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우리가 흔히 보는 유체에는 많은 물질이 부유하고 있다. 이러한 부유물질이 섞여 있는 유체를 흔히 콜로이드(colloid)라고 부르며, 유체가 기체일 경우 에어로졸(aerosol)이라는 이름으로 불리고 있다. 유체 내의 부유물질을 해석하기 위해 다양한 방법이 사용될 수 있다. 크게 부유물질을 농도로 표현하는 픽의 법칙(Fick’s Law)을 사용하여 계산을 하는 방법과 각각의 입자(particle) 하나 하나를 동역학을 이용하여 모두 계산하는 방법이 있다
입자의 해석을 위해서는 입자역학(particle dynamics)이 사용되며 크게 두 단계의 과정을 거쳐 계산이 이루어 진다. 첫 번째 단계는 이동(streaming) 단계로 입자가 각각의 속도로 이동하는 과정을 의미한다. 두 번째 단계는 충돌(collision) 단계로 입자가 충돌하거나 유체와 작용하여 속도가 변화하는 과정을 의미한다. 한 시간스텝 동안 두 단계를 통해 입자의 위치와 속도가 번갈아 가며 바뀌게 된다.
각각의 입자는 자신의 속도를 가지고 있으며 각 시간스텝마다 속도만큼 위치를 이동하게 된다. 이동과정에서 물체와 입자간의 충돌이 발생할 수 있으며 물체의 표면 거칠기를 고려하여 다양한 충돌 조건을 적용할 수 있다.
유한요소해석(finite element analysis)을 수행한다는 것은 대상이 되는 해석문제를 표현하는 수학적 표현식을 행렬방정식으로 변환하여 물체의 거동을 근사적으로 구하는 것이다. 그런데 행렬방정식을 풀어서 구한 값들은 일반적으로 요소망(mesh) 내 각 절점(node)에서의 물체의 거동값에 해당된다. 예를 들어 열전달 해석으로 구한 수치값들은 대상이 되는 물체의 요소망 내 각 절점에서의 온도를 나타낸다.
이처럼 요소망 내 각 절점에서의 값들을 절점 값이라고 부르고, 값의 유형에 따라 절점 변위(nodal displacement), 절점 온도(nodal temperature), 절점 하중(nodal force) 등으로 명명된다. 행렬방정식을 풀어서 구한 수치값이 각 절점에서의 값이 되는 것은 물체의 거동을 근사화 하기 위해 사용되는 기저함수(basis function)의 특성 때문이다.
유한요소 해석에 사용되는 대부분의 기저함수는 자신의 번호와 일치하는 절점에서는 1의 값을 가지는 반면 나머지 모든 절점에서는 0의 값을 가지게 된다. 만일 기저함수가 이러한 특성을 지니고 있지 않다면 행렬방정식으로부터 구한 값이 곧바로 절점에서의 거동값을 나타내지 않는다. 이러한 경우에는 거동에 대한 근사식에 해당 절점의 좌표값을 대입하여 그 절점에서의 값을 계산해 내어야 한다.
한편, 변형률(strain)이나 응력(stress)은 절점에서 그 값을 계산하지 않고 행렬의 수치적 적분(numerical integration)을 위해 사용되는 적분점(integration point)에서 그 값을 계산한다. 그 이유는 이러한 값들은 절점에서 계산하는 것보다 적분점에서 계산하는 경우가 보다 정확하기 때문이다.
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공간 상에서 특정한 위치를 정의하기 위해서는 기준이 되는 점과 두 위치 사이의 상대적인 거리가 필요하다. 기준이 되는 점을 원점(origin)이라고 부르고, 상대적인 거리는 좌표값으로 표현된다. 여기서 좌표값은 서로 직교하는 세 방향으로의 거리의 성분들로 표현된다. 참고로, 이 경우는 3차원 공간에 대한 설명이고 1 및 2차원 공간에 있어서는 각각 한 방향 혹은 서로 직교하는 두 방향으로의 거리의 성분들로 표현된다.
