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오차(error)를 정성(qualitative)적으로 분석하거나 정량(quantitative)적으로 계산하는 것을 총칭하여 오차평가라고 부른다.
정성적으로 분석한다는 것은 실제 정확하지 않은 결과가 나오기 전에 적용할 해석조건(혹은 해석 파라메터)에 따라 오차가 어떻게 될 것인가를 미리 예측하는 것을 의미한다. 미리 예측한다는 의미에서 정성적인 평가를 특별히 선 오차평가(a priori error estimation)라고 부른다. 실제로 정확하지 않은 결과를 아직 구하지 않았기 때문에 정량적으로 오차를 계산할 수는 없다. 하지만 정확하지 않은 결과를 구하기 위해 적용할 조건들을 기준으로 오차의 상한과 하한 그리고 조건들에 따른 오차의 경향 등을 수학적으로 분석한다.
정량적 오차평가는 정확하지 않은 결과를 구한 다음 정확한 답과 비교하여 정량적인 오차 값을 구하는 것이다. 정확하지 않은 결과를 구한 다음 오차를 평가한다는 측면에서 이 것을 후 오차평가(a posteriori error estimation)라고 부른다. 자연 현상에 대한 정답을 구하기가 어렵기 때문에 정확한 답을 모르는 경우가 거의 대부분이다. 따라서 후 오차평가를 위해서 정답에 준하는 답을 구해내어야 한다.
유한요소 해석(finite element analysis)의 경우, 정답에 가까운 답을 구하기 위하여 몇 가지 기법들이 사용되고 있다. 한편, 오차를 계산하기 위한 기준이 필요하며 이 기준은 해석의 목적에 따라 결정된다. 예를 들어 물체의 변형(deformation), 변형률(strain) 및 응력(stress)을 계산하는 경우를 생각해 보자. 물체 내 최대 변형값의 차이를 오차로 정의할 수도 있고, 최대 응력값의 차이를 오차로 정의할 수 있다. 전자의 경우는 물체의 최대 변형이 관심이 되는 경우이고 후자는 물체의 강도가 관심이 되는 경우이다.
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오일러 수는 유체가 흐름 중에 저항의 극복과 운동에너지 전환 등으로 인한 압력 손실의 관계를 나타내는 무차원 수이다.
마찰이 존재하지 않는 유동의 경우 오일러 수는 1이며, 모든 압력 손실은 운동에너지로 변환됨을 뜻한다.
유한요소 해석(finite element analysis)에 있어서 요소망(mesh)은 시뮬레이션의 성공여부, 해석시간의 규모뿐만 아니라 해석결과의 정확도를 결정하는 중요한 요인이다. 이론적으로는 요소망을 구성하는 유한요소(finite element)의 크기가 작을수록 해석결과의 정확성은 향상된다. 하지만, 해석문제가 복잡하고 그 규모가 커지게 되면 요소크기(element size)를 무작정 줄일 수만은 없는 것이 현실이다.
다른 한편, 요소망을 생성하는 과정에서 과도하게 찌그러진 요소(distorted element)가 만들어져 시뮬레이션을 불가능하게 만드는 자코비언(Jacobian) 오류가 발생하는 경우도 종종 있다. 따라서 해석을 위해 처음 생성하였던 요소망을 최기 해석결과를 토대로 수정하거나 부분적으로 요소크기를 변경해야 할 필요성이 대두되곤 한다.
이와 같이 처음 생성하였던 요소망을 부분적으로 수정 혹은 조정하거나 요소망 전체를 재생성하는 작업 일체를 요소망 조정이라고 부른다. 예를 들어, 초기 요소망으로 해석을 수행하여 구한 결과값이 원하는 수준이 아니라면, 수치해석 오차(numerical analysis error)를 높이기 위해 요소망 내 국부 영역의 요소크기를 줄여나가는 요소망 세밀화(mesh refinement)나 시뮬레이션을 불가능하게 만드는 요소들을 보다 작은 요소들로 나누어 과도한 찌그러짐을 없애는 작업은 전형적인 요소망 조정이다. 이 외에도 비선형 해석(nonlinear analysis)이나 연계해석(coupled analysis)에서는 매 반복계산 시 마다 변형된 물체형상에 따라 요소망 전체를 재구성하는 경우도 포괄적인 의미에서 요소망 조정에 해당된다.
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강재와 같이 결정체로 이루어진 금속이 외부로부터 하중을 받아 영구적인 변형, 즉 소성변형(plastic deformation)을 일으키는 응력(stress)의 크기를 항복응력(yield stress)이라고 한다. 그리고 소성변형에 따라 금속 내부 결정체의 미끄러짐 혹은 전이(dislocation)에 의해 항복응력이 증가하는 현상을 재료의 경화(hardening)라고 부른다.
