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설계업무를 수행하다 보면 형상은 동일하지만 가해지는 하중조건(load condition)만 달라지는 경우가 종종 있다. 다시 말해, 하나의 대상 물체에 있어 물체에 작용하는 하중이 달라짐에 따라 물체의 거동이 어떻게 변화하는지가 관심사가 되는 경우가 종종 발생한다.
고층건물이 자중에 의해 얼마나 변형(deformation)하는지, 지진에 의해서는 얼마나 변형하는지, 그리고 자중과 지진파를 동시에 고려하였을 경우에는 또 변형이 어떻게 되는지를 각각 계산하여 그 결과를 비교하고자 하는 경우를 예를 들어 보자. 이러한 경우, 물체의 기하학적 형상, 재료 물성치(material property), 요소망(mesh) 그리고 변위 구속조건(displacement boundary condition)은 동일하지만, 하중조건만 달라지게 된다. 이러한 해석문제를 효과적으로 수행하기 위한 방법으로 다중 해석(multi-analysis)이라는 수치기법이 있으며, 거의 대부분의 상용 유한요소 해석 프로그램에서 이 기능을 지원하고 있다.
이 기법에서는 하중조건을 설정하는 것 이외에는 하나의 해석문제를 취급하는 일반 유한요소 해석과 그 절차와 방법이 동일하다. 하지만 다루고자 하는 각각의 하중조건을 각기 하나의 하중 케이스(load case)로 설정하여 여러 하중 케이스를 준비해야 한다. 그리고 각각의 하중 케이스를 불러들여 유한요소 해석을 각각 수행하기만 하면 원하는 여러 하중 조건에 대한 물체의 거동을 빠른 시간 내에 효과적으로 구할 수 있다. 이와 같이 각기 독립적으로 설정된 여러 하중 케이스들을 특별히 다중 하중 케이스라고 부른다.
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우리 주위에서 흔히 볼 수 있는 물체의 거동은 물체 내 위치에 따라 그 거동이 변할 뿐만 아니라 시간과 더불어 변하는 경우가 많다. 시간과 무관하게 물체 내 공간상의 위치에 따른 거동을 분석하는 경우를 경계치 문제, 그리고 물체 내 일정한 지점에서 시간에 따라 변하는 물체의 거동을 분석하는 것을 초기치 문제(initial value problem)로 구분하고 있다. 하지만 자연계 대부분의 현상은 그 거동이 공간상의 위치뿐만 아니라 동시에 시간에 따라서도 변하기 때문에 경계치-초기치 문제(boundary and initial value problem)로 볼 수 있다.
예를 들어, 고층건물이 자체 무게에 의해 얼마나 큰 응력(stress)이 내부에 발생하는가 하는 문제는 경계치 문제에 해당되고, 고층건물 내 특정한 부위가 지진파에 따라 시간적으로 어떻게 거동할 것인가는 초기치 문제에 해당된다. 그리고 지진파에 따라 고층건물 전체의 변형이나 응력이 시간과 더불어 어떠한 변동을 나타내는가 하는 문제는 경계치-초기치 문제에 해당된다. 시간과 무관하게 물체 내 위치에 따른 거동을 분석하는 것을 경계치 문제라고 부르는 이유는, 물체 내 거동이 물체의 경계, 즉 외부와 직접 접하고 있는 물체의 표면에 가해지는 각종 구속조건과 경계조건(총칭하여 경계조건(boundary condition)이라 부름)에 의해 절대적으로 좌우되기 때문이다. 예를 들어 한 쪽 끝 단이 벽에 고정되어 있는 가느다란 나무막대를 생각해 보자. 다른 쪽 끝 단에 수직하중을 가하는 경우와 다른 한 쪽 끝 단도 동시에 지지하면서 막대의 가운데에 수직하중을 가하는 두 경우에 있어서 막대가 변형(deformation)되는 모양은 판이하게 다르다.
이처럼 경계치 문제에 해당되는 물체의 거동은 경계조건에 주도적인 영향을 받는다. 따라서, 이러한 문제를 유한요소 해석(finite element analysis)으로 풀고자 할 경우, 해석결과의 신뢰성은 경계조건을 얼마나 정확하게 반영하느냐에 달려있다고 하여도 과언은 아니다.