이처럼 원점과 서로 직교하는 방향축으로 구성된 것을 특별히 좌표축이라 부른다. 예를 들어, 서울역을 원점으로 하고 부산으로 향하는 방향과 하늘을 향하는 방향을 두 개의 직교하는 축으로 설정하면 나머지 한 축은 서로 직각이어야 하는 조건에 의해 자동적으로 정의되고, 이 좌표축을 이용하면 서울역을 중심으로 한 상대적인 위치를 표현할 수 있다. 만약 원점은 그대로 두고 세 방향을 회전시키면 새로운 좌표축이 정의된다. 물론 새로운 세 방향은 서로 직각이 되어야 한다.
이러한 좌표축은 공학분야에 있어 필수적이다. 물체 내 한 점에서의 응력(stress)은 좌표축의 회전에 따라 그 값들이 변한다. 또한 물체의 변형률(strain), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 그리고 단면의 면적 관성모멘트(area moment of inertia)도 계산의 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 그 값들이 변한다.
그리고 이러한 물리량들은 특정한 좌표축 의 방향에서 최대 및 최소값을 가지게 되는데, 이 특정한 좌표축 방향을 주축이라고 부른다. 참고로, 주축에서의 최대 및 최소 응력값을 주 응력(principal stress)이라고 부른다. 만약 응력값이 아니고 질량 혹은 면적 관성모멘트라면 최대 및 최소값을 주 관성모멘트(principal moment of inertia)라 부르고, 변형률이라면 주 변형률(principal strain)이라고 지칭한다.
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송풍기, 통풍기라고도 하며 날개, 프로펠러 등을 회전시켜서 공기를 흡입 또는 배출하는 기계이다. 예를 들면 연소장치의 통풍을 주기 위해서 또는 실내의 환기를 위해서 사용된다. 팬은 원심팬(radial fan), 축류팬(axial fan) 등의 방식이 있으며, 원심팬은 터보팬(turbo fan), 플레이트팬(plate fan), 시로코팬(sirrocco fan)으로 분류할 수 있고 축류팬은 프로펠러팬(propeller fan)으로 구분된다. 구분하는 기준은 형태, 효율, 압력 범위 등을 사용한다.
CFD에서 팬이 놓인 유동장을 해석하기 위해서 좌표계 이동 또는 요소망변형 등을 이용하여 팬을 모델링을 할 수 있는데, 이는 모델링과 해석에 있어 많은 노력과 비용이 들어간다. 이때, 팬 경계조건을 이용하면 복잡한 팬의 형상 모델링을 생략하고 간략한 모델링만으로 팬이 있을 때의 유동현상을 표현할 수 있다. 팬 경계조건은 체적유량(volumetric flow rate)에 따라 승압력이 발생하는 경계조건이며, 이 때 체적유량과 승압력 간의 관계를 팬 곡선(fan curve) 또는 압력-유량(P-Q) 곡선이라 부른다. 팬 경계조건을 입력하여 유동장을 해석하게 되면 시스템의 저항과 팬 특성 간의 평형 상태를 찾아가게 되며 시스템 저항 곡선과 팬 곡선이 만나는 지점에서 평형을 이룬다. 이 위치를 작동점(operating point)이라 부르며, 아래의 그림과 같다. 일반적으로 팬 곡선은 유량이 증가함에 따라 승압력(pressure jump)이 작아지는 형태를 나타낸다.
임의 물체가 공간 상에서 차지하는 면적 혹은 체적을 수학적으로 계산하는 것을 통칭하여 적분(integration)한다고 말하듯이, 시간에 따라 변하는 물체의 거동을 시간을 따라 추적(track)해 나가는 것을 시간적인 측면에서의 적분이라고 부른다. 예를 들어 지진파를 받는 고층건물 내 임의 한 지점의 시간에 따른 동적인 변형을, 수치해석(numerical analysis)으로 추적하여 시간을 수평축으로 하고 변형량을 수직축으로 하는 함수로 나타낸 것은 시간적분의 결과이다.