임의 물체의 항복은 한 방향으로의 응력 성분만의 크기로 결정되는 것이 아니라, 직교하는 3축 방향으로의 응력성분들의 조합에 의해 결정된다. 3차원 공간 상에서 X, Y 그리고 Z축을 설정하고 항복이 시작되는 응력의 상태를 나타내면 구(sphere) 혹은 다각형(polygon) 형상의 곡면이 된다. 그리고 이 곡면을 특별히 항복곡면(yielding surface)이라고 부른다.
물체 내 임의 지점에서의 응력상태가 이 구 혹은 다각형 내부에 속한다면 그 지점은 아직 항복이 발생하지 않은 탄성영역 내에 있다. 하지만 물체 내 어떤 지점에서의 응력상태가 이 항복곡면 외부에 속한다면 이 지점에서는 이미 항복이 시작되었다. 그런데 앞서 언급한 재료의 경화가 발생하면 이 항복곡면은 팽창하게 되에 항복응력이 증가하게 된다.
항복곡면이 팽창하는 형태는 모든 방향으로 같은 크기로 팽창하는 경우, 각 방향으로 각기 다른 크기로 팽창하는 경우, 그리고 곡면의 크기는 일정한 채 그 중심이 이동하는 경우로 구분할 수 있다. 첫 번째 경우를 등방성 경화(isotropic hardening), 두 번째 경우를 이방성 경화(anisotropic hardening), 그리고 마지막 경우를 이동성 경화라고 부른다. 그리고 이러한 경화 거동을 수학적으로 표현한 모델을 경화법칙(hardening rule)이라고 부르며, 이동 경화를 수학적으로 표현한 수식을 이동 경화법칙이라고 한다.
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외부로부터 동적인 하중(dynamic load)을 받는 물체는 시간에 따라 변화하는 동적 거동을 나타낸다. 그리고 이러한 동적 거동에 대한 해답을 찾아내는 작업을 동해석(dynamic analysis)이라고 부른다. 특히 유한요소법(finite element method)과 같은 수치해석에서는 이러한 동해석은 동적거동을 수학적으로 표현한 미분방정식을 시간적으로 적분하여 근사해(approximate solution)를 구한다.
관심이 되는 시간 영역을 유한 개의 시점으로 나누고, 각 시점에서 물체의 거동을 초기조건(initial condition)을 이용하여 순차적으로 풀어나가게 된다. 그리고 이러한 작업을 시간적분(time integration)이라고 부르는데, 이러한 수치적 적분을 통해 구한 물체의 시간응답은 정답과는 달리 예상치 않은 요동(oscillation), 불안정성(instability) 그리고 발산(divergence) 등과 같은 문제점을 나타낸다. 이러한 문제점은 수치적인 시간적분이 안고 있는 본질적인 결함으로써, 이것을 최소화 시키기 위해 여러가지 기법들이 소개되어 있다.
예를 들어, 시점과 시점 사이의 간격, 즉 시간간격(time step)의 크기나 요소크기(mesh size)를 줄이는 것이 가장 대표적인 방안이다. 특히, 물체가 지니고 있는 감쇠(damping)를 무시하고 동해석을 수행하는 경우에는 이러한 문제점이 두드러지며, 시간간격과 요소크기를 줄이는 것만으로는 문제를 해결할 수 없는 경우가 종종 발생한다. 특히 과도응답(transient response)이 지배적인 문제에서는 특히 어려움이 많다.
이와 같이 물체가 지니고 있는 감쇠를 무시한 동해석에 있어 시간응답 상의 요동, 불안정성, 발산 등을 억제하기 위해 사용되는 기법이 바로 인위적으로 감쇠를 부과하는 것이다. 이 기법은 요소망(mesh) 전체 혹은 부분적인 영역에 인위적으로 감쇠를 부여하는 것으로, 부과하게 되는 감쇠값을 결정하는 방법에는 여러가지 방법들이 소개되어 있다.
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유한요소 해석(finite element analysis)에서 수치해석 오차(numerical analysis error)를 감소시키기 위해서는 오차(error)가 많이 발생하는 국부영역에 요소망(mesh)을 조밀하게 하거나 보간함수(interpolation function)의 차수 즉 요소 차수(element order)를 높여야 한다.
