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보 형상의 가느다란 부재의 역학적 거동을 많은 가정을 통하여 가장 단순하게 수학적으로 표현한 오일러 보 이론(Euler beam theory)을 토대로 하는 1차원 보 요소(beam element)이다. 오일러 보 이론은 18세기 스위스의 위대한 수학자인 오일러(1707~1783)와 그의 스승 베르누이(Bernolli)에 의하여 탄생하였다.
이 이론에서는 보 형상 구조물의 처짐(deflection)은 외부에서 가한 일과 구조물 내부에 저장되는 굽힘 변형에너지는 같다는 원리로부터 유도된다. 하지만 구조물의 횡 전단 변형에너지는 무시되기 때문에 구조물의 두께가 길이에 비해 현저히 작지 않은 경우에는 정확도가 떨어지는 단점이 있다. 하지만 오일러 보 이론은 이론적인 해답을 제공하기 때문에 공학분야에서 직면하는 많은 보 구조물의 처짐량을 계산할 때 참고가 되는 해를 제공해 준다.
오일러 보 이론에서는 보의 처짐이 4차 미분방정식으로 표현되고, 이것을 유한요소(finite element)로 구현하기 위해서 한 절점이 가져야 할 자유도(degree of freedom)는 구조물의 처짐과 처짐의 기울기이다. 참고로 이 이론은 그 이후 러시아의 공학자인 티모센코(Timoshenko)에 의하여 개선되었으며, 이 개선된 보 이론을 티모센코 보(Timoshenko beam) 이론이라고 부른다.
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우리 주위에서 흔히 볼 수 있는 자연현상 그리고 물체의 거동들은 거의 대부분 하나 이상의 매질 혹은 현상들의 상호작용에 따른 결과이다. 대표적인 예를 든다면, 바다 위를 운항하는 선박의 흔들림은 바다물의 출렁임 그리고 공기흐름과 선체의 상호작용의 결과이다. 그리고 동력원으로 많이 사용되고 있는 전동기의 회전은 전기력, 전자력 그리고 열전달이 복잡하게 서로 연계되어 있다. 이러한 문제들을 연계해석(interaction analysis) 혹은 연성해석(coupled analysis) 문제라고 부른다.
이러한 문제에 있어 구하고자 하는 거동의 개수는 연계되어 있는 매질 혹은 현상들의 개수에 비례하여 증가한다. 앞에서 예를 든 선박의 경우는 선박의 동적 변위, 바다물의 유속 및 유압, 그리고 공기의 속도 및 압력이 구해야 할 거동들이다. 그리고 전동기의 경우에는 전동기의 전자력 분포, 전동기의 회전수, 전동기 내 온도분포가 거동값이 된다. 공학분야에 한정하면, 대표적인 연계해석 유형은 열-구조, 유체-구조(fluid-structure interaction), 열-전자력, 열-구조-유체 등으로 분류할 수 있다.
그리고 이러한 연계해석 문제들의 유한요소 해석에는 크게 집적법(monolithic method)과 분리법(separation method)으로 대별된다. 전자는 각 매질 혹은 현상들에 대한 수학적 표현식들을 하나의 행렬 방정식으로 전환하여 관련된 거동값들을 한꺼번에 푸는 방식이고, 후자는 각각에 대해 분리된 행렬 방정식을 만들어 지그재그 형태로 풀어 나가는 방식이다. 지그재그 형태란 A라는 행렬 방정식을 먼저 풀어 거동값을 계산하고 이 결과를 이용하여 B라는 행렬 방정식을 풀어 해답을 구하고, 이 결과를 다시 A에 대입하여 푸는 형태를 말한다.
전자의 경우는 행렬 방정식이 복잡할뿐더러 크기가 문제가 되고, 후자는 해석결과들의 복잡하고 빈번한 Data 교류가 문제시 된다. 하지만, 해석문제의 대형화와 다중 물리해석(multiphysics analysis)의 요구에 따라 후자의 방식이 보편화 되고 있는 실정이다.
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일반적인 유체역학에서는 유체가 다음과 같은 가정(assumption)을 만족한다.
l 유체를 연속 매질 (continuous medium)로 간주할 수 있다
l 분자 간의 거리보다 큰 미소(微小) 유체체적의 성질을 한 점에서 정의할 수 있다
연속체 가정이 적용될 수 있는 영역은 크누센 수로 판단할 수 있다. 크누센 수는 분자의 평균이동행로(mean free path)를 유체가 있는 계(界, system)의 특성길이로 나눈 값이다. 크누센 수가 1보다 작아야만(Kn≪1) 연속체 가정을 만족하게 된다.