지진파와 같은 동적 외란을 받는 임의 물체의 거동은 뉴튼의 법칙(Newton’s law) 중에서 제 2법칙인 운동의 법칙으로 표현된다. 다시 말해, 외력을 받아 운동하는 물체의 가속도는 외력의 크기에 비례한다. 이 운동법칙에 대한 수학적 표현 속에는 물체 거동의 시간에 대한 변화율과 이 변화율의 시간 변화율이 포함되어 있다. 운동 중인 물체의 위치(혹은 변형)가 관심이 되는 경우, 전자는 속도 그리고 후자는 가속도가 된다. 이러한 시간에 따른 물체의 거동, 즉 초기치 문제(initial value problem)를 유한요소법(finite element method)으로 풀기 위해서는 대상이 되는 전체 시간 구간을 특정한 시간 간격(time step)으로 유한 개의 시점으로 나누어야 한다. 그리고 각 시점에서의 물체의 거동을 구하여 이 값들을 연결하여 연속적인 시간 함수로 표현하면 된다.
각 시점에서 물체의 거동은 초기값(initial value)을 운동방정식에 대입하여 다음 시점에서의 거동을 계산하고, 다시 이 계산된 값을 대입하여 그 다음 시점에서의 값을 구하는 반복계산으로 구해진다. 이러한 반복계산을 통해 원하는 시점까지 물체의 거동을 수치적으로 구하는 개념이 시간적 측면의 적분에 해당된다. 이러한 시간적분에는 크게 암시적 시간적분(implicit time integration)과 명시적 시간적분(explicit time integration) 두 종류가 있다.
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부시네스크 근사는 자연대류와 같은 비등온 흐름(nonisothermal flow)을 압축성 나비아-스톡스 방정식을 사용하지 않고 풀기 위한 방법 중 하나입니다. 이 근사방법은 자연현상의 비선형성이 무시될 수 있을 만큼 밀도의 변화가 작을 때 정확한 해를 보장합니다. 부시네스크 근사에서는 밀도의 변화가 오직 부유력(Buoyancy force)에만 영향을 미치고 유동장에는 영향을 미치지 않는 다고 가정합니다. 실제적으로 부시네스크 근사는 실내 난방수, 건물 내부의 자연대류 및 산업 장치 내 고밀가스의 확산 등의 해석에 적용되고 있습니다.
부시네스크 근사는 컴퓨터의 계산능력이 지금처럼 발달하지 않았던 과거에는 많이 활용되었으나, 상대적으로 하드웨어와 소프트웨어의 발달로 계산비용이 과거에 비해 현저히 감소하고 있는 추세 속에서 예전만큼 많이 활용되지 않는 추세입니다. 부시네스크 근사에서는 밀도 변화가 온도변화에 의해서만 일어나며, 이 경우 밀도변화와 체적 열팽창계수 사이를 다음과 같이 근사형식으로 표현할 수 있습니다. > 부시네스크 근사 더 자세히 보기🔎
: 열팽창계수 (thermal expansion coefficient)
위 가정을 운동방정식에 반영하면 다음과 같은 식이 됩니다.
컴퓨터 화면상에 물체의 형상 및 시뮬레이션 결과를 가시화 하는 컴퓨터 그래픽스(computer graphics) 기술이 발달하기 전에는 모든 계산 결과들이 숫자로 출력되었다. 그 결과 물체의 형상 혹은 계산된 물체 거동을 머리 속에서 상상하는 방법밖에는 없었다. 다시 말해 요즘과 같이 컴퓨터 화면상에서 칼라 색상으로 재현할 수 없어서 물체의 거동을 수치적으로 계산하는 것 이상으로 그 결과를 분석하는 작업이 난해하고 불편하였다. 하지만 최근 컴퓨터 그래픽스 기술의 보편화로 숫자로 표현된 모든 물체의 형상 데이터나 해석결과 데이터는 컴퓨터 화면상에서 생동감 있게 칼라로 재현되고 있다. 거의 대부분 칼라로 표현되고 칼라 색상에 따라 물체 거동의 크기를 분별할 수 있도록 되어 있다.
