렇지 않은 영역을 구분할 필요가 없다. 하지만 유체가 부분적으로 채워져 있는 경우에는 유체로 채워져 있지 않는 영역과의 경계를 구분해야 한다.
이러한 경계가 유동과 무관하게 공간상에 항상 고정되어 있다면 문제는 간단하지만, 그렇지 않고 유동과 더불어 항상 변하는 경우는 그리 간단하지가 않다. 자유표면이란 유체 유동이 공기와 접하는 상층 표면을 의미한다. 라그랑지 기술법(Lagrange description)의 유한요소법을 이용하는 경우에는 유한요소(finite element)가 유동과 동일한 속도로 공간상에서 이동하기 때문에 자유표면은 자동적으로 정의된다. 하지만 오일러 기술법(Euler description)의 유한체적법(finite volume method)에서는 그리드 격자가 공간상에 고정되어 있기 때문에 자유표면을 파악하기 위해 특별한 알고리듬이 요구된다.
가장 보편적인 방법으로는 각각의 그리드 격자 내에 포함된 유체량을 그리드 체적에 대한 상대비율인 체적분율(volume fraction)을 이용하는 것이다. 이것을 이용하면 자유표면을 포함하는 그리드 격자의 체적분율은 0과 100%의 사이의 값을 가지게 되고, 이러한 값을 나타내는 인접한 그리드 격자들의 좌표값에 보간법(interpolation)을 적절히 적용하면 자유표면을 정의할 수 있다.
또 다른 수치기법으로는 자유표면 근처에는 라그랑지 기술법을 그리고 나머지 유체 영역에는 오일러 기술법을 혼합한 에이엘이 기술법(ALE description)을 적용하는 것이다.
.
임의 물체의 거동을 유한요소법(finite element method)으로 근사화시키면 물체의 강성은 강성행렬(stiffness matrix)로 그리고 관성력(inertia force)은 질량행렬(mass matrix)로 표현된다. 그런데 이러한 행렬의 크기는 요소망(mesh)의 크기에 비례하여 증가하기 때문에, 대형 해석문제로 갈수록 행렬이 커져서 컴퓨터에 저장해야 할 행렬요소가 기하급수적으로 증가하게 된다.
그럼에도 불구하고 일반 개인용 컴퓨터로도 대형 해석문제를 수행할 수 있는 이유는 무엇일까? 그 이유는 유한요소법을 통해 만들어지는 강성행렬과 질량행렬이 띠형상의 분산행렬(banded sparse matrix)이라는 특성때문이다. 행렬의 대각선 주위에만 0이 아닌 행렬요소가 밀집되어 있기 때문에 행렬 전체를 저장하지 않고서도 행렬연산을 수행할 수 있기 때문이다.
이와 같이 행렬 전체를 저장하지 않고 행렬의 대각선을 따라 0인 아닌 행렬의 일부 영역만을 순차적으로 저장해 나가면서 행렬방정식을 풀어나가는 알고리듬이 바로 프론탈 솔버이다. 구조강도 해석과 같은 선형 정적(linear static) 해석은 거의 대부분 이 솔버를 적용하고 있으며, 최근 멀티 프론탈 솔버(multi-frontal solver)와 병렬연산(parallel computing)의 등장으로 저용량 컴퓨터로도 초대형 문제를 아주 빠른 시간내에 해석할 수 있게 되었다.
이 솔버를 프론탈 솔버라고 부르게 된 것은 대각선을 따라 0이 아닌 행렬요소들을 순차적으로 저장하여 풀어나가는 것이 마치 파도가 밀려오는 양상과 흡사하기 때문이다.
.
일반적으로 균질(homogeneous)하고 등방성(isotropy)인 모재(matrix) 속에 강선이나 섬유 등과 같은 이종 재료를 특정한 배열과 방향으로 삽입하여 관심이 되는 기계적 강도를 향상시킨 재료를 섬유강화 복합재(fiber reinforced composite)라고 부른다. 보강재의 단면은 모재에 비해 그 크기가 현저히 작을 뿐만 아니라 삽입되는 보강재의 축방향이 임의 각도를 이루고 있다.
이러한 복합재의 거동을 분석하기 위해 유한요소 해석을 수행하고자 할 경우, 가장 난감한 부분이 바로 보강재의 재료 물성치(material property)를 입력하는 일이다. 보강재 하나 하나의 기하학적 형상을 모두 반영한다면 문제는 간단해 지겠지만, 이렇게 상세 형상을 반영하고자 하면 모델링 작업 그 자체의 번거로움뿐 만 아니라 엄청난 요소수에 따른 계산시간의 장기화란 어려움에 직면하게 된다.
