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공간 상에서 어느 한 지점의 위치를 정의하기 위해서는 기준이 되는 좌표계(coordinate system)가 필요하다. 그리고 하나의 좌표계는 원점(origin)과 서로 직교하는 세 방향으로 구성된다.
가장 대표적으로 사용되는 좌표계로 직교 좌표계(Cartesian coordinates), 원통 좌표계(cylindrical coordinates) 그리고 구 좌표계(spherical coordinates)가 있다. 어느 좌표계를 사용하는 것이 효과적인가는 정의하고자 하는 물체의 기하학적 형상의 특성에 좌우된다. 예를 들어 지구상의 한 지점의 위치를 정의하기 위해서는 지구의 중심을 원점으로 하는 구 좌표계가 효과적이다.
하지만 공학분야에서는 거의 대부분 직교 좌표계를 사용하고 있다. 한 물체 내부에 존재하는 임의 한 지점을 정의하기 위해 하나 이상의 좌표계가 사용될 수도 있다. 이 경우 원점 그리고 직교하는 세 방향은 서로 다르기 때문에 물체 내 동일한 지점에 대해서 두 좌표계에서 서로 다른 좌표값을 가지게 된다. 동일한 위치를 서로 다른 좌표계에서 정의하였을 경우, 한 좌표계에서의 좌표값을 다른 좌표계의 좌표값으로 변환시키는 것을 좌표변환이라고 부른다.
한 물체에 대한 유한요소 해석(finite element analysis)에 있어서도 하나 이상의 좌표계가 사용되는 경우가 빈번하게 발생하기 때문에 좌표변환은 필연적이다. 가장 대표적인 예로서 물체의 기하학적 영역을 세분화한 요소망(mesh) 내 각 유한요소(finite element)의 기하학적 좌표값을 하나의 정규화 된 요소인 마스터 요소(master element)의 좌표값으로 변환하여 각종 행렬(matrix)을 수치적분(numerical integration)하는 경우를 들 수 있다.
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행렬 방정식 [A]{x}={b}에서 [A]와 {b}가 구하고자 하는 미지수 {x}와 무관하게 일정한 경우를 선형이라고 하고 그렇지 않은 경우를 비선형(nonlinear)이라고 부른다. 선형인 경우에는 [A]의 역행렬을 구하여 우변의 {b}에 곱하여 바로 해답을 구하는 직접법(direct method)과 행렬식을 반복계산 형태로 변환하여 푸는 반복법(iterative method) 모두가 가능하다. 대표적인 직접법으로는 가우스 소거법(Gauss elimination)이 있다.
하지만 비선형인 경우에는 반복법을 사용하여야 한다. 반복법은 일반적으로
이렇게 반복계산을 위해 설정한 미지수의 초기값을 초기 추정값이라고 부르고, 일반적으로 {0}이 아닌 어떠한 값이라도 무방하다. 어떠한 값을 초기 추정값으로 설정하느냐는 최종 해답에는 거의 영향을 미치지는 않지만, 특별한 경우에 있어서는 최종 해답으로 수렴하지 않는 경우가 발생할 수도 있다. 그리고 최종 해답에 도달하기 까지 걸리는 반복계산의 회수는 초기 추정값에 따라 달라진다.
참고로 반복계산에서는 반복계산을 종료시키기 위한 종료조건(stop criterion)을 설정해야 하는데, 이 종료조건은 현 단계에서 구한 미지수와 앞 단계에서 구한 미지수와의 차이를 이용하여 다양한 방식으로 정의된다.
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천이라는 용어는 성질이나 특성이 서로 다른 두 개체 사이의 급격한 변화를 완화시키는 것을 의미한다.
예를 들어 고속으로 비행 중인 항공기 날개 주위의 공기흐름과 항공기로부터 멀리 떨어져 있는 곳에서의 공기흐름은 현저하게 다른 특성을 나타낸다. 그리고 이 두 영역 사이에는 두 가지 뚜렷한 공기 흐름이 완만하게 변화하는 천이영역(transition region)이 존재한다. 만약 이러한 천이영역이 존재하지 않는다고 가정하면 서로 뚜렷한 특성을 나타내는 두 공기흐름 사이의 엄청난 속도 차이로 어떠한 현상이 발생할지 예측하기 어렵다.
