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유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 해석결과의 정확성은 무엇보다 중시해야 할 사안이다. 유한요소 해석은 근사해를 구하는 수치기법이란 점에서 항상 오차(error)를 수반하고 있으며, 이 오차는 자연현상을 유한요소 해석 모델로 전환하는 과정에서 수반되는 모델링 오차(modeling error)와, 이 유한요소 해석 모델을 수치해석적으로 계산하는 과정에서 수반되는 수치해석 오차(numerical analysis error)로 구성된다. 이 두 가지 오차성분은 모델을 보다 정확하게 구성하고 또한 요소망(mesh)을 세밀화시키면 줄어든다.
이와 같이 유한요소 해석결과에 영향을 미치는 각종 파라메터를 조정하면 오차가 줄어드는 경향을 해의 수렴성이라고 부른다. 대부분의 경우, 이러한 파라메터를 조정하면 오차는 줄어들지만 그렇지 않은 경우도 가끔 발생한다. 이러한 경우를 해가 발산(diverge)한다고 한다.
예를 들어 시간에 따른 유체의 거동을 시간적분(time integration) 기법을 적용하여 근사해를 구할 경우, 시간이 경과할수록 수치해가 정확한 답으로부터 멀어지는 경우가 종종 있다. 이러한 수치기법들은 해의 수렴성을 보장하지 않는 기법이라고 부르며, 이러한 경우는 해석결과에 영향을 미치는 각종 파라메터들이 까다로운 조건식들을 만족할 경우에만 해의 수렴성이 보장된다.
이처럼 각종 파라메터가 특정한 조건을 만족시킬 때에만, 해의 수렴성이 보장되는 기법을 조건적 수렴성(conditional convergence)을 나타낸다고 부른다. 유동 해석에 있어 반복계산에 따른 해의 수렴성은 필수요건이기 때문에, 적용하고자 하는 수치기법의 특성을 정확히 파악하고 있어야 한다.
지진파와 같은 외란을 받는 구조물은 시간에 따라 지속적으로 변화는 동적응답을 나타낸다. 그리고 이러한 동적 응답(dynamic response)은 진폭의 변화가 극심하고 불안정한 과도응답(transient response)과 진폭의 변화가 작고 안정적인 정상상태(steady-state)에 가까운 응답으로 구분된다. 시간에 따른 물체 거동의 수치해석은 관심이 되는 시간 구간을 유한 개의 시점으로 나누고, 각 시점에서의 응답을 시간적분(time integration)이라 불리는 수치기법으로 순차적으로 구하게 된다.
그런데 순차적으로 응답을 구할 경우, 시점과 더불어 응답 값의 요동(oscillation)이 줄어들지 않고 계속해서 증가하는 일이 발생하곤 한다. 이처럼 시간적분을 통해 구한 응답이 시점과 더불어 계속해서 요동이 증가하는 것을 해가 불안정하다고 말하고, 반면 요동이 점차적으로 줄어드는 것을 해가 안정적이라고 말한다.
해의 안정성은 해의 수렴성(convergence of solution)과는 뚜렷한 차이가 있다. 전자는 시간적분으로 구한 물체의 거동이 시점과 더불어 그 요동이 줄어듬을 의미하는 반면, 후자는 시점과 더불어 해의 오차(error)가 줄어드는 것을 의미한다. 해의 수렴성과 마찬가지로 해의 안정성도 시간적분을 위해 사용되는 수치기법과 시간 간격(time step) 및 요소 크기(element size)에 절대적으로 좌우된다.
예를 들어, 어떠한 시간적분 기법은 시간 간격과 요소 크기와는 무관하게 항상 안정적인 응답을 제공하는 반면, 다른 기법들은 이들 파라메터가 특정한 조건식을 만족할 경우에만 안정적인 응답을 제공한다. 전자와 같은 시간적분법을 무조건적으로 안정(unconditionally stable)한 수치기법이라 불리는 반면, 후자와 같은 시간적분법을 조건적으로 안정(conditionally stable)한 수치기법으로 불린다.
