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유한요소 해석에서 가장 많이 사용되는 특수요소 중의 하나로 스프링 요소가 있다. 대부분의 상용 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 스프링 요소는 요소망(mesh) 내 두 절점(node)을 연결하는 단순한 1차원 선요소(line element)다. 스프링 요소는 일반적으로 스프링을 표현하는 데 사용되지만, 조립체 모델링이나 접촉을 구현하기 위해서도 다양하게 활용된다. 스프링 요소는 축 방향 외에 비틀림 방향으로도 하중을 지탱할 수 있다.
스프링은 적절한 탄성계수와 단면적을 가진 보요소(beam element)를 사용하여 표현할 수도 있지만, 대부분의 상용 프로그램에서는 단순하게 스프링 상수만 입력하면 설정이 가능한 스프링 요소를 제공한다. 절점과 절점을 연결하는 기본적인 절점연결 스프링(node-to-node spring) 요소와 함께, 한 절점의 모든 자유도가 자동적으로 구속된 지반 스프링(grounded spring) 요소를 제공하는 프로그램도 있다.
또 다른 유형의 스프링은 자유도 스프링(degrees of freedom spring)으로써, 특정 방향 또는 특정 자유도에 대해서만 스프링 강성을 가진다는 점에서 일반 스프링 요소와는 다르다. 일반 스프링 요소는 스프링 하중이 스프링의 양 끝점 사이의 거리 변화로 발생되지만, 자유도 스프링은 지정한 자유도의 병진이나 회전에만 국한된다. 어떤 상용 프로그램에서는 프리로드(preload) 스프링이나 비선형 스프링을 제공하기도 한다. 기계나 조립체 모델링이 유한요소해석의 주 목적인 경우, 앞서 언급한 모든 유형의 스프링 요소들이 매우 유용하다.
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베지어 곡선은 컴퓨터 그래픽스 및 이와 관련된 분야에서 대단히 중요하게 취급되는 매개변수 곡선(parametric curve)이다. 그리고 이 곡선을 3차원으로 확장한 것을 베지어 곡면이라고 부른다. 베지어 곡선은 1959년 프랑스의 카스텔자우(Cateljau)에 의하여 개발되었으며, 프랑스 르노 자동차 회사의 베지어(Bezier)에 의하여 보급되었다. 베지어 곡선은 무한정으로 배율을 조정할 수 있는 유연한 곡선을 표현할 수 있기 때문에 아도비(Adobe), 포토샵(photoshop) 등의 이미지 조작에 많이 적용되고 있다. 공간 상에서의 형상적 표현 외에도 시간 영역에서의 애니메이션(animation)과 인터페이스(interface) 설계를 위해서도 광범위하게 사용되고 있다.
베지어 곡선은 제어점(control point)과 번스타인 기저 다항식(Bernstein basis polynomials)의 선형조합(linear combination)으로 정의된다. 두 개의 제어점을 갖는 베지어 곡선은 두 점을 연결하는 직선으로 정의되고, 세 개의 제어점이 주어진 경우에 있어서 베지어 곡선은 각 두 지점을 연결하여 정의된 두 개의 직선 상에서 파라메트릭하게 이동하는 두 지점을 연결한 이동하는 직선 상을 파라메트릭하게 이동하는 한 점의 궤적으로 정의된다. 그 결과 2차원 곡선이 정의되며, 이 원리를 일반화 시키면 n개의 제어점으로 정의되는 베지어 곡선의 차수는 (n-1)이 된다.
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기본적으로 질량 관성 모멘트(moment of inertia)와 동일한 개념으로, 해당 물체의 질량 대신 면적의 회전에 대한 저항의 능력을 의미한다. 즉 임의 형상을 지닌 단면이 있다고 가정하고 이 단면을 특정 회전 축을 중심으로 회전시키고자 할 때 회전에 저항하려는 크기를 나타낸다.
정확한 수학적인 정의는 회전 축으로부터 단면 내 각 지점까지 거리의 제곱에 그 지점의 면적과의 곱을 단면 전체에 걸쳐 합산한 값이다. 예를 들어 원형 단면의 경우, 단면의 중심을 통과하는 축을 중심으로 회전시키는 것보다 단면 테두리 상의 임의 한 점을 관통하는 축을 중심으로 회전시키는 경우가 더 힘들다.
면적 관성모멘트의 계산에도 평행축 정리(parallel axis theorem)를 적용할 수 있다. 즉, 복잡한 물체의 단면을 몇 개의 단순한 단면들로 나눌 수 있다면, 이 정리를 이용하여 매우 효과적으로 면적 관성모멘트를 계산할 수 있다. 왜냐하면, 단순한 단면들에 대한 면적 관성모멘트는 공학도서의 부록 등에 표로 제공되고 있을뿐더러, 수학적인 정의에 따라 손으로 쉽게 계산할 수 있기 때문이다.