색상 범례란 수치해석(numerical analysis)으로 구한 해석결과를 컴퓨터 화면상에서 칼라로 가시화 하는 경우, 해석결과의 대수적인 크기 범위를 특정한 색상으로 지정하여 구분한 것을 의미한다. 최근 사용되고 있는 모든 CAD 및 유한요소 해석(finite element analysis) 스프트웨어의 후처리기(postprocessor)는 이러한 색상범례를 가지고 각종 해석결과를 화면상에 출력한다. 색상 범례 상의 최대값과 최소값은 소프트웨어에서 자동으로 설정하지만, 해석자의 편의에 따라 이 값들을 변경시킬 수도 있다.
예를 들어, 물체의 거동 중에서 특정한 부분에 대한 거동을 보다 세밀하게 관찰하고자 할 경우, 그 영역 내 해석결과의 최대값과 최소값으로 전체 색상범례의 최대와 최소값으로 설정할 수 있다. 이렇게 하면 국부 영역에서의 물체 거동의 변화를 보다 세밀하게 분석할 수 있다.
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물체가 외부로부터 하중을 받으면 형상이 변하게 되고 이 형상 변화와 더불어 물체의 전체 체적(total volume)이 변하는 경우가 일반적이다. 예를 들어 단단한 재질로 만들어진 속이 비어있는 원통 속에 특정한 물체를 넣고 힘을 가하여 누르는 경우를 상상해 보자. 많은 경우, 정도의 차이는 있지만 물체는 그 체적이 줄어들게 되는 압축성을 나타낸다. 공기와 같은 기체는 전형적인 압축성 매질로서 압축에 따라 현저한 체적 감소를 나타낸다. 자동차 타이어에 공기를 주입하여 자동차를 지탱할 수 있는 것도, 타이어 주입된 압축된 공기의 압력 때문이다.
하지만 체적이 전혀 변하지 않는 물체도 있는데, 이러한 물체를 비압축성 물체라고 부른다. 우리 주위에서 흔히 볼 수 있는 고무(rubber)는 가장 대표적인 비압축성 물체로서 하중을 가하면 그 형상은 쉽게 변하지만 체적은 항상 일정하게 유지된다. 물과 같은 액체는 미소한 체적변화를 나타내지만 일반적으로 비압축성으로 가정하고 있다.
물체의 거동을 분석하는 일에 있어 비압축성도 하나의 중요한 구속조건(constraint)으로 취급되고 있다. 따라서, 고무변형(rubber deformation)이나 금속성형(metal forming)과 같은 문제의 수치해석(numerical analysis)에 있어서 이 구속조건은 반드시 만족되어야 한다. 요즘 수치 시뮬레이션을 위하여 광범위하게 사용되고 있는 상용 유한요소 해석 프로그램에서는 벌칙기법(penalty method)이나 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method)과 같은 수치기법으로 이러한 구속조건을 처리하고 있다.
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봉 요소는 보와 같은 가느다란 부재의 처짐을 모사하기 위한 보 요소(beam element)의 특수한 경우이다. 보 요소가 부재의 처짐과 굽힘(bending)을 표현할 수 있는 것과는 달리, 봉 요소는 굽힘에 대한 저항력을 가지지 않는다. 따라서 봉 요소는 한 절점에서 병진 자유도(translation degree of freedom)만을 가지며, 요소 길이방향으로 인장과 압축하중만을 지탱한다.
이러한 측면에서 봉 요소를 링크 요소(link element), 막대 요소(bar element) 혹은 트러스 요소(truss element)라고 불리기도 한다. 예를 들어 자전거 바퀴에 있어 외륜과 내륜을 연결하는 다수의 강선(steel cord)이나 핀들로 연결된 각종 철골 구조물들은 부재의 길이 방향으로 인장이나 압축하중만을 지탱한다. 따라서 이러한 부재들의 거동은 봉 요소를 이용하면 효과적으로 모사할 수 있다.
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