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물체가 외부로부터 힘을 받으면 내부에는 저항하는 응력(stress)이 발생하고, 대부분의 경우 이 응력은 3차원적 성분들로 구성되어 있다. 여기서 3차원적이라는 의미는 응력이 직교하는 세 방향으로 모든 성분들을 가진다는 뜻이다. 다시 말해, 세 축 방향으로의 수직응력(normal stress) 성분들과 두 축 사이의 전단응력(shear stress) 성분들이 존재한다. 하지만 특수한 물체형상과 외부 하중조건에서는 응력이 2차원으로 한정된다. 여기서 2차원적이란 직교하는 세 방향 중에서 한 방향으로는 수직응력과 전단응력 성분들이 거의 발생하지 않음을 의미한다.
가장 대표적인 경우가 윗면과 아랫면에 하중을 받는 평판이다. 이 경우 평판의 두께 방향으로의 수직응력과 전단응력은 나머지 응력성분들에 비해 거의 무시할 수 있을 정도의 크기이다. 그 결과 평판과 평행한 면 상에서의 응력성분에만 관심을 가지게 된다. 다시 말해, 평행한 면 상에서 정의되는 직교하는 두 축 방향으로 두 개의 수직응력과 두 축 사이의 하나의 전단응력만을 고려하게 된다. 이러한 응력상태를 특별히 평면응력 상태로 구분하고 있다.
임의 3차원 물체를 평면응력 상태로 가정할 수 있다면 이 물체의 역학적 분석은 2차원으로 간략화 시킬 수 있기 때문에 매우 편리하다. 이 때 물체를 2차원으로 단순화 시키기 위해서는 수직응력을 무시할 수 있는 방향과 수직이 되는 물체의 단면을 선택하면 된다. 참고로 수직방향으로의 응력을 발생하지 않지만 이 방향으로의 수직 변형률은 존재한다.
평면응력 상태는 평면 변형률 상태(plane strain state)와 축대칭 모델(axisymmetric model)과 더불어 유한요소 해석(finite element analysis)을 효과적으로 수행할 수 있게 한다.
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물체의 부피변화에 저항하려는 강성(stiffness)을 특별히 그 물체의 체적 탄성계수라고 부른다. 고무풍선을 물 속에 넣으면 눈으로 관찰할 수 있을 만큼 그 부피가 줄어들지만 금속과 같은 재질로 만든 물체를 물 속에 넣으면 부피의 변화를 거의 관찰하기 힘들다. 이것은 고무풍선을 내부에 채워져 있는 공기의 체적 탄성계수가 금속의 체적 탄성계수보다 낮기 때문이다.
임의 물체의 체적 탄성계수는 역학적으로 그 물체의 체적변화로 그 물체에 작용하는 정수압(hydrodynamic pressure)을 나눈 상대비로 정의된다. 따라서 체적 탄성계수는 [하중]/[면적]의 단위(unit)를 가진다. 만일 물체가 부피 변화가 전혀 없는 비압축성(incompressible) 물체라고 한다면 이 물체의 체적 탄성계수는 무한대이다. 대표적인 비압축성 물질로 고무를 들 수가 있다.
이러한 비압축성 물질의 거동을 유한요소법(finite element method)으로 해석하는 경우, 잠김현상(locking phenomenon)이라 불리는 수치해석 상의 특수성으로 해석의 정확도를 확보하기가 대단히 어렵다. 이것을 해결하기 위해 몇 가지 특수한 수치기법(numerical technique)들이 소개되어 있는데, 가장 대표적인 기법으로 벌칙기법(penalty method), 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method), 그리고 u-p 혼합기법(u-p mixed method) 등이 있다.
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물체가 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 물체 내부에는 저항하려는 힘이 발생한다. 그리고 이 물체 내부의 저항력을 해당 지점의 단위 면적으로 나눈 값을 응력(stress)으로 정의한다. 힘은 크기뿐만 아니라 방향을 가지고 있기 때문에 응력 또한 크기와 방향성을 지니고 있다.
