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프루드 수는 유동의 관성과 중력의 비로 나타내는 무차원 수이다. 중력이 영향을 미치는 유체의 운동을 취급할 때에 이용되며, 유동의 역학적 상사성을 판단하기 위하여 사용된다.
, where u: 유동속도, L: 특성길이(characteristics length), g: 중력가속도(gravitation acceleration)
프루드 수를 이용하면 유체의 흐름을 다음과 같이 구분할 수 있다.
l Fr < 1, 아임계류(subcritical flow): 느린 자연하천
l Fr = 1, 임계류(critical flow): 아임계류와 초임계류의 변환점
l Fr > 1, 초임계류(supercritical flow): 빠르게 흐르는 하천, 산간계류하천 등
프루드 수가 1보다 큰 환경에서는 물의 표면에 접촉하고 있는 물체에 의해 생긴 파동이 상류 방향으로 거슬러 올라가지 못한다. 음속을 초과한 마하수 1 이상의 유동에서 음파가 흐름을 거슬러 전파되지 못하는 상황과 유사하다.
물체가 외부로부터 힘을 받아 변형하게 되면 변형의 크기를 나타내는 변형률(strain)은 거의 대부분 3차원적인 성분들로 구성된다. 다시 말해, 직교하는 세 축 방향으로 변형률의 성분이 모두 존재함을 의미한다. 하지만 특수한 물체 형상과 외부 하중조건이 특수한 경우에 있어서는 임의 한 방향으로 변형률이 거의 0이 되는 경우가 가끔 발생한다.
이처럼 임의 한 방향으로 수직 변형률(normal strain)과 전단 변형률(shear strain)이 0이 되는 변형률 상태를 특별히 평면 변형률 상태라고 부른다. 물체의 거동이 평면 변형률 상태가 되기 위해서는 물체의 형상, 구속조건 그리고 하중조건이 임의 한 방향으로 일정하여야 할뿐더러 그 방향으로 물체의 길이가 상당히 길어야 한다. 터널이나 댐과 같은 경우가 가장 대표적인 예이다.
평면 변형률 상태가 되면 변형률이 0이 되는 방향으로 물체 거동에는 변화가 없기 때문에 공학적 분석을 간단히 수행할 수 있다. 다시 말해, 변형률이 0이 되는 방향으로 물체를 임의 길이만큼 절단하여 수치해석(numerical analysis)을 수행할 수 있다. 이 경우 절단된 물체의 양 단면에는 대칭 경계조건(symmetric boundary condition)을 부여하기만 하면 된다.
참고로 평면 변형률 상태가 되더라도 그 방향으로 수직응력은 존재한다. 평면 변형률 상태는 평면응력 상태(plane stress state)와 축대칭 모델(axisymmetric model)과 더불어 유한요소 해석(finite element analysis)을 매우 효과적으로 수행할 수 있도록 한다.
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유동은 레이놀즈수에 따라 다른 현상을 나타내는데 대표적인 현상 중 하나가 층류이다. 난류와 대비되는 현상으로 난류는 무작위적인 소용돌이로 대표되는 현상이지만 층류는 평행하고 균일한 흐름이 대표적으로 나타난다. 보통 자연상태에서는 층류가 잘 나타나지 않고 대부분의 우리가 보는 유동 흐름음 난류현상이다.
레이놀즈 수가 작을 경우 층류가 나타나며 이는 유체의 분자적 점성이 크거나 속도가 느린 경우, 특성길이가 작은 경우를 의미한다. 또한 유동의 흐름을 방해하는 물체가 없을 경우 비교적 큰 레이놀즈 수에서도 층류가 관찰되기도 한다.
보통 난류 유동의 경우 수많은 소용돌이가 발생하게 되는데 층류에서는 분자적 점성으로 인해 이러한 소용돌이 발생이 억제된다. 소용돌이는 회전 모멘텀으로 생각할 수 있으므로, 결국 운동량과 점성력의 비인 레이놀즈 수를 통해 층류와 난류를 구분하는 것이 물리적으로도 타당함을 알 수 있다.
우리 주위에서 흔히 볼 수 있는 여러 가지 현상들은 각기 그 거동을 지배하는 인자들이 존재한다. 그리고 그 현상과 인자들과의 관계를 수학적으로도 표현할 수 있다. 그리고 거동에 영향을 미치는 인자들 사이에도 서로 상관관계가 존재하는 경우가 종종 있다. 그런데 상관관계를 가지는 인자들 사이의 관계 역시 수학적인 표현이 가능하기 때문에, 위에서 말한 거동은 어떠한 인자들로 표현하느냐에 따라 수학적 표현이 달라질 수 있다.
