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일반적으로 유체 내에서 움직이는 모든 물체는 어떠한 방향의 항력을 받고, 물체의 모양이 비대칭일 경우 유체의 흐름에 수직하는 양력을 받게 된다. 그림과 같은 고정익기의 날개 단면을 익형(翼型)이라고 하는데, 익형으로 된 날개는 항력보다 훨씬 큰 양력을 발생시킨다. 물체의 모양이 익형이 아니더라도 양력이 발생하지만, 발생한 양력에 비해 항력이 훨씬 커 결국 양력의 작용은 미미한 수준에 그치게 된다. 익형은 양력의 발생을 극대화하기 위해 특별히 고안된 형태로서 양력 이외에도 추력, 항력, 중력이 작용한다. 고정익기의 날개 뿐만 아니라 헬리콥터의 로터, 범선의 돛, 요트의 바닥에 설치된 킬, 자동차 경주에 참가한 경주용 자동차에 달린 날개, 터빈의 날개 등 유체가 있는 곳이라면 어디서든 위의 네 가지 힘이 작용한다. 일반적으로 양력이라고 하면 중력을 거슬러 떠오르게 하는 힘을 뜻하지만, 유체 역학에선 유체의 흐름에 수직방향으로 작용하게 되는 힘을 양력이라고 한다. 예를 들어 고정익기의 날개에 작용하는 양력은 중력과 반대 방향에 놓이게 되지만 요트의 킬은 중력과 무관한 작용을 한다. 익형에서 발생하는 양력에 대해서는 다양한 수준의 이론으로 설명이 가능하다. 예를 들어, 익형의 윗쪽의 길이가 길고 아랫쪽은 짧기 때문에 유체가 양쪽을 같은 시간에 지나게 되면 상대적으로 경로가 긴 윗쪽의 흐름이 빨라져 압력이 낮아지므로 양력이 발생하게 된다고 설명하는 것이 대표적이다. 양력방정식을 수식으로 표현하면 다음과 같다.
여기서, 은 양력, 는 유체의 밀도, 는 유체에 대한 물체의 상대속도, 는 기준면적, 은 양력 계수를 나타낸다. 양력계수는 비행하는 물체 주위의 밀도차에 의해 발생하는 양력에 관한 무차원 계수로서 기준면적과 유체 속도에 대해 결정된다.
시간에 따라 변하는 물체의 거동을 풀기 위해서는 물체의 거동을 지배하는 수학적 표현, 즉 미분 방정식을 시간에 대해 적분해야 한다. 하지만 이러한 시간 적분은 수학의 적분공식을 이용한 이론적 방법에서는 가능하지만 수치해석(numerical analysis)에서는 불가능하다. 왜냐하면, 수치해석은 물체의 거동을 보간함수(interpolation function)를 이용하여 근사하고, 이 근사식을 수학적 표현식에 대입하여 행렬방정식으로 전환시켜 근사해(approximate solution)를 구하기 때문이다.
시간에 따라 변하는 물체의 거동을 수치해석을 통하여 구하기 위해서는 전체 시간 구간을 유한 개의 시점으로 나눈 다음, 초기값을 이용하여 각 시점에서의 물체의 거동을 순차적으로 계산해 나가야 한다. 다시 말해, n번째 시점에서의 거동값을 계산하여 알고 있다면, 이 값을 행렬 방정식에 대입하여 (n+1)번째 시점에서의 거동값을 계산한다.
이렇게 순차적으로 각 시점에서의 거동값을 계산해 나가는 수치기법을 시간적분(time integration)이라고 부르고, 수학적 표현식을 어떤 시점에 두고 계산하느냐에 따라 크게 두 가지 적분 방식, 즉 암시적 시간적분과 명시적 시간적분(explicit time integration)으로 구분된다. 암시적 시간적분은 거동의 수학적 표현식을 (n+1)번째 시점에 놓고 푼다. 그런데 (n+1) 시점에서의 값들은 미지수이기 때문에 복잡한 계산 방법을 거치고 되고, 그 결과 시간적분을 위해 소모되는 시간이 명시적 시간적분보다 길다는 단점이 있다.
