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한 물체의 기하학적 영역을 유한 개의 세부 영역들로 분할할 경우, 각 세부 영역 하나 하나를 유한요소(finite element)라고 부른다. 좁은 의미에서의 요소망은 이렇게 한 물체의 기하학적 영역을 유한개의 요소로 분할한 것 자체를 의미한다. 하지만 보다 정확한 의미에서의 요소망은 유한요소, 요소번호(element number), 절점(node) 및 절점번호로 구성된 하나의 유기적인 요소들의 네트워크(network)를 지칭한다.
요소망 내의 요소들은 1부터 순차적으로 번호가 부여되는데 이 번호를 요소번호라고 부른다. 요소번호는 각 요소를 구별하기 위해 필요한 일종의 명칭이다.
절점은 구하고자 하는 물체의 거동을 표현하기 위해 필요한 자유도(degree of freedom)가 부여되는 요소 상의 점을 의미한다. 절점의 위치는 요소의 모양과 종류에 따라 다양하다. 절점이 부여될 수 있는 요소상의 위치는 1차원 선요소(line element)에서는 요소의 양끝점과 선 요소의 내부에 존재하는 점, 2차원 삼각형 및 사각형 요소에서는 요소의 꼭지점(vertex), 모서리(edge)및 요소 내부에 위치하는 점이다. 3차원 요소들에 있어서는 꼭지점(vertex), 모서리(edge), 면(surface) 및 요소 내부의 점이다.
요소와 마찬가지로 한 요소망 내에 정의된 모든 절점들도 1부터 순차적으로 번호를 부여해야 한다. 각 절점에 부여된 번호를 절점번호라고 부른다. 절점번호는 그 절점의 기하학적 위치, 자유도 등의 정보를 관리하기 위해 필요하다.
물체에 작용하는 힘은 크게 체적력과 표면력(surface force)으로 구분할 수 있다. 전자는 물체 전 영역에 걸쳐 분포하는 하중인 반면, 후자는 물체의 표면 전체 혹은 일부에 작용하는 하중이다. 체적력으로는 지구 중력에 의한 자중(self weight), 회전 운동에 따른 원심력(centrifugal force)을 예로 들 수 있으며, 표면력으로는 접하고 있는 다른 물체와의 접촉에 의한 반력과 마찰력을 예로 들 수 있다.
체적력과 표면력은 하중에만 한정되지 않고 열전달, 유체유동, 전자기 현상 등과 같이 자연과학이나 공학의 여타 현상에 있어서도 동일하게 적용된다. 따라서 체적력과 표면력을 보다 일반화 시키면 물체 전체에 걸쳐 분포하면서 단위 체적당 크기로 표현이 가능한 자극은 체적력에 해당된다. 반면, 물체의 표면에 작용하는 자극으로서 단위 면적당 크기로 표현이 가능한 자극은 모두 표면력에 해당된다.
유한요소법(finite element method)에서 체적력과 표면력은 서로 다른 방식으로 행렬방정식에 반영된다. 전자는 체적력을 물체 전 영역에 걸쳐 적분을 통하여, 반면 후자는 하중 경계조건(load boundary condition)으로 행렬방정식에 반영된다. 여기서 행렬 방정식이란 물체 거동을 수학적으로 표현한 수식을 컴퓨터를 이용해 근사해(approximate solution)를 구하기 위해 변환시킨 것을 가리킨다.
실제 유한요소 해석 과정에 있어서 체적력은 물체의 밀도와 가속도의 크기 및 방향을 입력함으로써 정의되는 반면, 표면력은 형상 모델의 표면에 표면력이 작용하는 영역과 표면력의 방향 및 성분을 일일이 지정하여 입력시켜야 한다.
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바닷물 속에 잠겨 있는 물체는 물의 수압에 해당하는 압력을 물체 전 표면을 통해 균등하게 받게 된다. 그리고 압력은 물체의 표면에 수직하게 작용하기 때문에 물체 내부에는 수직응력(normal stress)만 발생하고 전단응력(shear stress)은 전혀 발생하지 않는다. 그 결과 찌그러짐과 같은 물체의 형상 변화는 전혀 발생하지 않고 물체 전체의 부피(체적)만 감소한다.
이와 같은 물리적 특성은 외부 하중에 의해 물체 내부에 발생하는 응력(stress)에도 적용할 수 있다. 즉, 물체 내부의 응력은 물체의 체적만을 변화시키는 성분과 형상만을 변화시키는 성분으로 나눌 수 있다. 전자를 정수압에 해당하는 성분이라고 한다.