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제품이나 시스템의 성능은 여러 가지 요인들에 의하여 영향을 받는다. 이러한 요인들은 크게 내적인 것과 외적인 것으로 구분할 수 있으며, 외적인 요인은 일반적으로 주위 환경에 기인한다고 말할 수 있다. 따라서 외적인 요인은 설계자가 변경할 수 있기 보다는 주어진 제약조건으로 취급된다. 하지만 내적인 요인은 제품 혹은 시스템 설계에 있어 설계자의 판단에 의해 변경이 가능한데, 이와 같이 설계자의 주관적인 판단에 의해 결정해야 할 내적인 요인들을 총칭하여 설계변수(design variable)로 정의하고 있다.
에어컨의 냉방 성능을 예로 들어 보자. 냉방을 해야 할 공간의 크기나 외부 온도는 외적인 요인에 해당된다. 하지만 냉매의 종류, 압축기의 크기, 팬의 회전수 등은 에어컨의 내적인 요인으로 설계변수에 해당된다. 한편, 설계변수가 제품의 성능에 미치는 기여도는 각기 다를 뿐만 아니라, 설계변수의 변경에 따른 성능의 증감 정도 역시 각기 다르다. 어떤 설계변수는 성능에 그다지 영향을 미치지 않을뿐더러 변수값을 변화시켜도 성능에는 큰 영향을 미치지 않는다. 하지만 어떤 설계변수는 성능에 지대한 영향을 미칠뿐더러 변수값을 조금만 변화시켜도 성능이 현저하게 변화한다.
이와 같이 제품의 성능에 영향을 미치는 내적인 요인, 즉 설계변수의 변화가 성능에 미치는 민감한 정도를 설계 민감도로 정의한다. 그리고 이러한 민감도를 정량적으로 계산하는 작업을 민감도 해석(sensitivity analysis)이라고 부른다.
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선풍기나 풍력 발전기에는 크기와 형상이 동일한 3~4개의 날개가 동일한 각도 차이로 원주방향으로 설치되어 있다. 형상, 크기 그리고 재질이 동일할뿐더러, 날개에 작용하는 풍압이나 원심력 또한 동일하다. 따라서, 이러한 회전체에 발생하는 변형(deformation)이나 응력(stress) 역시 각 날개에 있어 동일하기 때문에, 날개 전체를 대상으로 유한요소 해석을 수행할 필요는 없다.
하지만, 이러한 회전체는 회전 중심축에 대하여 완전한 축대칭(axisymmetry)은 아니기 때문에, 2차원 축대칭 모델로 간략화 시킬 수는 없다. 그래서 이렇게 원주방향으로 동일한 형상이 주기적으로 반복되는 물체를 효과적으로 해석하기 위한 기법이 바로 순환대칭이다. 순환대칭에서는 축 방향으로 주기적인 형상의 한 부분을 해석의 대상으로 하기 때문에 축대칭 모델과는 달리 3차원 모델에 해당된다. 그리고 축 방향으로 절단이 되는 두 면에는 대칭 경계조건(symmetry boundary condition)을 적용해야 한다.
순환대칭은 앞서 예를 든 선풍기나 풍력발전기 팬 이외에도 제트엔진의 터어빈, 차륜 등과 같은 각종 회전체의 해석을 위해 유용하게 사용될 수 있다. 하지만, 순환대칭은 고유진동(free vibration) 해석에는 적용할 수가 없다. 왜냐하면, 형상은 순환대칭일지라도 이 모델로는 순환대칭이 되지 않는 고유모드(natural mode)들을 이 모델로는 구할 수 없기 때문이다.
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철사에 힘을 가하여 ㄱ자 모양으로 구부렸다가 힘을 제거하면 목표로 하였던 ㄱ자 모양의 각도로부터 어느 정도 벌어지게 된다. 이러한 현상이 스프링 백의 전형적인 예라 할 수 있다.
스프링 백 현상은 물체가 변형에 저항하려는 물체 내부의 복원력에 의하여 발생한다. 스프링 백의 크기는 굽힘 가공시 굽힘각도로부터 벌어지게 되는 각도량으로 측정되며 물체의 복원력에 비례한다. 예를 들어 밀가루 반죽은 어떠한 모양으로 변형시켜도 복원력이 거의 없기 때문에 스프링 백이 거의 발생하지 않는다.
한편 동일한 재질로 만들어 진 물체에 있어서도 스프링 백의 크기는 물체의 모양과 변형시키려는 형태에 따라 달라진다. 철사를 ㄱ자가 아니라 U자 모양으로 구부리면 스프링 백의 량은 보다 커진다. 한편, 얇은 판으로 되어 있는 금속을 구부릴 때가 두꺼운 판을 구부리는 경우보다 스프링 백이 적다.
물체에 힘을 가하여 변형시킨 후 힘을 제거하면 물체의 두 가지 상반된 성질, 즉 변형된 모양을 영구히 보존하려는 성질(소성(plasticity)이라고 부름)과 초기 형상으로 복원하려는 성질(탄성(elasticity)이라고 부름)에 의하여 물체의 최종 변형이 결정된다. 그리고 스프링 백은 물체를 변형시킨 후 물체 내부에 탄성이 어느 정도 남아있느냐에 따라 그 크기가 결정된다.