하지만, 시간에 따른 물체 거동의 안정적인 응답을 구할 수 있어 해석결과의 정확도가 상대적으로 높고, 요소 크기(element size)나 시간 간격(time step)에 대한 제약조건이 없다는 장점을 지니고 있다. 따라서, 풀고자 하는 해석 문제의 크기가 그다지 크지 않은 경우라면, 암시적 시간적분을 사용하는 것이 유리하다.
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한 부품의 기하학적인 형상은 목표로 하는 기능을 포함한 여러가지 조건들에 의해 매우 간단한 형상에서부터 매우 복잡한 형상에 이르기 까지 매우 다양하다. 그리고 한 부품의 설계 형상은 도면으로 끝나는 것이 아니라 실제로 제작되어야 하기 때문에 복잡한 형상이라고 하더라고 기본적인 형상들의 조합으로 설계하는 것이 유리하다. 특히 컴퓨터를 활용한 설계 및 제작이 보편화 되어 있는 현대에서는 일일이 물체 각 지점의 기하학적 좌표값을 입력하기 보다는 기본 형상, 비-스플라인(B-spline), 너브곡면(nurve surface) 등과 같이 함수형식으로 표현되는 기하학적인 형상들을 조합하여 하나의 물체형상을 모델링하고 있다.
이러한 과정에서 한 부품의 특정한 영역에서는 폭과 길이의 비, 즉 형상 종횡비(geometry aspect ratio)가 큰 국부형상이 생성될 수 있는데, 이와 같은 특징을 지닌 국부적인 곡면을 특별히 세장면이라고 부른다. 세장면은 제작공정 측면에서도 시간과 경비를 증가시키지만, 유한요소해석(finite element analysis)에서는 특히 문제시 된다. 그 이유는 세장면에서는 폭이나 길이가 상대적으로 매우 작기 때문에 비례적으로 많은 유한요소(finite element)가 생성되어 요소망(mesh)을 과도하게 조밀화 시키기 때문이다.
따라서 기능상 세장면을 그대로 유지할 필요가 있다고 하더라도 유한요소 해석을 위해서는 부품의 기하학적 형상을 수정하여 세장면이 나타나지 않도록 모델을 수정하여야 한다. 해석을 위해 설계모델을 그대로 사용하지 않고 국부적으로 수정해야 하는 이유가 바로 여기에 있다.
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스탬핑은 우표(stamp)를 찍어내거나 도장을 찍는다는 의미에서 유래된 용어로서, 포괄적으로 얇은 금소판재에 힘을 가해 원하는 형상으로 물체를 연수적으로 변형시키는 작업을 지칭한다. 스탬핑 성형은 얇은 금속판을 특수한 금속성형(metal forming) 장비를 이용하여 원하는 형상의 제품으로 찍어내는 성형기술을 의미한다. 스탬핑 성형은 자동차를 비롯하여 우리 생활과 밀접한 제품을 만들기 위해 많이 사용되고 있다.
이 성형기술은 금속판의 고유한 연성(ductility)과 굽힘강성(bending strength)을 이용하여 금속판에 영구적인 변형을 일으켜 원하는 형상을 유지하도록 하는 것이다. 이 기술은 금속판을 구부리는 작업이 대부분을 차지하기 때문에 구부린 후, 금속판의 탄성(elasticity)에 의해 원래 형상으로 복원하려는 스프링 백(spring-back) 특성을 제품 설계시 미리 고려해야 한다. 다시 말해 원하는 제품 형상을 정확한 치수로 성형하기 위해 이 거동을 미리 예측하여 성형장치를 설계하여야 한다.
스탬핑 성형은 최근 많이 사용되고 있는 유한요소해석(finite element analysis)을 활용하여 시뮬레이션 할 수 있고, 이를 통해 금속판을 찍어 누른 후 발생하는 스프링백 량을 정확히 예측할 수 있다.
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오차(error)란 정확한 답과 정확하지 않은 근사해(approximate solution)와의 차이를 의미한다. 그런데 정확한 답과 근사해와의 단순한 수치적 차이는 하중이나 물체크기 등에 따라 변하는 절대적인 개념의 오차이다. 예를 들어 한쪽 끝 단이 고정되어 있는 외팔보의 다른 끝 단에 수직 집중하중이 작용하는 경우를 생각해 보자. 힘이 작용하는 끝 단에서의 수직변위에 대한 오차는 정확한 변위 값과 근사적으로 계산한 변위 값의 차이이다.