따라서, 물체 내부 임의 한 점에 있어서 응력의 크기는 응력 계산의 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 변한다. 좌표축의 방향에 따른 응력값의 변화는 모어 원도(Mohr’s circle)를 통해 한 눈에 쉽게 파악할 수 있다. 2차원의 경우 좌표축은 두 개의 직교하는 축을 가지기 때문에 한 방향이 최대 응력값을 나타내면 직각이 되는 다른 한 방향은 최소 응력값을 나타낸다. 3차원의 경우에 좌표축은 세 방향을 가지므로 한 방향이 최대 응력값을 가질 경우, 나머지 두 방향은 각각 최소 응력값 및 중앙 응력값을 가지게 된다.
이와 같이 최대, 최소 및 중앙 응력값을 주 응력이라고 부르고, 주 응력값을 가지는 좌표축의 방향을 주축(principal axes)이라고 정의한다. 주 응력과 주축은 물체의 강도분석에 있어 대단히 중요한 역할을 한다. 왜냐하면 물체의 파괴는 물체 내 응력의 최대값에 직접적으로 좌우되기 때문이다. 주 응력이나 주축의 개념은 변형률(strain), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 및 면적 관성모멘트(area moment of inertia)의 좌표축에 따른 특성에도 그대로 적용된다.
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에너지는 일(work)을 할 수 있는 능력을 의미하고, 일과 동일한 물리적 단위(unit)를 지니고 있다. 고속도로를 질주하는 자동차는 다른 물체와 부딪혔을 때 차체를 찌그러뜨릴 수 있는 운동에너지(kinetic energy)를 가지고 있고, 옥상에 놓여 있는 물체는 지면에 떨어졌을 때 지면에 충격하중(impulse force)을 가해 변형시킬 수 있는 위치 에너지(position energy)를 가지고 있다. 이 외에 우리 주위에는 화력, 수력, 풍력 등과 같은 다양한 에너지 원(energy source)이 존재한다.
에너지 중에서 일로서 외부로 소모되지 않고 보존되는 에너지를 특별히 포텐셜 에너지라고 부른다. 엄밀한 의미에서 지구상에는 일로 전혀 소모되지 않는 순수한 포텐셜 에너지를 가지는 물체는 존재하지 않는다. 예를 들어 구슬을 지면에 떨어뜨리면 지면에 부딪힌 후 다시 튀어올라 원래 높이까지 올라와야 하지만 조금 낮은 위치까지만 상승한다. 그 이유는 위치 에너지의 일부가 구슬과 공기와의 마찰에 따른 마찰일과 지면을 변형시키는 일로 소모되기 때문이다. 따라서, 이렇게 외부로 소모되는 일이 존재하는 경우에 있어서 포텐셜 에너지는 전체 에너지 중에서 외부로 소모되는 일만큼 뺀 나머지 에너지로 정의된다.
포텐셜 에너지는 공학분야에 있어 대단히 중요한 역할을 하며, 특히 최소 포텐셜에너지 원리(minimum potential energy theorem)는 물체의 거동을 분석하는 근간이 될뿐더러, 레일레이-리쯔 방법(Rayleigh-Ritz method)과 같은 수치기법의 토대가 된다.
다공성 매질(Porous media)은 필터, 유동 분배기 등과 같이 유동의 압력손실 또는 방향 변화를 유발하는 유동해석영역 내부의 특수한 성질이다. 이러한 성질을 가진 얇은 판을 일반적으로 타공판이라고 부른다. 타공판을 실제로 모델링 하기 위해서는 모델 내부에 많은 구멍을 만들어 모델링 해야 하는데, 이는 모델링이 매우 어렵고, 모델링이 가능 하더라도 해석 비용이 지나치게 많이 들어 해석이 어려운 문제점이 있다.
CFD에서는 다공성 매질의 특징을 표현 하면서, 위의 문제점을 해결 하기 위해 타공판 경계 조건을 이용하여 모델링을 간략화 하고, 적은 해석 비용으로 타공판에 대한 해석을 진행할 수 있다. 타공판 경계조건은 일반적으로 다공성 매질의 해석에 사용되는 점성저항, 관성저항을 이용하여, 속도에 따른 압력 손실을 적용하는 경계 조건이다. 타공판의 특징은 저항곡선(resistance curve)로 표현하며, 일반적으로 타공판의 저항 곡선은 속도가 증가함에 따라 압력손실이 커진다.