3차원적인 응력 상태를 나타내는 경우, 3개의 직교하는 축 방향으로의 수직응력들의 총 합을 3으로 나눈 평균값을 정수압으로 정의하고 있다. 그리고 이 정수압을 뺀 나머지 응력 성분들(공학적으로 편차응력(deviatoric stress)이라고 부름)은 물체의 찌그러짐과 같은 모양의 변화를 야기한다.
한편, 정수압은 물체의 체적 변화만을 야기시키기 때문에 소성변형(plastic deformation)에는 아무런 영향을 미치지 않는다. 다시 말해, 물체의 영구적인 변형은 물체의 찌그러짐과 같은 물체의 형상 변화 때문에 발생하는 것으로, 정수압 성분을 뺀 나머지 응력 성분에 의하여 발생하는 것이다. 정수압과 물체의 체적 변화는 체적 탄성계수(bulk modulus)를 통해 상관관계를 맺게 되고, 체적 탄성계수가 커질수록 정수압에 대한 물체의 저항력은 커져서 체적 변화는 감소한다.
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물질의 고유한 재료 물성치(material property), 예를 들어 탄성계수(Young’s modulus), 프와송 비(Poisson’s ratio), 열전달계수(thermal conductivity) 등이 물질 내 모든 방향으로 그 값이 변하지 않는 경우를 등방성이라고 한다. 그리고 그렇지 못한 물질을 이방성 물질(anisotropic material)이라고 부른다.
실제로 지구상에서 등방성인 물질은 하나도 존재하지 않는다. 따라서 등방성 물질은 거시적(macroscopic)인 측면에서 방향에 따라 물성계수의 변화가 미미하여 등방성으로 가정한 이상적인 경우이다. 임의 물질의 물성계수들은 물질을 구성하는 미소 입자들의 크기, 형상, 배열 방향 그리고 분포 형태 등에 크게 영향을 받는다. 물질을 전자 현미경으로 확대해 보면 입자들의 이러한 특성들이 일정하지 않고 매우 불규칙적임을 확인할 수 있다. 다시 말해, 미시적(microscopic)인 관점에서는 거의 모든 재질은 이방성 재료에 해당된다.
물질을 정의하기 위해 등방성과 함께 자주 사용되는 용어에 균질성(homogeneity)이 있다. 물질이 균질하다는 것은 물성계수들이 재료 내 어떠한 점에서도 일정한 경우를 말한다. 그리고 그렇지 않은 경우를 비균질성(inhomogeneity)이라고 부른다. 이방성과 동일한 맥락으로 균질성도 물성계수의 변화가 물질 내 위치에 따라 미미하여 균질하다고 가정한 이상적인 경우이다. 단일 입자로 구성된 금속은 대표적인 균질 등방성 물질이고, 두 개 이상 서로 다른 종류의 입자로 구성된 복합재(composite material)는 대표적인 비균질 이방성 물질이다.
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자연계에서 발생하는 임의 현상을 실험이나 컴퓨터 시뮬레이션을 이용하여 분석하는 경우, 분석결과와 실제 현상 사이에는 반드시 차이가 존재하며 이것을 총칭하여 오차(error)로 정의하고 있다. 이 오차에는 크게 실제 현상을 실험적인 모델이나 수학적인 표현으로 전환하는 과정에서 한계성과 불확실성 등에 기인한 모델링 오차(modeling error)와 수학적 표현을 계산하는 과정에서 발생하는 수치해석 오차로 나눌 수 있다.
유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 수치해석 오차는 수학적인 표현을 급수형태의 함수를 도입하여 근사적으로 푸는 근본적인 원리에 기인한다. 급수형태의 함수에 있어 정확한 답을 계산하기 위해서는 급수의 무한차수 항까지 포함시켜야 하는데 이것은 현실적으로 불가능한 일이다. 예를 들어, 우리 생활과 아주 밀접한 전자계산기도 여러 가지 복잡한 함수들을 급수형태로 전개하여 근사적인 해답을 제공한다. 이 경우, 몇 차수까지 포함시키느냐에 따라 계산기의 정확도가 결정된다. 하지만 최근 컴퓨터 성능의 급속한 발전으로 이러한 한계성은 많이 극복되고 있다.
한편, 이러한 근사해법 자체 외에도 수치해석 오차에 영향을 미치는 인자들이 많이 존재한다. 예를 들어, 실제 현상에 관여하는 재료 물성치(material property)의 정확성, 거동과 관련된 각종 경계조건(boundary condition)과 구속조건, 그리고 수치해석 기법과 관련된 유한요소의 크기(element size)와 시간 간격(time step) 등과 같은 파라메터 등이다.
