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임의 자연현상을 유한요소해석(finite element analysis)과 같은 시뮬레이션을 통하여 해답을 구하게 되면 이 해답은 정담이 아니라 근사해(approximate solution)이다. 따라서 반드시 정답과의 차이, 즉 오차(error)가 발생하게 된다.
이 오차를 줄이기 위해서는 문제 영역을 세분화 시킨 유한요소(finite element)의 개수를 증가시키거나 보간함수(interpolation function)의 차수를 증가시켜야 한다. 해가 특이성(singularity)을 나타내는 영역에는 전자가 효과적이며, 그렇지 않고 해가 완만한 변화를 보이는 영역에는 후자자 효과적인 것으로 알려져 있다.
대부분의 경우, 목표로 하는 정확도를 가지는 근사해를 구하기 위해 필요한 요소의 개수나 기저함수(basis function)의 차수는 해석결과를 구하기 전에는 알 수 없다. 따라서 해석을 수행하기 전에 문제영역 전체를 동일한 보간함수 차수를 가진 유한요소들로 균일하게 세분화 한다. 그런 다음 필요에 따라 오차평가(error estimate)를 수행하고 이 오차정보에 따라 필요한 영역에 유한요소 개수를 증가시키거나 기저함수의 차수를 높이게 된다.
이렇게 근사해의 정확도를 향상시키기 위하여 유한요소의 개수를 증가시키는 것을 요소망 세밀화라고 부른다. 참고로 일정한 크기의 문제 영역 내에 유한요소의 개수를 증가시킨다는 것은 결국 유한요소의 크기를 줄이는 것이다. 요소망 세밀화는 문제 영역 전체에 걸쳐 수행할 수도 있고, 오차가 높은 국부 영역에만 한정하여 수행할 수도 있다. 하지만 효율성 측면에서 후자의 방식이 일반적으로 사용되고 있다.
다른 한편, 초기 적용한 요소망이 너무 조밀하여 유한요소의 개수를 감소시키는 경우도 있는데, 이러한 경우를 요소망 비세밀화(mesh unrefinement)라고 부른다.
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특정한 공간이나 시간 영역내 각 지점에서의 값들을 연결하면 하나의 선, 곡선 혹은 곡면이 된다. 이와 같이 특정한 구간 내 각 점에서 값들을 이용하여 연속적인 함수를 구하는 것을 보간(interpolation)이라 하고 이렇게 구한 함수를 보간함수(interpolation function)라고 부른다. 이와는 달리 특정한 구간 내에 존재하는 각 지점에서의 값들을 이용하여 이 구간 바깥에 존재하는 특정 지점까지 연속된 함수를 구하는 것을 외삽이라고 하고 이렇게 구한 함수를 외삽함수(extrapolation function)라고 부른다.
보간이나 외삽은 서로 떨어져 있는 점들에서의 값, 다시 말해 데이터(data)를 연속적인 함수로 표현한다는 점에서는 공통점을 지니고 있다. 하지만 함수로 나타내어야 할 DATA가 존재하는 영역 내부에 한정되어 있느냐 그렇지 않느냐에 따라 뚜렷한 차이점을 나타낸다. 보간이나 외삽은 실험으로 구한 각종 DATA를 연속적인 함수로 변환하고자 할 경우 주로 사용된다.
유한요소 해석(finite element analysis)에서 화면상에 출력되는 변형, 변형률(strain) 및 응력(stress)의 칼라 분포도 역시 요소망(mesh) 내 각 절점(node)에서의 값들을 보간 혹은 외삽하여 연속적인 분포로 보여주는 것이다. 보간이나 외삽을 위해서는 각 점에서의 값들을 직선으로 연결하는 가장 단순한 방법에서부터 최소자승법(least square method)에 이르기 까지 다양한 방법들이 사용되고 있다.
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물체가 외부로부터 힘을 받을 때 저항하려는 물체 내부의 단위면적당의 힘인 응력은 물체 내부의 각 위치에 따라 변한다. 또한 한 지점에 있어서도 응력 값은 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 변한다. 이 것은 응력이 크기뿐만 아니라 방향을 가지는 힘을 단위면적으로 나눈 값으로 정의되기 때문이다.