재질이 서로 다른 두 물질을 단순히 적층시킨 적층 복합재(heat-proof composite)의 경우, 접착면에서 금속 재질의 예리한 물성치 차이로 과도한 열응력(thermal stress) 집중현상이 발생한다. 그 결과 접착면에서 두 물질이 분리되거나 파손이 발생하기 쉽다. 이처럼 두 가지 서로 다른 성질이나 특성을 가지는 개체 사이를 천이시키지 않으면 예상하지 않은 다양한 문제점들이 발생할 것이다.
유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 요소 유형, 요소 크기(element size), 요소 차수(element order) 등과 같은 특성이 서로 다른 요소망(mesh)을 서로 결합시키고자 할 경우에도 특별한 기법들이 요구되기 때문에 어려움이 많다. 이러한 경우, 서로 다른 두 요소망 사이에 천이 요소망을 적용하면 특별한 기법을 사용하지 않고서도 원활하게 두 요소망을 결합시킬 수 있다.
예를 들어 요소 크기가 서로 다른 두 요소망을 결합시키는 경우, 요소 크기가 점진적으로 변하는 천이 요소망을 두 요소망 사이에 삽입하여 결합시키면 된다. 요소 차수나 유형이 서로 다른 두 요소망을 결합시키는 경우에도 이들 인자들이 한 요소망에서 결합될 또 다른 요소망으로 점진적으로 변화하도록 천이 요소망을 삽입시켜 두 요소망을 결합시키면 된다.
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시간에 따라 변동하는 외부 하중을 받고 있는 물체의 동적 응답(dynamic response)을 시간이 아닌 주파수 영역에서 분석하는 주파수응답해석(frequency response analysis)을 상기해 보자. 실제 유한요소 해석을 위해 모델에 작용시키는 힘 크기의 평균값은 0인 주기 하중(periodic force)이다.
하지만, 물체에 실제로 작용하는 주기하중의 평균값은 0이 아닌 경우가 거의 대부분이다. 따라서 이러한 문제를 해석하기 위해서는 평균값이 0인 주기하중에 따른 응답과 적당한 크기를 갖는 정하중에 따른 정상상태 응답(steady-state response)을 더해야 한다.
여기서 적당한 크기의 정하중이란 평균값이 0인 주기하중을 실제로 물체에 작용하는 주기하중의 평균값과 일치하도록 진폭을 이동시킨 값이다. 그리고 이렇게 평균값이 0인 주기하중을 일정한 크기의 평균값을 가진 주기하중으로 그 크기를 전체적으로 이동시키는 것을 진폭 옵셋이라고 부른다.
예를 들어, 5kgf에서 25kgf까지 변하는 주기하중은 평균값이 0인 10kgf의 진폭을 가진 주기하중과 크기가 15kgf인 정하중의 합으로 대체시킬 수 있다. 그리고 이 두 가지 하중 케이스에 대한 해석결과를 합함으로써, 5kfg에서 25kgf까지 변하는 주기하중에 대한 물체의 실제 동응답을 구할 수 있다.
하지만 모든 상용 유한요소해석 프로그램에서 이러한 기능을 제공하는 것은 아니며, 설사 제공하고 있다고 하더라도 그 사용법을 완전히 익히기까지는 어느 정도의 시간과 노력이 요구된다.