하지만 힘을 받는 끝 단에서의 변위는 하중, 외팔보의 길이 그리고 외팔보의 물성치에 따라 그 크기가 변하기 때문에 정확한 값과 근사해와의 차이도 이러한 조건들에 따라 달라지게 된다. 일례로, 하중이 1일 때 정확한 변위 값이 0.005이고 근사적으로 계산한 변위 값이 0.004였다면 하중을 10으로 하여 계산하면 정확한 변위 값은 0.05 그리고 근사적인 변위 값은 0.04가 될 것이다. 따라서, 하중이 1일 경우 절대적인 오차는 0.001이고 하중이 10일 경우에서의 절대적인 오차는 0.01이 된다.
따라서 하중이 10일 경우가 오차가 더 크다고 잘못 판단할 수가 있다. 하지만, 두 경우에 있어 오차 크기의 차이는 근사해를 구하는 수치해석(numerical analysis) 조건이 달라졌기 때문이 아니라, 단순히 하중의 크기가 달라졌기 때문이다. 하지만 두 경우에 있어 근사해를 구하는 조건이 달라지기 않았기 때문에 근사해에 대한 정확성은 동일하여야 한다. 따라서, 두 경우에 있어 절대적 개념의 오차는 오차에 대해 잘못된 판단을 내리게끔 할 수 있다.
이러한 절대적 오차의 문제점을 해결하기 위해 사용되는 것이 상대적 개념의 오차이다. 상대오차란 오차 값이 수치해석과 연관된 파라메터가 아닌 하중, 물체의 크기 그리고 물성치 등의 변화에는 영향을 받지 않도록 정의된 오차이다. 상대오차는 절대오차 (absolute error)을 물체의 총 변형률 에너지로 나눈 상대비율을 백분율(%)로 정의된다.
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1738년 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli)가 발간한 저서 《유체역학》(HYDRODYNAMICA)에서 발표한 식으로 여러 가지 제한 조건을 만족하는 이상유체(ideal fluid)에 대하여 유체의 속도, 압력과 위치에너지 사이의 관계를 나타낸 식이다.
l 제한조건: 비점성(inviscid), 비압축성(incompressible), 단열과정(No heat addition), 정상상태(steady state)
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베르누이 원리(Bernoulli’s principle): 유체가 흐를 때 빠르게 흐르면 압력이 감소하고, 느리게 흐르면 압력이 증가함
정압(static pressure) + 동압(dynamic pressure) + 위치에너지(potential energy) = 일정
스플라인(spline)은 일차원 혹은 다차원 Data를 보간(interpolation) 혹은 곡선 맞춤(curve fitting)을 위해 사용되는 광범위한 종류의 함수들을 일컫는다. 수학적으로는 구간별로 정의된 미분 가능한 다항함수(polynomial)들로 연결된 하나의 특별한 함수를 의미한다. 스플라인이라는 용어는 선체의 곡면 작업을 위하여 사용되는 특수한 도구의 이름으로부터 명명되었다. 그 중에서도 비-스플라인은 주어진 곡선의 자유도(degree of freedom), 매끈한 정도(smoothness) 그리고 구간 분할(domain partition)에 대하여 최소 한도로 정의되는 스플라인이다. 따라서, 어떠한 스플라인 함수라도 비-스플라인 함수들의 선형조합(linear combination)으로 표현이 가능하다.
비-스플라인이라는 이름은 쇼엔버그(Schoenberg)에 의하여 지어졌으며, 모든 스플라인 함수들을 표현할 수 있는 기저 스플라인에 해당될뿐더러 베지어 곡선(Bezier curve)의 일반형으로 생각할 수 있다. 비-스플라인 곡선은 제어점(control point)과 기저 비-스플라인 함수(basis B-spline function)들의 선형조합으로 표현되며, 기저가 되는 비-스플라인 함수들의 차수에 따라 그 차수가 결정된다. 참고로 기저가 되는 비-스플라인 함수들의 차수가 모두 동일한 경우를 특히 균일 차수(uniform order) 비-스플라인이라고 부른다.