3차원의 경우, 세 축 방향으로의 수직응력(normal stress)과 서로 다른 두 축 사이의 전단응력(shear stress)의 6개로 총 9개의 응력성분이 존재한다. 수직응력 3개의 합을 제 1 응력 불변량이라고 부르며, 순수하게 물체를 압축 혹은 팽창시키는 역할을 한다. 이 외에 제 2 그리고 제 3 응력 불변량이라고 불리는 것들이 있는데, 이 것들은 물체의 영구변형(즉 소성변형(plastic deformation))을 판단하는데 주로 사용된다. 이 세 개의 값들은 설정한 좌표축의 방향과는 무관하게 물체 내 각 지점에서는 항상 일정한 값을 가지기 때문에 특별히 응력 불변량이라고 부른다.
예를 들어 물 속에 잠겨있는 공 모양의 물체가 수압을 받고 있다면, 이 물체 내부의 한 지점에서의 제 1응력 불변량은 수압과 동일하다. 그리고 이 물체는 찌그러짐이 전혀 없이 공 모양을 유지한 채 순수하게 압축만 되기 때문에 전단응력이 전혀 존재하지 않는다. 따라서 제 2 그리고 제 3 응력 불변량은 영이 되어 영구변형이 발생할 가능성은 전혀 없다. 한편, 제 1 응력 불변량은 영이고 나머지 두 응력 불변량이 존재하는 경우에는 물체가 압축되거나 팽창되지는 않고 물체형상의 찌그러짐만이 발생한다. 그 결과, 이 물체는 외부 하중의 크기에 따라 영구변형이 발생할 가능성이 높다.
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자연현상에 대한 근사적인 답을 구하는 수치해석(numerical analysis)에는 유한요소법(finite element method)이나 유한체적법(finite volume method)을 필두로 매우 다양한 방법들이 존재한다. 종류는 다르지만 모든 수치기법들의 공통된 특징은 정답과의 오차(error)를 최소화 시키고자 하는 것이다. 그런데 이러한 공통점을 지니고 있는 수치기법들이 각기 다른 유형으로 분류되는 근본적인 이유는 근사해(approximate solution)를 구하기 위해 필요한 행렬방정식을 유도하는 방식이 각기 다르기 때문이다.
앞서 예를 든 두 기법은 자연현상을 표현하는 수식, 일반적으로 미분방정식 형태의 방정식을 자연현상의 대상이 되는 기하학적 영역에 걸쳐 수치적분(numerical integration)을 취하여 행렬방정식을 유도한다. 하지만 유한차분법은 적분을 취하는 것이 아니라 기하학적 영역 내에 유한개의 점들을 생성하고 서로 이웃하는 점들 사이에서 자연현상의 위치에 따른 변화를 이용하여 비분방정식을 행렬방정식으로 전환시킨다. 기하학적 영역 안에 생성된 유한개의 점들을 격자(grid)라고 부르고 격자의 조밀도에 따라 근사해의 정확도는 증가한다.
유한차분법은 상대적으로 적용이 용이하기 때문에 학술적인 연구나 간단히 해답을 구하고자 할 경우에 매우 효과적이다. 하지만 대상이 되는 물체의 형상이 복잡해 질수록 각 좌표축 방향으로의 변화율을 정의하기가 어렵게 되기 때문에 일반화 시키기가 쉽지 않은 단점을 지니고 있다.
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나무판자에 드라이버를 이용하여 나사못을 죈다는 것은 드라이버로 나사못에 비틀림 모멘트를 가하는 것이다. 또 다른 예로는 벽에 고정되어 있는 원형 단면의 가느다란 봉의 끝 단을 임의의 기구를 이용하여 돌리고자 하면 가느다란 봉은 비틀림 모멘트를 받게 된다. 그리고 비틀림 모멘트에 의하여 물체 내부에 발생하는 응력을 특별히 비틀림 응력이라고 부른다.