이러한 어려움을 해결하기 위해 사용할 수 있는 하나의 효과적인 방법이 바로 rebar 요소를 적용하는 것이다. 이 요소는 그 형상이나 절점수에 있어서 우리가 알고 있는 일반적인 유한요소(finite element)와 차이가 없다. 하지만, 응력(stress)과 변형률(strain)을 관계 짓는 구성방정식(constitutive relation) 내에 보강재의 상세한 정보가 포함되어 있다는 점이 일반 유한요소와의 차이점이다.
이러한 리바 요소보다 더욱 간단한 방법으로 균질화 기법(homogenization method)이 있는데, 이 방법은 보강재와 모재가 차지하는 상대적인 체적비로 섬유강화 복합재 전체의 등가 재료물성치(equivalent material property)를 계산하는 가장 단순한 방법이다. 따라서 보강재의 상세한 기하학적 형상이나 배열방향이 반영되지 못할뿐더러, 보강재와 모재사이 계면(interface)에서의 상호작용이 반영되지 못하기 때문에 계산된 등가 물성치(equivalent material)의 정확도를 보장하기 어렵다.
.
물체에 가해지는 하중에는 정적(static)인 하중과 동적(dynamic)인 하중으로 대별할 수 있다. 전자는 하중의 크기와 방향이 시간에 따라 변하지 않는 반면 후자는 시간에 따라 지속적으로 변하는 특성을 지니고 있다. 예를 들어 선반 위에 올려 놓은 항아리의 무게가 선반에 미치는 하중은 정적인 예이며, 지면을 통해 고층건물에 가해지는 지진 하중은 동적인 예이다.
하지만 물체에 하중을 0에서부터 임의 크기까지 서서히 가하는 경우를 생각해 보자. 이러한 경우를 특별히 준정적(quasi-static) 하중이라고 부른다. 유한요소 해석(finite element analysis)에 있어서 이러한 준정적 하중을 반영하는 방법에는 크게 두 가지 경우로 분류할 수 있다.
동해석에 적용하는 경우에는 준정적 하중의 변화를 시간함수로 표현하여 입력하면 간단히 처리된다. 하지만
이러한 반복계산을 위하여 준정적 하중이 가해지는 시간적 구간을 유한 개로 나누어 각 시간 내 하중의 증가를 비선형 해석을 통하여 구현한다. 이 때 시간간격으로 나눈 세분화 된 하중 증가의 크기를 하중 스텝이라고 부른다. 하중 스텝의 크기는 비선형 해석의 정확도와 해석에 걸리는 시간과 직결된다. 다시 말해, 하중 스텝을 크게 하면 해석 시간은 감소하지만 해석 결과의 정확도는 떨어진다.
.
시간에 따라 변하는 물체의 응답을 수치해석(numerical analysis)을 통해 구하기 위해서는, 관찰 대상이 되는 시간 구간을 유한 개의 시점으로 나누고 각 시점에서의 거동을 순차적으로 계산해 나간다. 다시 말해, 초기조건(initial condition)을 이용하여 다음 시점에서의 응답을 계산하고 계산된 이 응답을 이용하여 그 다음 시점에서의 응답을 계산하는 순차적인 반복계산으로 관찰 대상구간 내 응답을 계산하게 된다.
이와 같이 시간에 따른 응답을 유한 개의 시점으로 나누어 순차적으로 응답을 구하는 것을 시간적분(time integration)이라고 부른다. 이러한 시간적분에는 크게 명시적 시간적분(explicit time integration)과 암시적 시간적분(implicit time integration) 으로 나뉘며, 중앙차분법은 대표적인 명시적 시간적분 기법이다.
이 기법에서는 현시점에서의 가속도를 이전 시점과의 중앙시점 그리고 다음 시점과의 중앙시점에서의 속도 두 개를 이용하여 근사적으로 구한다. 그런 다음, 다음 시점과의 중앙 시점에서의 속도를 근사적으로 구하고, 최종적으로 다음 시점에서의 물체의 응답을 근사적으로 계산하게 된다. 이러한 계산방법을 시점에 따라 순차적으로 적용하게 되면 관찰 대상구간에서의 모든 시간 응답을 근사적으로 구할 수 있게 된다.
이 기법은 시간에 따라 변하는 물체의 거동뿐만 아니라 공간상에서 변하는 물체의 거동, 즉 변화율을 가지는 미분 문제에도 많이 사용되고 있다. 이 기법은 해의 안정성(stability of solution)과 해의 수렴성(convergence of solution)을 모두 만족시킬 뿐만 아니라 정확성이 높다는 장점을 지니고 있다.
.