이렇게 원하는 수준의 정확도를 만족하는 해석결과를 구하기 위해 요소 크기(element size) (h)와 요소 차수 (p)를 순차적으로 조정하여 유한요소 해석을 수행하는 과정을 수렴과정(converging procedure)이라고 부른다. 한편 요소 크기와 요소 차수를 오차평가(error estimate)를 활용하여 과학적으로 결정하여 유한요소 해석의 반복횟수를 최소화 시키는 기법을 적응적 유한요소해석(adaptive finite element analysis)이라고 하며, 자기 수렴기술 혹은 자기 적응기술(self-adapting technique)이라고도 부른다.
여기서 “자기(self)”라는 용어는 적응적 유한요소해석의 전 과정을 해석자의 조작없이 소프트웨어가 자체적으로 다 처리한다는 의미로 붙여졌다. 다시 말해, 해석자는 초기 요소망과 원하는 정확도의 수준만을 입력하면 소프트웨어가 자동적으로 유한요소 해석을 수행하여 오차를 계산하고, 요소 크기와 요소 차수를 조정하여 해석하는 반복과정을 거쳐 원하는 최종 해석결과를 제공해 준다.
하지만 이러한 자기 수렴기술은 현재 시중에 판매되고 있는 일반 상용 유한요소 해석 프로그램에는 아직 탑재되어 있지 않고 다만 연구단계에 있는 최신 유한요소 해석기술이다.
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유동박리는 경계층의 운동에너지가 물체에 발생하는 역압력 구배(adverse pressure gradient)를 극복하지 못하고 역류(reverse flow)가 발생하면서 흐름이 표면으로부터 떨어져 나가는 현상이다.
일반적으로 유동박리가 발생하면 항력(drag force)이 커지게 되므로 유동박리를 없애거나 지연시키는 제어기술들이 많이 연구되고 있으며, 실생활에서도 활용되고 있다.
임의의 기체가 많은 분자들로 이루어져있다고 볼 때 구성분자들이 모두 동일하며 분자의 부피가 없고 분자간의 상호작용이 없는 가상적인 기체이다. 실제 기체는 근사적으로 대개 이상 기체 법칙을 따르는데, 기체의 밀도가 0에 가깝거나 기체의 온도가 매우 높으면 이상 기체 법칙에 따르는 현상을 보인다. 밀도가 0에 가까워지면 분자의 운동시 기체 분자끼리 부딪히는 정도가 적어지고 분자 자신의 부피를 무시할 정도가 되고, 또 고온이 됨으로써 분자의 운동이 고속이 되어 분자 간의 힘이 무시할 만한 정도가 되기 때문이다. 이상기체는 임의 온도와 압력 아래에서 다음 가정들을 만족하는 가상의 기체이다.
l 입자크기에 비하여 충분히 멀리 떨어진 작은 입자들로 구성되어 있어, 입자간 상호작용이 없다.
l 입자와 용기 벽면의 충돌은 탄성충돌 한다.
l 탄성충돌 시 운동에너지 손실이 없다.
이러한 가정하에서는 기체의 상태변화를 기술하는 것이 비교적 간단하다. 이상기체는 이상기체법칙을 따르며, 이상기체법칙은 다음과 같다.
지구상의 물체는 일정한 부피를 지니고 있으며 그 내부에는 물체를 구성하는 입자(particle)들이 결정체를 이루고 있다. 그 크기가 아무리 작다고 할지라도 하나의 입자로 구성된 물체는 찾아보기 힘들다. 이와 같이 구성입자들이 조밀하게 결정체를 이루고 있는 하나의 물체를 연속체라고 정의하고 있다.
공학적인 측면에서 연속체는 몇 가지 조건들을 만족시켜야 한다. 우선, 하중을 받아 그 형상이 변할지라도 인접한 입자들은 항상 붙어있어야 하는데, 그렇지 않고 떨어지게 된다면 물체는 파괴에 도달한 것이다. 이처럼 물체가 하중을 받아 쪼개지게 되면 더 이상 연속체라고 부르지 않는다.
다음으로 연속체 내에 임의 네 점을 연결하여 사각형을 그었다고 하였을 때, 물체가 변형(deformation) 하여도 사각형 모양은 그대로 유지되어야 한다. 예를 들어, 사각형이 8자 모양과 같이 뒤틀리는 일은 발생하지 않는다는 의미이다. 연속체라는 개념은 거시적(macroscopic) 측면에서의 관점으로서, 미시적(microscopic)인 측면에서는 연속체라는 용어는 더 이상 사용할 수 없다. 왜냐하면 미시적인 측면에서는 입자 알갱이 하나 하나의 거동을 분석하는 것으로 입자 덩어리 전체의 거동을 다루는 거시적 분석과는 큰 차이가 있기 때문이다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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