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시간에 따라 변하는 물체의 거동을 수치해석을 통해 구하는 경우, 시간 구간을 다수의 시점으로 나누어 각 시점에 해당하는 거동값을 순차적으로 계산하는 시간적분 기법의 하나이다. 각 시점에서의 물체의 거동은 주어진 초기조건(initial condition)을 이용하여 다음 시점에서의 거동값을 계산하고, 계산된 값을 이용하여 그 다음 시점에서의 거동값을 계산하는 방식으로 순차적으로 구해진다. 이렇게 순차적으로 시간에 다른 물체의 거동을 계산하는 것을 시간적분(time integration)이라고 부른다.
시간에 따라 변하는 물체의 거동을 표현하는 수학식에는 시간에 따른 변화율이 포함되어 있기 때문에, 그 해답을 구하기 위해서는 이론적으로 시간에 대해 적분을 수행하여야 한다. 이러한 맥락에서 시간적분이라는 단어를 사용하게 되었다. 명시적 시간적분은 다음 시점에서의 거동값을 계산하기 위해 거동에 대한 수학적 표현식을 이전 시점인 현 시점에 놓고 푸는 방법이다. 현 시점에서의 거동값은 이미 계산되어 아는 값이기 때문에 암시적 시간적분(implicit time integration)보다 계산과정이 매우 간단하다.
이 시간적분은 물체의 관성력과 관련이 있는 질량행렬(mass matrix)의 행렬 대각화(matric diagonalization)와 병행하여 사용되는 것이 일반적이다. 왜냐하면 거대한 크기의 행렬방정식을 푸는데 걸리는 시간을 현저하게 줄여주기 때문이다. 다라서 암시적 시간적분에 비해 계산시간이 단축되기 때문에 대형 해석문제를 푸는데 적합하고, 최근 해석문제의 대형화에 따라 거위 대부분 시간적분은 이 기법으로 처리되고 있다.
하지만 이 기법은 요소 크기(element size)와 시간 간격(time step)이 코란트 조건(Corant condition)이라는 특정한 조건식을 만족하지 않으면 해석결과가 수렴(converge)하지 않거나, 정확도가 낮은 해석결과를 제공하는 취약점이 있다.
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지진이 발생하게 되면 지진파가 구조물에 과도한 동적변형(dynamic deformation)을 유발시켜 구조물을 파괴에 이르게 한다. 또한 현수교의 경우에 있어서도 과도한 풍하중은 종종 현수교의 구조적 파괴를 야기하기도 한다. 이것은 지진이나 바람이 지니고 있는 에너지가 지진파 혹은 풍하중을 통하여 구조물이나 현수교에 전달되어 구조적인 파괴로 소모되기 때문이다.
이러한 에너지 전달과정은 마치 전선을 타고 이송되는 전기에너지가 각종 전기제품을 작동시키는 원리와 같다. 지진파나 풍하중과 같은 동하중은 시간에 따라 그 크기가 다르기 때문에 전달되는 에너지 역시 시간에 따라 다르다. 단위 사간당 에너지를 일률 혹은 파워(power)로 정의하며, 외란이 지속되는 시간동안 전달되는 에너지를 모든 합하게 되면 외란을 통해 전달되는 총 에너지를 구할 수 있다.
에너지 스펙트럼 밀도란 시간 함수로 표현되는 에너지를 퓨리에 변환(Fourier transform)을 통해 주파수 함수로 변환하였을 경우, 각 주파수 별 에너지의 크기를 나타낸다. 다시 말해 지진파를 통해 전달되는 시간함수의 에너지를 주파수 함수로 변환하였을 경우, 주파수 함수로 표현된 에너지 분포를 의미한다. 밀도라는 용어가 의미하듯이 각 주파수 별 에너지 값을 모든 주파수에 대하여 합산을 하게 되면 외란을 통해 전달되는 총 에너지를 구할 수 있다. 에너지 스펙트럼 밀도는 전자기, 음향학, 구조진동 등과 같이 외란에 의한 물체의 거동을 다루는 공학분야에서 많이 사용되고 있다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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