공간 상에서 임의 한 지점의 위치를 정의하기 위해서는 기준이 되는 좌표계가 있어야 한다. 그리고 3차원 공간 상에서 위치를 정의하기 위한 좌표계는 좌표축의 원점과 세 개의 직교하는 좌표축으로 구성된다. 예를 들어 지구상에 있는 각 나라나 도시의 위치는 위도, 경도 그리고 고도로 표시되는 데, 이러한 위치 표시는 지구 중심을 원점으로 하는 하나의 기준 좌표계에 따른 것이다.
좌표계는 목적에 따라 자유로이 설정할 수 있는데, 크게 절대 좌표계와 이동 혹은 변동 좌표계로 구분할 수 있다. 전자는 일단 설정되면 원점의 위치나 좌표축의 방향이 절대 변하지 않는 고정 좌표계인 반면, 후자는 이동 그리고 회전이 가능한 좌표계를 의미한다.
컴퓨터를 활용한 CAD나 수치해석에 있어 절대좌표는 모니터(monitor)를 기준으로 설정되는 데, 일반적으로 모니터의 좌측 하단을 원점으로 하고 모니터의 수평, 수직 그리고 모니터 화면에 수직한 방향을 세 축으로 한다. 이 좌표는 하나의 절대좌표계로써, 형상 모델링이나 수치해석의 기준이 되는 좌표계이다. 다시 말해, 우리가 임의 물체의 형상을 모델링하거나 이 모델을 해석하는 경우 사용자가 특별히 지정하지 않는 한 이 좌표계를 기준으로 형상과 해석이 이루어 진다.
이와 달리 재료 물성치를 입력하기 위한 재료 좌표계(material coordinate system)나 각종 구속조건을 편리하고 정확하게 설정하기 위한 사용자 좌표계(user coordinate system)는 일종의 이동 혹은 변동 좌표계에 해당된다. 대부분의 상용 프로그램에서는 사용자의 편의성을 위해 프로그램 자체의 절대 좌표계 외에 이러한 좌표계를 사용자가 임의로 설정할 수 있도록 하고 있다.
유체의 흐름과 관계 있는 것이 아니라 유체의 상태와 관계된 유체의 실제적인 압력을 전압(total pressure)과 동압(dynamic pressure)으로부터 구분하기 위하여 정압(static pressure)라고 부른다. 정압은 단순히 압력(pressure)으로도 표기한다.
비압축성 유동의 경우 베르누이 방정식을 이용하면 각 압력간의 관계를 다음과 같이 표시할 수 있다.
, where p: 정압(static pressure), 1/2ρv2, q: 동압(dynamic pressure), p0: 전압(total pressure), ρ: 밀도, v: 속도
위 식에서 전압을 정체압(stagnation pressure)으로 표기하기도 한다.
힘을 받고 있는 물체가 파괴에 도달할 것인지를 예측하는 것은 공학(engineering)분야에 있어 대단히 중요한 기술이다. 왜냐하면 작은 기계부품으로부터 대형 건축물에 이르기 까지 물체 내 어느 한 부분의 파괴는 대상 물체의 기능을 마비시킬 뿐만 아니라 심지어는 예상치 못한 대형 참사를 불러올 수 있기 때문이다.
따라서 지금까지 파괴를 예측하기 위한 이론들이 많이 연구되었고, 대표적인 이론식들이 실제 산업 현장에서 적용되고 있다. 이들 중에서 폰-미제스 항복조건(von-Mises yield criterion)과 트레스카 항복조건(Tresca yield criterion)은 금속 부품의 파괴 예측을 위해 많이 사용되고 있다. 그리고 구성 입자들이 응집력으로 뭉쳐있는 흙이나 눈과 같은 물질의 파괴 예측에는 쿨롱-모어 이론이 많이 사용되고 있다.
이 이론은 모어(Mohr)의 파괴이론을 그 이후에 프랑스의 물리학자 쿨롱(1736~1806)이 실무 엔지니어들이 쉽게 적용할 수 있도록 수정한 것이다. 모어의 파괴이론은 물체 내 어떤 면상의 전단응력(shear stress)이 물체의 전단강도에 도달하였을 때 파괴가 일어나며 전단응력은 그 면상의 수직응력(normal stress)의 함수로 표현된다는 것이다.
쿨롱-모어 이론은 모어-쿨롱 파괴가설로도 불리곤 한다. 이 이론을 주응력(principal stress)을 좌표축으로 하는 3차원 공간에 나타내면 육면체 다각형으로 표현되고, 트레스카 항복기준의 일반화된 형태로 잘 알려져 있다.
.
해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
내게 맞는 솔루션 찾기