, where λ: 분자자유행로(molecular mean free path), L: 계 특성길이(characteristic length of system)
오일러 방정식은 단열 비점성 유동(adiabatic & inviscid flow)에 적용 가능한 방정식이다. 나비어-스톡스 방정식에서 점성항과 전도항이 없는 경우에 해당한다. 때로는 오일러 방정식이 연속방정식과 에너지 방정식을 포함한 비점성 유동의 전체 지배 방정식을 뜻하기도 한다.
l 질량보존의 법칙: 연속방정식(continuity equation)
l 운동량보존의 법칙: 오일러 방정식(Euler equations)
l 에너지보존의 법칙: 에너지 방정식(energy equation)
유체와 구조물이 접촉하고 있는 경우 유체의 유동과 구조물의 변형(deformation)은 두 매질의 공통경계(common interface)를 통하여 상호 영향을 미친다. 이러한 유체-구조 연계해석(fluid-structure interaction analysis)에 있어 구조물은 라그랑지 기술법(Lagrange description)의 유한요소법을 그리고 유체 영역은 오일러 기술법(Euler description)의 유한체적법(finite volume method)을 주로 사용하고 있다.
그 주된 이유는 구조물은 연속체(continuum body)로써 변형의 정도가 유체에 비하여 비교가 되지 않을 정도로 작아서 변형에 따른 요소망(mesh)의 찌그러짐이 그다지 문제가 되지 않는다. 하지만, 유체는 흐름이 매우 복잡하고 혼동스럽기 때문에 라그랑지 기반의 요소망을 적용하게 되면 요소의 찌그러짐이 큰 문제로 대두된다. 따라서 유체 영역은 유체의 흐름과는 무관하게 항상 공간상에 고정된 오일러 기반의 격자를 적용하게 된다.
이와 같이 움직이는 요소망과 공간상에 고정된 격자 사이 공통경계에서, 요소망과 격자의 분포가 정확히 일치하지 않는 경우에 유체의 압력과 구조물의 변형을 서로 주고 받기 위한 연계처리기법이 바로 오일러-라그랑지 연계법이다. 이 기법은 에이엘이 연계법(ALE coupling)과는 달리 두 매질이 접촉하고 있는 공통경계의 기하학적 형상이 복잡한 경우에 매우 효과적이다.
그 이유는 구조물의 요소망과 유체의 격자 중에서 조밀한 경계면을 단순히 연계요소망(coupling mesh)로 정의하기만 하면 되기 때문이다. 이러한 장점 때문에 거의 대부분의 유체-구조 연계해석에서는 이 연계법을 적용하고 있다. 그 대표적인 경우로 자동차 타이어의 수막현상(hydroplaning) 그리고 선박의 유탄성(hydroelasticity) 해석을 들 수 있다.
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물체에 힘을 가하면 그 내부에는 힘의 크기에 상당하는 응력(stress)이 발생한다. 역학적인 측면에서 응력은 물체 변형의 정도를 나타내는 변형률(strain)의 크기와 상관관계를 맺고 있으며, 이 상관관계는 물체의 재료 물성치(material property)를 통해 표현된다.
응력이완이라 함은 물체에 힘을 가하여 그 상태를 유지하고 있더라도 물체 내부의 응력이 시간과 더불어 감소하는 거동을 의미한다. 응력이완은 소성변형(plastic deformation) 된 물체가 하중을 제거하면 탄성에 해당하는 응력성분이 제거되면서 변형량이 다소 감소하는 스프링 백(spring-back)과는 뚜렷한 차이를 나타낸다. 그리고 하중 즉 응력이 일정하게 유지되더라도 변형률이 시간과 더불어 지속적으로 증가하는 크리프 현상(creep phenomenon)과도 구별되는 거동이다.