하지만, 서로 다른 수학적 표현일지라도 그 표현에 포함되어 있는 인자들 사이의 관계를 통하여 서로 변환(transform)이 가능하다. 이렇게 상관관계를 가지는 인자들로 표현되는 서로 다른 수학적 표현들 사이의 변환은 19세기 독일의 위대한 수학자 칼 구스타프 자코비(Jacobi, 1804-1851)에 의하여 최초로 연구되었다.
위에서 말한 현상은 특정한 학문분야에 한정되지 않고 모든 문제에 대해서도 동일하게 적용된다. 만일 그 거동이 물체의 공간상의 좌표일 경우에는 이 변환을 좌표변환(geometry transformation)이라고 부르고, 만일 수학적인 함수일 경우에는 함수변환(function transformation)으로 불린다. 이러한 거동을 상관관계를 가지고 있는 서로 다른 인자들에 의한 함수들로 표현하였을 경우, 이 함수들 사이의 변환은 자코비 행렬(Jacobi matrix)를 통해서 가능하다.
자코비 행렬과 자코비언이란 용어는 수학자 자코비의 이름을 따서 명명하게 되었다. 물체의 기하학적 형상에 대한 좌표변환에 있어 자코비언의 물리적 의미는 다음과 같다. 1차원 형상의 경우에는 변환 관계에 있는 두 직선의 길이 비를, 2차원의 경우에는 변환 관계에 있는 두 평면의 면적 비, 그리고 3차원의 경우에는 부피 비를 의미한다. 따라서 이러한 물리적 특성에 따라 좌표변환에 있어 자코비언은 0이나 음(-)의 값을 가질 수 없다.
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유동해석을 진행할 경우 고속 회전 터빈과 같이 어떤 값이 평균되어 전달되어야 하는 구간이 존재할 수 있다. 일반적인 상용 해석 프로그램에서는 이와 같은 연산을 수행하기 위해 혼합면(mixing plane) 경계조건 기능을 지원하고 있다. 혼합면은 접촉조건과 같이 서로 절점을 공유하지 않은 영역간에 정의되며 상류(upstream)에서 하류(downstream) 쪽으로 평균된 물리량이 전달된다. 평균 물리량은 회전체 해석에 적합하도록 동심원에 대한 평균값으로 정의하거나 혼합면 전체에 대한 평균값으로 정의할 수 있다. 혼합면 기능은 상류와 하류 사이의 유동을 완전히 평균 하기 때문에 상류와 하류의 격자가 다른 경우에도 적용할 수 있어 평균 하지 않는 계산보다 효율적으로 사용할 수 있다. 혼합면 기능은 전체 면에 대한 보간 방정식을 만들어 계산을 수행하므로 연산 시간이 다소 늘어날 수 있으며 일반적으로 정상 상태 계산에서 사용하도록 한다. .
연속적인 분포를 갖는 물리량 혹은 흩어져 있는 데이터의 평균값은 적분치 혹은 총합을 분포의 폭 혹은 데이터의 개수로 나눈 량으로 정의된다. 예를 들어 한 주기를 갖는 사인함수(sine function)의 평균값은 0이 되고, 1부터 10까지 정수들의 평균값은 5가 된다. 이와 같이 평균값은 물리량 혹은 데이터에 있어 양과 음의 값을 구분하여 계산된다.
하지만 때때로 물리량의 양과 음을 구분하지 않고 절대적인 크기에 대한 평균값 개념으로 RMS(root mean square)가 사용되고 있다. 위에서 언급한 한 주기 사인함수의 RMS는 더 이상 0이 아니다. RMS의 정확한 정의는 이 용어가 의미하듯이 물리량을 제곱하여 적분 혹은 합한 다음 분포의 폭 혹은 데이터의 개수로 나눈 값의 제곱근이다.
RMS는 전기나 전자기와 같은 각종 파동(wave)이 지니고 있는 에너지, 물체 표면의 거칠기(roughness) 정도, 각종 오차(error)의 절대적인 크기를 나타내기 위하여 주로 사용된다. 만일 이러한 경우에 일반적인 평균값을 사용한다면 해당 물리량이나 오차 분포의 전체적인 크기를 간과할 수 없다. 유한요소해석(finite element analysis)에 있어서도 RMS 형태로 결과값의 절대적인 평균값을 출력할 수 있다. 주로 동해석(dynamic analysis)이나 수치해석 오차(numerical analysis error) 분석에서 많이 사용된다.