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코일 스프링을 길이 방향으로 잡아당기거나 누르면 길이가 늘어나거나 줄어든다. 늘어나거나 줄어드는 길이는 스프링의 강한 정도, 즉 강성(stiffness) 혹은 스프링 상수(spring constant)에 반비례하고 스프링에 가한 하중(load)에 비례한다. 임의 3차원 물체는 이러한 스프링이 무수히 많이 빽빽하게 차여있는 물체라고 생각할 수 있다. 따라서 임의 물체가 외부로부터 힘을 받아 늘어나거나 줄어드는 길이, 즉 변형은 외력의 크기에 비례하고 물체의 강성에 반비례한다.
물체의 변형이 외력 및 강성에 비례적인 관계를 보이는 경우를 선형(linear)이라고 말한다. 선형적인 정적 거동(static behavior)을 나타내는 물체에 유한요소법(finite element method)을 적용하면 [K]{u}={F}라는 행렬방정식을 푸는 수치해석 문제로 변환된다. 여기서 행렬 [K]를 강성행렬, 행렬 {F}를 하중벡터(load vector), 그리고 행렬 {u}는 구하고자 하는 미지수, 즉 물체의 근사적인 변형 값이다.
행렬의 이름을 이처럼 부르게 된 것은 위에서 설명한 코일 스프링의 역학적 거동에서 유래되었다. 코일 스프링과 마찬가지로 강성행렬은 물체의 강한 정도를 나타내며, 물체의 재질, 두께 및 구조에 따라 결정된다. 강성행렬은 요소망(mesh) 내 각 유한요소 별로 계산하여 모두 합하는 방식으로 계산되며, 각 유한요소 별 강성행렬을 특별히 요소 강성행렬(element stiffness matrix)이라고 부른다.
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힘의 특수한 경우로서, 물체의 변형에 따라 그 방향이 변하는 힘을 의미한다.
왼 쪽 끝단이 벽에 고정되어 있는 가느다란 나무판자를 예를 들어 비교해 보자. 오른 쪽 끝단에 물체를 올려 놓으면 나무판이 변형되어 오른 쪽 끝단이 아래로 기울어 지더라도 물체의 자중은 변함없이 정확히 아랫 방향을 향한다. 따라서 이 경우에 있어 물체의 자중은 종동력이 아니다. 하지만 우측 끝 단을 손가락 끝으로 수직으로 힘을 가한다면 판자가 기울어지더라도 손가락은 판자와 수직이 되어야 하므로 손가락이 누르는 힘의 방향은 변하게 된다. 따라서 이 경우가 종동력에 해당된다.
종동력은 비선형성(nonlinearity)을 나타낸다. 왜냐하면, 힘의 방향은 물체의 변형에 의해 결정되기 때문이고, 이 물체의 변형은 다시 힘에 의해 결정되기 때문이다. 다시 말해, 물체의 변형을 계산하기 위해 필요한 하중의 방향이 아직 구하지 않은 물체 변형의 함수로 표현된다. 하지만 하중 방향의 변화가 그다지 심하지 않은 경우에는 비선형 해석(nonlinear analysis)을 피하기 위하여, 방향 변화를 무시하고 선형해석(linear analysis)으로 단순화 시키는 것이 일반적이다.
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사각형 단면의 한 모서리를 축으로 하여 360도 회전시키면 원통 형상의 물체가 된다. 또한 반원 형상의 단면을 360도 회전시키면 공모양의 물체가 만들어 진다. 이렇게 어떠한 단면 형상을 360도 회전하여 정의되는 물체를 회전체라고 부른다.
회전체는 임의 단면을 특정 축을 중심으로 회전하여 만들어 진 것이기 때문에 기하학적 형상이 원주를 따라 동일하다. 만일 이 회전체가 동일한 재질로 만들어진 등방성(homogeneity) 물질이고, 또한 하중과 구속 경계조건(boundary condition)이 원주방향으로 동일하다면 이 물체의 거동 역시 원주방향으로 일정하다. 이러한 특수한 대칭성을 축대칭(axisymmetry)이라고 부른다.
예를 들어 따뜻한 커피가 담겨있는 종이컵을 생각해 보자. 종이컵의 모양과 재질 그리고 담겨있는 커피의 온도나 커피에 의해 종이컵에 미치는 압력은 원주방향으로 일정하다. 따라서 종이컵의 온도분포, 늘어난 양과 같은 종이컵의 모든 물리적 거동 역시 원주방향으로 일정하다.