스프링 백은 각 부품을 조립하는 과정에서 치수의 정확도에 심각한 영향을 미치기 때문에, 부품이나 조립품 설계과정에서 사전에 고려해야 할 필수사항이다.
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행렬방정식 Ax=b에서 만일 A나 b가 구하고자 하는 x에 무관하지 않고 x에 따라 변하는 경우가 종종 발생한다. 이러한 경우를 비선형(nonlinear) 문제라고 부르며 x를 알아야 A나 b를 결정할 수 있기 때문에 계산이 단순하지 않다. 이러한 비선형 방정식은 한번의 계산으로 해답을 구할 수 없기 때문에 뉴튼-랩슨 기법(Newton-Raphson method)과 같은 반복계산방법을 적용해야 한다.
이 기법은 구하고자 하는 x값을 미리 추정하고 이 추정 값을 가지고 A나 b을 결정한 다음 x값을 계산한다. 그리고 계산된 x값으로 다시 A나 b를 결정한 다음 다시 x값을 계산하는 일련의 반복과정을 통해 x값이 원하는 정확도를 만족하게 되면 반복계산을 종료한다. 하지만 이 기법은 매 반복계산 시 마다 A나 b를 새로이 계산해야 하기 때문에 행렬의 크기가 커지면 계산시간상 문제가 될 수가 있다.
이러한 불편함을 개선하기 위해 수정된 뉴튼-랩슨 기법이 종종 사용되고 있다. 이 기법은 반복계산 시 마다 A나 b를 계산하지 않고 맨 처음에 계산한 A나 b를 나머지 반복계산 과정에서 계속해서 사용하기 때문에, A나 b를 계산하기 위해 소요되는 시간을 현저히 줄일 수 있다. 하지만 A나 b가 매 반복계산에 있어 정확하지 않기 때문에 원하는 정확도를 가진 x를 구하기 위해 필요한 반복계산 횟수는 뉴튼-랩슨 기법에 비해 증가하는 단점이 있다.
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자연계에서 발생하는 현상을 수치해석(numerical analysis)을 통하여 시뮬레이션하는 경우, 최종적으로 구한 근사해(approximate solution)에는 두 가지 오차(error)가 반드시 수반된다. 하나는 현상을 수학적인 표현으로 모델링하는 과정에 수반되는 모델링 오차(modeling error)이고, 다른 하나는 이 수학적 표현을 컴퓨터를 이용하여 푸는 과정에 수반되는 수치해석 오차(numerical analysis error)이다.
하지만 오차라고 하면 일반적으로 후자만 한정하여 생각하는데, 실은 잘못된 생각이다. 왜냐하면 수치해석 결과의 궁극적인 목표는 실제 자연현상을 정확하게 모사하는 것이기 때문이다. 따라서 두 가지 오차를 동시를 최소화 시켜야 하며, 그러기 위해서는 오차를 정량적으로 계산하기 위한 오차평가(error estimation)가 수행되어야 한다.
허용오차라 함은 최종 수치해석 결과의 정확도가 받아들일 수 있는 수준인가를 판단하는 정량적인 기준이다. 오차는 정답과 근사해와의 차이로서 해석하고자 하는 문제에 따라 그 크기가 달라지기 때문에, 정확도를 객관적으로 판단하기 위해 특정한 물리량에 대한 상대적인 값으로 전환해야 한다.
일반적으로 해석하고자 하는 문제의 총 변형률 에너지(strain energy)에 대한 상대비를 백분율(%)로 나타낸다. 이렇게 상대적인 개념으로 계산된 오차를 상대오차(relative error)라고 부르며, 허용오차는 허용될 수 있는 상대오차의 크기를 의미한다. 공학문제의 수치해석에 있어 해석결과의 허용오차는 일반적으로 20% 미만으로 하고 있지만, 절대적인 것은 아니며 허용오차의 수준은 해석목적에 따라 좌우된다.
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액체의 표면에서 스스로 수축하여 가능한 한 작은 면적을 가지기 위하여 작용하는 힘을 말하며 결과적으로 표면적이 적은 원모양이 된다. 소금쟁이과 같은 곤충이 물 위에서 걸을 수 있는 것도 이 속성에서 비롯되며, 바늘이나 면도칼, 포일 조각과 같은 작은 물체들이 물 표면에 떠 있는 것도 표면장력의 작용 때문이다. 이때, 액체의 내부는 분자 간의 인력에 의하여 안정된 상태에 있으며 반대로 표면에서는 내부방향의 인력과 표면 방향의 인력이 반대로 작용하므로 표면 자유 에너지(Surface free energy)를 추가적으로 가지게 된다.
일반적으로 CFD 해석을 수행하는 데 있어 표면장력은 Volume of Fluid, Level set method, Eulerian multi phase method 등과 같은 다상 유동(Multiphase flow) 해석에서 중요한 변수 중에 하나로 사용된다.
표면장면을 CFD 해석에서 사용하는 방법은 힘으로 정의하는 방법과 단위 면적당 힘으로 정의 하는 방법의 2가지 방법이 있다.
해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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