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질량은 물체가 지니고 있는 크기가 변하지 않는 고유한 물리량으로, 물체의 자중(self weight), 관성력(inertia force)과 운동량(momentum)은 이 질량에 비례한다. 정지하고 있는 물체를 움직이고자 할 경우에는 이 움직임에 저항하려는 반면 운동 중인 물체는 운동을 정지하려는 제동력에 저항하려는 성질을 지닌다. 자중은 물체의 질량과 중력 가속도의 곱으로, 관성력은 물체의 질량과 가속도의 곱으로, 그리고 운동량은 물체의 질량과 속도의 곱으로 표현된다.
유한요소법(finite element method)으로 물체의 공간을 유한 개의 세부 영역으로 나눈 요소망(mesh)과 요소망 내 유한요소(finite element) 상에서 정의되는 보간함수(interpolation function)를 사용하면 물체의 자중, 운동량 그리고 관성력은 질량행렬로 표현된다. 질량행렬은 물체 내에 연속적으로 분포되어 있는 물체의 질량을 요소망 내 각 절점(node)에 집중질량(lumped mass) 형식으로 이산화시켜 놓은 것으로, 이 질량행렬 내 각 행렬요소를 합하면 물체의 전체 질량과 같게 된다.
한편, 수치해석의 편의상 이 질량행렬을 대각화(diagonalization)하는 경우가 종종 있는데, 그렇게 하더라도 대각화 된 질량행렬 내 행렬요소의 총 합은 물체의 전체 질량과 반드시 일치해야 한다.
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특정한 회전 축을 중심으로 물체를 회전시키는데 걸리는 능력을 관성 모멘트(moment of inertia)라고 부른다. 그리고 이 물리량은 물체 각 지점까지의 수직거리의 제곱과 각 지점에서의 질량의 곱을 물체 전체에 걸쳐 합한 총 량으로 정의된다. 만일 특정 물체에 있어서 임의 한 회전 축에 대한 관성 모멘트 값을 알고 있다면, 이 축으로부터 떨어져 있는 또 다른 회전 축에 대한 물체의 관성 모멘트는 평행축 정리를 이용하여 쉽게 계산할 수 있다.
이 정리에 따르면, 떨어져 있는 회전 축에 대한 관성 모멘트는 이미 알고 있는 회전 축에 대한 관성 모멘트와 물체의 총 질량을 두 축사이의 수직거리 제곱에 곱한 량의 합으로 계산된다. 이 정리는 복잡한 형상을 지닌 물체의 관성 모멘트를 효과적으로 계산하기 위해 많이 사용되고 있다.
예를 들어, 물체의 형상이 몇 개의 보다 단순한 형상들의 조합으로 구성되어 있다면, 각각의 단순한 형상에 대한 관성 모멘트는 계산하기 쉬울뿐더러 전문서적에서 표로 제공하고 있다. 따라서 이 값과 평행축 정리를 각각의 단순 형상들에 적용하여 복잡한 형상으로 구성된 물체 전체에 대한 관성 모멘트를 쉽게 계산할 수 있다. 이 정리는 면적 관성모멘트(area moment of inertia)에도 그대로 적용될 수 있다.
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단일 물질로 구성된 재료는 재료 내 위치나 방향에 무관하게 재료의 성질, 즉 재료 물성치(material property)가 일정하다. 전자와 같은 재료의 특성을 균질성(homogeneity)이라고 부르고 후자와 같은 재료의 특성을 등방성(isotropy)이라고 부른다.
이와 같이 재료의 성질이 위치나 방향과 무관한 경우에는 기준이 되는 좌표축을 어떻게 설정하여도 재료 물성치 입력에 영향을 미치지 않는다. 하지만 재료의 성질이 위치나 방향에 따라 변하는 경우에는 재료 물성치의 입력은 좌표축의 설정에 절대적으로 영향을 받게 된다.
예를 들어 원통형 복합재에 있어 탄소 섬유(carbon fiber)가 원통축과 일정한 경사각을 이루면서 감겨져 있다면 복합재의 물성치는 감긴 방향을 하나의 축으로 하는 좌표축을 기준으로 입력되어야 한다. 왜냐 하면 이러한 복합재의 재료 물성치는 감긴방향, 그리고 이 방향과 수직인 두 축방향으로 정의되기 때문이다.
이렇게 특정한 방향으로 재료의 물성치가 정의되는 경우에는 재료 물성치의 입력을 위하여 별도의 좌표축을 설정할 필요가 있으며, 이 좌표축을 재료 좌표계라고 부른다. 대부분의 상용 유한요소 해석 프로그램에는 이와 같이 위치나 방향에 의존하는 재료 물성치를 입력하기 위한 재료 좌표계를 해석자가 별도로 지정할 수 있도록 그 기능을 제공하고 있다.
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