비틀림 응력은 물체의 단면상에 존재하며 접선 방향으로 작용하므로 전단응력(shear stress)에 해당된다. 위의 가느다란 봉의 예에서 봉의 단면에 발생하는 비틀림 응력의 크기는 봉 단면의 중심에서는 0이 되고 중심으로부터의 반경에 비례하여 증가한다. 따라서, 비틀림 응력은 가느다란 봉 단면의 테두리에서 최대값을 가진다. 그리고 비틀림 응력의 크기는 단면의 극관성 모멘트(polar moment of inertia)에 반비례한다.
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동적인 하중을 받는 물체나 동적 시스템의 동적인 요동(진동)은 물체 혹은 동적 시스템 내부에 존재하는 감쇠(damping) 요인에 의해 그 움직임이 시간과 더불어 소멸하게 된다. 이것은 외부에서 가한 에너지가 감쇠를 통해 손실되기 때문인데, 감쇠에 의한 손실의 정도를 나타내는 지표로 손실계수가 사용되고 있다.
손실계수란 동적 하중을 받는 물체나 동적 시스템이 1주기 동안 축적할 수 있는 최대 변형률 에너지(strain energy) 중에서 감쇠에 의해 1주기 동안 소실되는 에너지 량의 상대적인 비율로 정의된다. 히스테리시스 손실(hysteresis loss)에 따른 구조감쇠(structural damping)에 있어서 감쇠의 정도는 이러한 손실계수를 이용하여 표현된다. 손실계수를 탄성계수(elastic modulus) 혹은 전단 탄성계수(shear modulus)에 곱한 값을 허수로 하여 실수값인 탄성계수 혹은 전단 탄성계수에 더한 복소 탄성계수 혹은 복소 전단 탄성계수를 도입하여 구조감쇠를 반영하고 있다.
조화가진(harmonic excitation)의 경우, 손실계수는 물체 혹은 동적 시스템이 지니고 있는 감쇠비(damping ratio)의 2배에 해당된다. 철이나 알루미늄과 같은 금속의 손실계수는
힘을 받고 있는 물체 내부 각 점에서의 응력(stress)은 항상 특정한 좌표축을 기준으로 계산되는 값이다. 그 이유는 응력은 방향과 크기를 가지는 하중의 해당 지점에서의 단위 면적당 크기로 정의되기 때문이다. 따라서 좌표축이 회전하여 좌표축의 방향이 달라지면 응력 성분들의 크기도 변한다.
예를 들어 단면적이 A인 원형단면 봉의 축 방향으로 F라는 힘이 작용하고, 봉의 축 방향을 x축으로 그리고 봉의 축과 직각인 방향을 y축으로 설정한다. 그러면 x축과 직각을 이루는 단면에 발생하는 응력 성분은 x축 방향으로의 수직응력(크기=F/A)뿐이다. 하지만 좌표축을 봉의 축과 경사지게 설정하면 x축과 수직인 단면 역시 봉의 축에 경사진 단면이 된다. 따라서, 봉의 축 방향으로의 하중 F는 경사진 단면에 수직한 성분과 평행한 성분으로 분해할 수 있다. 그 결과 경사진 단면에서는 x축 방향으로의 수직응력이 감소함과 동시에 y축 방향으로 전단응력이 추가적으로 발생하게 된다.
이와 같이 좌표축이 회전하게 되면 임의 점에서의 수직응력과 전단응력의 크기는 변한다. 그리고 회전한 좌표축을 기준으로 임의 지점에서의 응력값은 이론적으로 유도할 수 있으며, 회전하기 전 좌표축에서의 응력값과 좌표축 회전각도의 함수로 표현된다. 이 함수를 평행축을 수직응력으로 그리고 수직축을 전단응력으로 하여 평면상에 도식적으로 표현한 것을 임의 지점에서의 2차원 응력상태에 대한 모어 원도라고 부른다.