따라서 이러한 축대칭 거동은 물체 전체를 대상으로 분석할 필요 없이, 회전체의 기초가 되는 2차원 단면만을 고려하면 매우 효과적이다. 축대칭 거동을 나타내는 물체의 역학적 분석을 위해 2차원 단면만을 수치해석(numerical analysis) 모델로 생성한 것을 특별히 축대칭 모델이라고 부른다. 그리고 이렇게 2차원 축대칭 모델을 이용하여 수치적으로 해석하는 작업을 축대칭 해석(axisymmetric analysis)이라고 부른다.
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응력(stress)은 외부 하중에 대한 물체의 내부 저항력으로써 물체 단위 면적당 저항력으로 정의된다. 그리고 하중이 크기뿐만 아니라 방향을 가지고 있기 때문에 응력 역시 방향별로 성분을 지니고 있다. 물체의 임의 한 단면에 한정하면 응력은 면에 수직인 수직응력(normal stress)과 면에 평행한 전단응력(shear stress)으로 구성된다. 3차원 물체 내 임의 한 지점을 미소 체적의 육면체로 생각할 경우, 각 면에 하나의 수직응력과 두 개의 전단응력을 지니고 있다.
이와 같은 3차원 물체 내 응력성분들은 크게 정수압(hydrostatic pressure)과 편차응력의 합으로 표현된다. 전자는 물체의 형상은 변화시키지 않으면서 물체의 체적을 증감시키는 역할을 한다. 예를 들어, 물 속에 잠겨있는 물체는 수압을 받게 되고 그 결과 물체의 전체 체적이 감소한다. 이 경우, 물체의 형상은 변화지 않기 때문에 물체 내부에는 동수압에 해당하는 응력 성분들만 존재하고, 전단응력에 해당하는 편차응력은 전혀 발생하지 않는다. 그리고 물체 내부에 발생하는 세 방향으로의 수직응력을 합하여 3으로 나누면 정확히 수압과 일치한다. 이러한 맥락에서 응력 성분들 중에서 세 방향으로의 수직응력을 합하여 3으로 나눈 값을 동수압이라고 부른다.
편차응력은 물체 내 임의 지점에서의 응력 성분들에 동수압 성분을 뺀 나머지로 정의된다. 편차응력은 물체의 체적 변화에는 영향을 미치지 않고 물체를 형상을 찌그러지게 하는 역할을 하며, 그 결과 소성변형(plastic deformation)을 야기한다. 편차응력은 소성변형 해석에 사용되며, 세 개의 불변량을 가지고 있는 데, 각각 J1, J2 그리고 J3로 불린다. 이들은 물체 내 임의 지점에서 좌표축의 방향과는 무관하게 항상 일정한 값을 지니며, 항복여부를 판단하는 항복조건(yield criterion)의 매개변수로 사용된다.
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물체의 외곽 전체를 경계라고 부르는데, 1차원 물체의 경우에는 물체의 양 끝점이 경계에 해당된다. 2차원 물체의 경우에는 물체의 외곽 테두리 곡선 전체 그리고 3차원의 경우에는 물체의 외곽 곡면 전체가 경계에 해당된다. 모든 물체는 3차원 형상으로 되어 있기 때문에 여기서 1차원 혹은 2차원 물체라고 말하는 것은 3차원 형상을 1차원의 직선 혹은 2차원의 평면으로 가정한 간략화 된 형상을 의미한다.
지구상의 모든 물체는 그 경계에서 어떠한 형태의 매질(고체, 액체, 기체 혹은 진공)일지라도 다른 물체들과 항상 접촉하고 있다. 따라서 임의 한 물체는 경계를 통해 외부 다른 물체들로부터 힘, 모멘트, 열 등과 같은 다양한 형태의 영향을 받는다. 외부와 접촉하고 있는 임의 한 물체의 거동을 파악하기 위하여 이 물체를 외부와 분리시킬 경우, 외부로부터 받는 영향들은 경계조건으로 물체에 반영되어야 한다.
동일한 형상과 재질로 된 물체일지라도 그 거동은 경계조건에 따라 현저히 달라지기 때문에 경계조건은 대단히 중요한 역할을 한다. 외부로부터 받은 영향들 중에서 어떤 것들이 경계조건으로 포함되어야 할 것인가는 파악하고자 하는 물체의 거동이 어떤 유형인가에 따라 결정된다. 만약 물체의 온도변화에 관심이 있다면 온도변화에 영향을 미치는 외부 물체의 온도와 외부로부터의 열 유입이 경계조건으로 포함되어야 한다.