응력이완은 고무나 콘크리트와 같이 점탄성(viscoelasticity) 혹은 점탄소성(visco-elastoplasticity)을 지니는 재료에서 발견할 수 있는 거동으로 탄성영역에서의 응력이완과 소성영역에서의 응력이완으로 구분할 수 있다. 전자의 경우는 물체 내 응력이 탄성범위에서 이완되는 반면 후자는 소성범위에서의 응력이 감소하는 거동을 일컫는다. 응력이완에 대한 수치해석은 매우 난해하기 때문에 해당 재료의 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)의 시간에 따른 변화를 실험적으로 측정하여 근사적으로 계산하는 방법이 많이 사용되고 있다. 시간함수로 표현되는 프로니 급수(Prony series)를 이용한 근사기법이 대표적인 예이다.
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연속체 가정(continuum assumption)과 뉴턴유체(Newtonian fluid) 가정을 만족하는 유체의 지배방정식은 다음과 같다.
l 미지수: 밀도(ρ), 속도(u, v, w), 압력(p), 온도(T)
l 질량보존의 법칙: 연속방정식(continuity equation)
l
운동량보존의 법칙: 나비어-스톡스 방정식(Navier-Stokes equations)
l
에너지보존의 법칙: 에너지 방정식(energy equation)
l
이상기체 법칙: 상태방정식(equation of state)
위 6개의 방정식으로 6개의 미지수(ρ, u, v, w, p, T)를 구할 수 있으며, 이 방정식들이 유체역학의 근간이 되는 지배방정식이다.
이력(two-force)이라는 용어가 암시하듯이 한 물체에 두 개의 힘만이 작용하는 부재로서, 한 물체를 서로 다른 두 지점에서 힘을 가하여 잡아 당기는 경우를 생각해 보자. 두 힘의 방향은 두 지점을 연결하는 직선의 연장선 상에 놓이게 될 것이다. 이러한 하중을 받는 부재를 공학에서 이력 부재라고 부른다.
이력 부재의 대표적인 예로는 자전거의 휠과 축을 연결하는 다수의 강선(steel wire)을 들 수 있다. 이 강선은 휠과 축으로부터 인장력 만을 받게 된다. 또한 서로 다른 부품을 연결하는 각종 링크(link)도 이력 부재의 전형적인 예이다. 이력 부재는 모멘트를 지탱하지 못하고 단지 인장 혹은 압축하중만을 지탱하기 때문에 유한요소 해석에서 일반적으로 링크 요소(link element)로 모델링 된다.
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임의 자연현상이나 물체의 거동이 특정한 선, 면 혹은 축을 중심으로 대칭이 되는 경우를 대칭문제(symmetric problem)라고 부른다. 대칭에는 완전 대칭과 유사 대칭으로 구분할 수 있다. 전자는 물체의 형상, 재질, 하중상태 및 구속조건이 완전히 대칭이 되는 경우를 말한다.
하지만, 이러한 완전 대칭 조건을 만족하지는 않지만 거의 유사하게 대칭이 되는 경우를 종종 발견할 수 있다. 예를 들어, 위에서 언급한 대칭 조건의 요구사항들 중에서 일부가 대칭성을 조금 이탈한 경우가 이에 해당된다.
재질, 하중상태 및 구속조건이 완전히 대칭을 이루지만 형상적인 측면에서 한 쪽에는 작은 구멍을 가지고 있는 반면 다른 한 쪽에는 구멍이 없는 경우를 생각해 보자. 이러한 경우, 구멍이 있는 쪽이 구조적으로 취약하다. 따라서 구멍이 없는 쪽에 동일하게 구멍이 있다고 가정하여 대칭문제로 취급하여도 무방하다. 왜냐하면, 원래 형상보다 대칭으로 가정한 형상이 구조적으로 강도가 낮기 때문에 안전율(safety) 측면에서 보다 안전한 설계에 이르게 한다.
이와 같이 우리 주위에는 유사 대칭을 나타내는 문제를 많이 발견할 수 있으며, 완전 대칭으로 가정하여 해석을 효과적으로 수행할 수 있다. 하지만 이렇게 유사 대칭을 완전 대칭으로 가정할 경우, 유념해야 할 사항은 완전 대칭으로 가정한 문제가 원래 문제보다 안전한 설계를 보장할 수 있어야 한다는 점이다.
한편, 대칭성에서 이탈한 정도가 아무리 미미 하더러도 완전 대칭으로 가정하여 풀 수 없는 문제들도 있다. 예를 들어, 완전 대칭성을 깨뜨리는 사항이 물체 거동에 지배적인 인자라고 한다면 완전 대칭으로 가정하여 풀게 되면 전혀 다른 해답에 도달할 수 있기 때문이다.
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