이 원도는 임의 지점에서의 x축과 y축 방향으로의 수직응력의 평균값을 중심점(원도의 평행축 상에)으로 하고 최대 전단응력을 반경으로 하는 원으로 표현된다. 이 원도를 이용하면 임의 지점에서의 응력 성분들이 좌표축이 회전함에 따라 크기가 어떻게 변하는지 한 눈에 알 수 있을뿐더러, 도해적인 방식으로 임의 회전 각도에서의 응력성분들의 크기와 응력이 최대 및 최소가 되는 방향(즉, 주 방향(principal direction)과 그 값들(즉, 주 응력(principal stress))을 쉽게 파악할 수 있다. 이 모어 원도는 3차원 응력상태에도 적용이 가능한데, 3차원의 경우에는 이 원도상에 3개의 원이 그려진다. 이 원들은 x-y, y-z 및 z-x축의 회전에 따른 해당 응력성분들의 변화를 각각 도식적으로 나타낸다.
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금속과 같은 재료가 외부로부터 하중을 받아 소성변형(plastic deformation)이라고 불리는 영구적인 변형을 일으키는 것은 금속 내 결정체들의 전이(dislocation)라 불리는 미끄러짐에 기인한다. 그런데 소성변형이 계속 진행되면 결정체의 전이는 지속적으로 증가하지 않고 둔화되는 특성을 나타낸다. 그 이유로는 이미 전이된 결정체의 추가적인 전이에 저항하려는 성질 때문이다. 그 결과 추가적인 소성변형을 발생시키려면 이전 보다 더 큰 하중이 필요하게 된다. 이러한 현상을 변형률 경화라고 부르며, 결국 재료의 강성을 증가시키는 결과를 초래한다.
변형률 경화를 가공경화(work hardening)라고도 부르며 금속판재의 굽힘, 드로잉(drawing) 가공과 같은 냉간 성형(cold forming)의 기본원리가 된다. 이러한 변형률 경화는 용융점(melting point)이 높은 재료일수록 두드러지며, 그 이유는 결정체의 전이는 용융점에 가까운 온도에서 모두 소멸되기 때문에 경화현상 역시 사라지게 되기 때문이다. 이러한 특성을 이용한 것이 풀림(annealing) 공정으로 재료를 용융점에 가까운 온도로 상승시켜 결정체의 전이를 모두 제거하여 경화된 재료를 다시 원 상태로 복원시키는 것이다.
변형률 경화를 나타내는 재료의 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)는 소성영역에서 일정한 기울기를 가지는 직선이 아니라 위로 볼록한 형상의 곡선으로 표현된다. 수학적으로는
서로 다른 재질들의 우수한 성질을 혼합함으로써 보다 우수한 성능을 지닌 재질을 만들어 낼 수 있다. 금속과 세라믹을 적층한 단열재가 대표적인 예로써, 금속의 기계적인 강성과 세라믹의 열차단성을 혼합하여, 금속의 낮은 열차단성과 세라믹의 취성(brittle)을 보완한 경우이다.
복합재는 단순히 두 가지 재료를 적층시킨 적층 복합재(laminate composite), 두 구성입자들을 분말 형태로 혼합시킨 입자 복합재(phase composite), 그리고 기본(matrix)이 되는 재료 속에 강선(steel wire)이나 섬유(fiber)를 특정한 방향으로 심은 섬유강화 복합재(fiber reinforced composite)로 분류할 수 있다.
적층 복합재는 항공기 날개나 단열재로 주로 사용되고 있으며, 콘크리트나 분말야금과 같은 소재는 입자복합재의 전형적인 예이다. 그리고 섬유강화 복합재는 고무호스나 자동차 타이어 등에서 찾아볼 수 있다. 이러한 복합재에 대한 유한요소 해석에 있어 가장 어려운 점은 비균질성(inhomogeneity)이고 이방성(anisotropy)인 복합재에 대한 재료 물성치(material property)를 입력하는 일이다.
적층 복합재의 경우에는 크게 문제가 되지 않지만 나머지 두 가지 유형에 대해서는 해석자 나름의 전문적인 기술이 요구된다. 가장 단순한 방법으로 구성재료가 차지하는 체적비에 비례하여 구성재료의 재료물성치를 선형 조합하여 균질화된 재료로 가정하는 균질화 기법(homogenization method)이 있다. 섬유강화 복합재의 경우에는 이 보다 정확도가 높은 기법들이 소개되어 있는데, 상용 유한요소해석 프로그램에서 유한요소의 특수한 형태로 제공되는 리바 요소(rebar element)가 하나의 대표적인 예가 될 수 있다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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