주어진 조건 속에서 유한요소 해석의 수치해석 오차를 줄이는 가장 일반적인 방법은 요소 크기(element size) (h)와 요소 차수(element order) (p) 그리고 시간간격(dt)을 줄이는 것이다. 그리고 이러한 파라메터를 적절히 조정하여 수치해석 오차를 줄여가는 기법으로 적응적 유한요소해석(adaptive finite element analysis)이 있다.
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유한요소해석(finite element analysis)에는 하나의 해석작업을 완료한 후 다른 해석작업을 연이어 순차적으로 수행해야 할 경우가 있다. 각각의 해석은 이전 단계 해석의 결과로부터 시작되어야 함은 물론 서로 다른 해석 조건을 적용하여야 하기 때문에 엄밀한 의미에서 각각의 해석은 하나의 개별적이고 독립된 해석문제로 볼 수도 있다.
예를 들어, 자동차 타이어가 일정한 속도로 주행하는 문제를 시뮬레이션 하기 위해서는 정지상태에서 타이어를 림(rim)에 조립하는 과정, 타이어에 일정한 내압을 가하는 과정, 타이어를 수직방향으로 눌러서 지면과 접촉시키는 과정, 그리고 일정한 속도로 회전시키는 과정을 순차적으로 시뮬레이션 해야 한다.
이러한 해석이 순차적으로 수행되기 위해서는 이전 단계에서 계산된 물체의 거동이 다음 단계 해석을 위한 초기 조건으로 반영되어야 한다. 이를 위해서 이전 단계 해석의 마지막 시점에서의 결과가 모두 저장되어 있어야 함은 물론이고, 각종 해석 조건들이 새롭게 갱신되어야 한다. 이러한 작업을 해석자가 손수 처리한다는 것은 매우 번잡할뿐더러 사용하고 있는 해석 프로그램의 출력 및 입력 파일을 편집해야 하는 어려움이 따른다.
재시작 기능은 이러한 문제점을 해결하기 위해 프로그램이 제공하는 하나의 특수한 해석 기능이다. 재시작 기능을 이용하면 임의의 순차적인 물체거동을 효과적으로 시뮬레이션 할 수 있기 때문에, 최근 들어 활용빈도가 증가하고 있는 추세이다.
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스프링 상수가 K인 선형(linear) 코일스프링에 F라는 힘으로 잡아 당길 경우 늘어나는 길이가 d라고 하면, 2F의 힘을 가하게 되면 늘어나는 길이는 2d가 될 것이다. 그리고 반대로 F/2의 힘을 가하게 되면 늘어나는 길이는 그 절반이 될 것이다. 이 문제의 특징은 스프링에 가해지는 하중의 크기만 다를 뿐, 스프링의 크기 및 강성 그리고 늘어난 길이를 계산하는 방법에는 아무런 변화가 없다는 점이다.
이렇게 단순한 1 자유도(degree of freedom) 문제를 무한개의 스프링들이 밀집되어 있다고 생각할 수 있는 탄성체(continuum body)로 확장시켜 보자. 그리고 스프링에 가해졌던 하중이 달라졌던 것과 같이 이 탄성체에 가해지는 하중조건이 달라짐에 따라 변형이 어떻게 변할 것인지를 분석하는 문제를 생각해 보자. 이 문제에 대한 유한요소 근사화는 [K]{u}={F}라는 행렬 방정식을 푸는 문제로 귀착된다. 여기서 [K]는 물체의 기하학적 형상, 재료 물성치(material property), 요소망(mesh) 그리고 변위 경계조건(displacement boundary condition)에 의하여 결정되는 강성행렬(stiffness)이다. 그리고 {F}와 {u}는 각각 가해진 하중에 대한 하중벡터(load vector) 그리고 구하고자 하는 탄성체의 변위를 나타낸다.
앞서 코일 스프링의 늘어난 길이를 계산하는 것과 동일하게 이 경우에도 하중벡터만 달라지는 특징을 지니고 있다. 따라서, 하중벡터만 변화시키면서 탄성체의 변형을 구할 수 있는데, 이러한 수치기법을 다중 해석이라고 부른다. 그리고 각각의 하중벡터는 서로 다른 하중조건을 각기 하나의 하중 케이스로 정의하여 설정한 다중 하중 케이스(multi-load case)로부터 손쉽게 계산할 수 있다.
다중 해석은 하나의 해석문제를 계산하는 경우와 비교하여 그 방법과 절차가 동일하기 때문에 한 번의 전처리(preprocessing) 작업만으로 여러 하중조건을 다룰 수 있기 때문에, 해석을 위한 노력과 해석시간을 대폭적으로 줄일 수 있는 장점을 지니고 있다. 그리고 현재 시판되고 있는 대부분의 상용 유한요소해석 프로그램은 이 기능을 제공하고 있다.
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