: 투과율
: 점성 저항
: 관성 저항
: 타공판 두께
물체의 량이 시간과 더불어 증가하다가 일정한 값으로 접근하는 거동을 포화(saturation)된다고 하고, 시간과 더불어 감소하다가 일정한 값으로 접근하는 거동을 쇠퇴(decay)한다고 말한다.
프로니 급수는 후자와 같은 물체의 거동을 수치적으로 근사화 시키기 위해 사용되는 급수이다. 이 급수는 크기가 순차적으로 변하는 시간함수(time function) (혹은 시간상수(time constant)를 가진 유한개의 지수함수들의 조합으로 표현되는 시간에 대한 급수 함수(series function)로 정의된다. 그리고 각각의 지수함수에 곱해WL는 미지의 상수는 대상이 되는 물체의 실제 쇠퇴거동으로부터 결정된다. 프로니 급수는 고무와 같이 점탄성(viscoelasticity)을 지닌 물체의 시간에 따른 응력이완(stress relaxation) 현상을 수치적으로 근사화 하기 위해 효과적으로 사용되고 있다.
하중을 받아 물체 내부에 발생하는 응력(stress)이 하중제거와 더불어 지수함수적으로 감소하는 현상을 응력이완이라고 부르고, 이러한 물체의 거동은 물체의 점탄성(viscoelasticity)에 기인한다. 하중을 제거한 후 응력이 시간과 더불어 감소하는 거동을 프로니 급수를 이용하여 근사화 시키기 위해서는, 해당 물체의 시편을 이용하여 측정한 응력이완 실험 데이터로부터 각각의 지수함수에 곱해지는 재료상수라 불리는 계수를 결정해야 한다. 실험 데이터로부터 이들 계수를 결정하기 위해서는 일반적으로 최소자승법(least square method)을 적용하고 있다.
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스프링에 힘을 가해 잡아당기면 길이 방향으로 늘어나게 되는데, 늘어나는 길이는 가해진 힘의 크기와 스프링 상수(spring constant)에 의해 결정된다. 만일 늘어난 길이가 힘에 비례하고 스프링 상수에 반비례 관계에 있다면 이 스프링은 선형(linear)적인 거동을 나타낸다고 할 수 있다. 하지만 힘의 크기에 비례하지 않고 스프링 상수에 반비례적인 관계에 있지 않다면 스프링은 비선형(nonlinear)적 거동을 나타낸다고 말할 수 있다.
이러한 개념은 유한한 체적을 가진 일반적인 탄성체(elastic body)에도 그대로 적용된다. 선형해석(linear analysis)에서는 물체의 변형(deformation)은 외부 하중에 대해 선형적인 관계를 나타내기 때문에, 강성행렬(stiffness)은 일정한 값을 유지한다. 하지만, 물체의 변형이 외부 하중에 대해 비선형적인 거동을 나타내는 비선형 해석(nonlinear analysis)에 있어서 강성행렬은 일정한 값이 아니라 물체 거동의 크기에 따라 계속해서 변한다. 따라서 비선형 해석에 있어서는 이렇게 물체 거동에 따라 변하는 물체의 강성행렬을 계속적으로 갱신해야 하는 번잡한 계산과정이 필요하다.
물체의 거동에 따라 변하는 물체의 강성을 정의하는 하나의 방법으로 접선계수(tangent stiffness)라는 것이 있다. 이것은 용어 그 자체가 의미하듯이 물체의 거동값에 해당하는 물체의 강성을 물체 거동 곡선의 접선으로 정의하는 방법이다. 유한요소 해석(finite element analysis)에 있어서 이러한 접선은 행렬 방정식으로 전환하였을 때, 하나의 행렬로 표현되며 이 행렬을 접선계수 행렬이라고 부른다.
그리고 이 접선계수 행렬은 비선형 해석을 위해 주로 사용되는 뉴튼-랩슨 기법(Newton-Raphson method)과 같은 반복계산 기법에 있어 물체 거동의 증분(increment)을 계산하기 위해 사용된다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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