어떠한 형태의 경계조건이라고 하더라도 모든 경계조건은 크게 변위경계조건(displacement boundary condition)과 하중경계조건(traction boundary condition)으로 구분된다. 여기서 변위와 하중이란 용어는 비단 구조물의 변위와 힘만을 의미하는 것이 아니고 상징적인 의미를 지닌다. 예를 들어, 열전달 문제에서 변위는 온도에 해당되고 하중은 열 흐름에 해당된다.
마지막으로 중요한 사항은 경계의 모든 부분에는 반드시 변위 혹은 하중 경계조건이 부여되어야 하며, 조건값이 0인 경우도 경계조건이란 점을 잊어서는 안 된다. 그리고 변위 조건이 부여되면 그 경계지점에서의 하중값은 미지수가 되고, 반대로 하중조건이 부여되면 그 경계 지점에서의 변위값은 미지수가 된다. > 경계조건 더 자세히 보기🔎
뉴튼은 16세기 후반부터 17세기 초반까지 영국에서 활동한 세계적인 물리학자로서, 뉴튼역학이라 불리는 고전역학(classical mechanics)을 창시하였다. 사과나무 아래에서 사과가 아래로 떨어지는 현상으로부터 두 물체 사이에는 서로 잡아당기는 힘이 존재한다는 만유인력을 발견한 것은 너무나도 잘 알려져 있는 사실이다. 뉴튼의 법칙은 세 가지로 구성되어 있다.
제 1법칙은 관성의 법칙으로서, 정지하고 있거나 일정한 속도로 움직이는 물체는 그 운동상태를 계속 유지하고자 한다는 것이다. 제 2법칙은 가속도의 법칙으로서, 물체가 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 물체는 힘 혹은 모멘트 방향으로 가속 병진운동(translation motion) 혹은 가속 회전운동(rotational motion)을 한다는 것이다. 제 3법칙은 서로 접촉하고 있는 두 물체는 공통 접촉면에서 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 서로 주고 받는다는 것이다. 이러한 상호작용을 작용·반작용이라고 부른다.
이 중에서 제 2법칙은 뉴튼법칙의 핵심에 해당되며, 물체의 거동을 정적인 것과 동적인 것으로 구분하는 기준이 된다. 즉, 물체에 작용하는 모든 힘 혹은 모멘트의 합이 0인 경우에는 물체는 정지상태에 있거나 일정한 속도로 운동해야 한다. 대부분의 물체는 초기에 정지상태에 있기 때문에 정지상태를 유지해야 하고, 이러한 물체의 거동을 분석하는 것을 특별히
캔 음료수, 항공기 날개 그리고 올림픽 경기장의 지붕 등은 대표적인 쉘 구조물(shell-like structure)이다. 쉘 구조물의 기하학적 특징은 평판(plate-like structure)과 달리 유한한 곡률반경(radius of curvature)을 가진 곡면으로 되어 있다는 점이다. 예를 들어, 음료수의 캔은 수직방향으로는 곡률반경이 무한대인 직선형상이지만 원주방향으로는 유한한 반경을 가진 곡면으로 되어 있다.
쉘 구조물의 또 다른 주요한 특징은 두께가 구조물 전체 크기에 비해 상대적으로 매우 얇은 박판 구조물(thin-walled structure)로서, 변형(deformation), 변형률(strain) 및 응력(stress) 이 두께방향으로 극히 미소한 변화를 나타낸다. 이러한 특성 때문에 구조물의 변형을 두께방향으로 일정하거나 아니면 직선으로 변한다고 가정하여도 큰 문제가 되지 않는다. 쉘 구조물의 두께 방향으로의 변형은 미리 가정되었기 때문에 구조물의 중립면(neutral surface)에서의 변형만 구하게 되면 구조물 전체의 변형은 자연스럽게 계산되어진다.
쉘 요소라 함은 쉘 구조물의 이러한 특성을 이용하여 중립면을 작은 영역으로 세분화시킨 하나 하나를 지칭한다. 따라서 쉘 요소는 2차원 유한요소(finite element)이다. 쉘 요소의 각 절점(node)에서는 3 방향으로의 병진 자유도(translation degree of freedom)과 2 개의 회전 자유도(rotation degree of freedom)을 가지고 있다. 그리고 쉘 요소에서는 두께 방향으로의 변형률과 응력 성분들은 모두 0의 값을 나타낸다.
다시 말해 쉘 구조물은 거의 대부분 평면응력 상태(plane stress state)로 가정되고, 쉘 요소로 구한 변형은 이러한 가정을 만족하도록 정의되어 있다. 한편, 평판 요소(plate element)는 곡률반경이 무한대인 쉘 요소의 특수한 요소 유형이다.
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