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유체 동역학에서 항력(drag)은 물체가 유체 내를 움직일 때 이 움직임에 저항하는 힘이다. 항력은 마찰력과 압력으로 구분된다. 마찰력은 물체의 표면에 평행한 방향으로 작용하며, 압력은 물체의 표면에 수직한 방향으로 작용한다. 유체 내에서 움직이는 고체 물체의 경우, 항력은 유체의 유동과 동일한 방향으로 작용하는 모든 유체역학적 힘의 합이다. 따라서 항력은 물체의 움직임을 방해하는 힘이다. 항공기에서 추력이 필요한 것은 바로 이 항력이라는 힘을 극복하고 나아가기 위해서이다. 물체에 대한 항력은 무차원수인 항력계수(Cd, drag coefficient)로 나타낼 수 있으며, 항력 방정식을 사용해 계산할 수 있다. 항력 계수를 상수라고 가정한다면, 일반적으로 항력은 속도의 제곱에 비례한다. 항력방정식은 물체가 유체 내에서 움직일 때 작용되는 항력을 계산하는 식으로서, 다음과 같다.
여기서, 우측의 - 부호는 항력이 물체의 동력과 반대 방향으로 작용하는 것을 나타낸다 (순수한 항력 계수를 나타낼 때는 - 부호를 쓰지 않는다) 여기서, 는 항력, 는 유체의 밀도, 는 유체에 대한 물체의 상대속도, 는 기준면적, 는 항력 계수를 나타내며 는 속도의 방향을 나타내는 벡터이다(앞에 붙은 음수 기호는 항력이 이 속도 벡터의 반대 방향으로 작용함을 나타낸다). 기준 면적 는 물체를 물체의 운동 방향에 수직한 평면에 투영한 면적과 관계된다. 같은 물체에 대해서도 다른 기준 면적이 주어질 때가 있는데, 이 때에는 각각의 기준 면적에 대한 항력 계수가 각각 주어져야 한다. 날개에 대해서는, 기준 면적은 전방 면적(frontal area)이 아닌 plane area이다. 항력 계수는 무차원 수이다.
물리적으로 충격파는 교란이 전파되는 파동의 일종으로서 유체 속에서 음속(speed of sound)보다 빠르게 전파될 때 발생하는 파동이다. 다른 파동들처럼 에너지를 전달하고, 매질 속에서 전파되어 간다. 충격파는 갑작스러운 압력, 온도 그리고, 밀도의 변화를 수반하는 특징을 가지고 있다.
아래 우측 마지막 그림과 같이 물체가 음속보다 빠르게 움직일 때 물체에 의해 발생된 파동은 물체를 앞서 갈 수 없고, 항상 물체를 뒤따르게 된다. 이 파동들은 계속 중첩되어 원뿔 형태의 높은 압력면을 형성하게 되며, 이 얇은 면을 충격파라 한다.
아래 사진은 초음속(supersonic) 비행 중 항공기 주변에 발생하는 원뿔모양의 충격파(conic shock wave) 사진이다.
주어진 제약조건 하에서 최고의 성능을 발휘할 수 있도록 부품이나 시스템을 설계하는 작업을 최적설계(optimum design)라고 부른다. 최적설계에는 형상 최적화(shape optimization), 물성 최적화(material optimization), 치수 최적화(dimension optimization) 그리고 위상 최적화(topology optimization)로 구분할 수 있다.
이러한 구분은 설계변수(design variable)의 유형에 따른 것으로, 형상은 물체의 외곽모양, 치수는 각 부위의 상세 치수, 재료는 구성물질의 종류 그리고 위상은 내부 구조를 각각 설계대상으로 한다. 설계변수의 유형은 다를지라도 최적화의 기본이 되는 수학적인 개념과 공식들은 거의 동일하다.
이들 중에서 치수 최적화가 가장 오래 전부터 소개되었으며 매우 광범위하게 적용되고 있다. 치수 최적설계는 전문적인 용어로 파라메터 최적설계로도 불리며, 최근 들어 위상최적화와 병행되어 사용되고 있다. 예를 들어, 구조물의 보강구조 및 보강재 설계에 있어 위상 최적화를 통해 최적의 보강 경로(혹은 보강 패턴)을 찾은 다음 보강재의 상세치수를 위해 파라메터 최적설계를 적용하고 있다.
최근 시판되고 있는 상용 유한요소해석 프로그램에는 이러한 최적설계 모듈들이 거의 대부분 탑재되어 있어 산업체 전반의 기능향상과 경량설계에 매우 유용하게 사용되고 있다.
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공기와 같은 유체의 유동은 압축성(compressibility), 점성(viscosity) 그리고 유체입자의 회전성(rotational) 중에서 어떠한 효과가 중요시 되느냐 아니면 무시할 수 있느냐에 따라 분류할 수 있다. 압축성 유동(compressible flow)에서는 유동입자의 밀도변화가 현저한 경우이며, 점성유동(viscous flow)은 유체입자 사이의 점성효과가 지배적인 경우이다.
그런데, 이 세가지 효과를 모두 무시한 유동을 이상유동(ideal flow)이라고 정의하며, 유체속도를 어떤 함수의 위치에 따른 변화율로 표현할 수 있다. 이 함수를 속도 포텐셜(velocity potential)이라고 부르며, 유체의 속도나 압력을 속도 포텐셜로 전환하여 표현할 수 있다는 측면에서 포텐셜 유동이라고도 부른다. 압축성만을 반연한 이상유동인 오일러 유동(Euler flow)과는 차이가 있다.
포텐셜 유동은 흐름의 양상이 복잡하지 않고 또한 속도가 완만한 경우에 많이 적용되고 있다. 예를 들어, 액체 저장탱크 내 액체의 출렁임이나 배 주위 바다물의 흐름 등은 포텐셜 유동으로 가정하여도 큰 무리가 따르지 않는다.
수치해석적인 측면에서 포텐셜 유동의 가장 큰 장점은 요소망(mesh) 혹은 그리드(grid) 내부 각 절점(node)이 하나의 자유도(degree of freedom)만을 갖는다는 점이다. 따라서 근사해를 구하기 위해 풀어야 할 행렬 방정식의 크기를 대폭적으로 감소시킬 수 있다. 최근 해석분야에서 크게 관심이 되고 있는 유체-구조 연성해석(fluid-structure interaction analysis)에서 해석시간 단축을 위해 유체유동을 포텐셜 유동으로 가정한 경우가 많다.
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페클레 수는 대류와 확산의 정도를 나타내는 지표로 일반적으로 전산유체역학 해석에서 안정화 정도를 나타내는 지표로 사용되며 페클레 수가 1이하인 경우에 안정하며, 1이상인 경우 불안정하다고 본다. 따라서 전산유체역학 해성을 위한 모델링을 하는 과정에서 이 수가 1이 넘지 않도록 격자(Mesh)를 생성하는 것이 해석의 안정성을 보장한다고 볼 수 있으며, 해석을 수행하는데 계산이 수렴하지 않고 발산하는 경우 이 수가 1이 넘지 않는지 제일 먼저 확인해 보아야 한다. 이에 대한 제일 간단한 해결책은 격자의 크기를 줄이거나 시간 간격을 줄이는 것으로, 이는 해석 시간 및 해석 비용을 늘리는 단점이 있기 때문에, 페클레 수와 해석 비용 사이의 적당한 균형을 맞추는 것이 필요하다. 페클레 수에 대한 정의는 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
물질이동 관점에서 보면 페클레 수는 다음과 같이 정의 되며, 레이놀즈 수와 슈미트 수의 곱으로 나타낼 수 있다.
, where u: 유동속도, L: 특성길이(characteristics length), D: 물질확산 계수(mass diffusion coefficient), Sc: 슈미트 수(Schmidt number)
열전달 관점에서 보면 페클레 수는 다음과 같이 정의 되며, 레이놀즈 수와 프란틀 수의 곱으로 나타낼 수 있다.
, where α: 열확산 계수(thermal diffusivity)
엔지니어링 분야에서 종종 페클레 수는 매우 크게 나타나는데, 이럴 경우 유체의 흐름에 있어서 하류의 영향성은 거의 사라지게 되므로, 유동의 변수는 유체 흐름 방향의 단방향(one way) 특성을 가지게 된다. 그래서, 높은 페클레 수를 가지는 유동의 특성 분석은 그렇지 않은 경우보다 좀 더 단순화 할 수 있다.
해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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