소개
유체의 움직임을 컴퓨터로 계산할 때 어떻게 계산하면 좋을까요? 공기 유체의 분자 하나하나를 계산할까요? 아니면 하나로 뭉쳐서 한 번에 계산할까요?
이번 칼럼에서는 유체의 난류를 컴퓨터로 계산하는 수치해석 기법인 DNS와 RANS 그리고 LES에 대해 알아볼 것입니다. 이들이 어떻게 다르고, 왜 이런 방식으로 유동해석을 접근해야 하는지 이해한다면, 유동해석에 대한 궁금증을 하나 해결할 수 있을 겁니다.
유한 개로 유체를 자른다고?
유체의 움직임을 컴퓨터로 알기 위해서는 컴퓨터가 계산할 수 있는 방식으로 만들어 줘야 할 필요가 있습니다. 여러 가지 방식이 있지만, 대표적인 방식으로는 유체를 유한 개의 격자로 자르는 공간 이산화 과정이 있습니다.
위의 귀여운 그림처럼 하나의 유체를 잘게 조각내서 조각마다 유체 정보를 옆으로 전달하게 되는데, 이 과정을 거치면 최종적으로 유체 전체의 움직임을 알 수 있습니다.
난류를 격자로 나눈다면?
위 그림이 층류 유동이고, 아래 그림이 난류 유동입니다. 두 유동 모두 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르고 있지만 두 가지 흐름 모양이 다릅니다.
층류는 크게 확대해도 진행 방향에 맞게 한 방향으로 진행됩니다. 이에 비해 난류는 전체적으로 한 방향으로 진행되는 것 같아 보이지만 그 안에서는 회전 성분을 가지고 있습니다. 이 회전 성분을 eddy, 와류라고 합니다. 이 eddy 는 층류에서 난류로 변할 때 최초의 eddy 가 발생하며, eddy 중에서 지름이 가장 큰 형태입니다.
최초의 eddy 를 자세히 살펴보면 곡선이 아닌 직선 형태의 유동으로 이루어져 있습니다. 난류가 더 진행된다면 이 작은 직선 유동에도 작은 eddy 가 발생하게 됩니다. 이로 인해 eddy 의 크기가 점차 작아지게 됩니다.
CFD 에서는 공간을 이산화하여 격자 형태로 표현하는 과정이 필요하다고 말씀드렸습니다. 이 과정에서 위 그림처럼 곡선 형태의 eddy 를 격자로 나누어 직선 형태로 표현해 주어야 합니다. 그래서 eddy 가 곡선 형태인 상태로 격자 크기만큼 작아진다면,정확하게 격자로 모사하는 것이 어려울 수 있습니다. 따라서 CFD 에서는 eddy 의 크기를 고려하여 적절한 수치해석 기법을 선택하는 것이 중요합니다.
가장 작은 유체의 격자 크기는 얼마일까?
수치해석 기법을 알기 위해 격자의 크기를 먼저 알아보도록 하겠습니다.
먼저 격자의 크기에 대해 수학적으로 설명하자면, 유체를 설명하는 이 미분 방정식을 차분 방정식으로 바꿔서 풀어야 합니다. 위 그래프에서 x 축은 두 분자 지점 사이의 거리이고 y 축은 두 지점의 속도 차이를 나타내는데, x 값이 커질수록 거리가 멀어져 두 지점 (uu) 의 속도 관계가 없어집니다.
그래프의 Integral length scale 곡선을 적분하면 분홍색 사각형 면적이 됩니다. 이 면적이 가장 큰 유동 구조 격자의 크기이며, x=0 일 때의 곡률에 따른 포물선 스케일이 Taylor micro scale 입니다.
또한 하나의 격자 당 하나의 속도 크기를 나타낼 수 있을 정도로 작은 격자를 최소 격자 크기(가장 작은 유동구조 스케일) 라고 하며, 이를 Kolmogorov length scale 이라고 합니다. 최소 격자크기(Kolmogorov length scale)는 이 그래프로도 표현할 수 없이 작으며 차원을 통해 얻을 수 있습니다.
(𝜀 : 유동의 소산율, 𝜈 : 유동의 동점도, 𝜂 : Kolmogorov length scale)
이에 따라 Kolmogorov length scale 의 격자를 계산하려면 상당히 많은 메모리가 필요한데, 이 스케일을 모사해 계산하는 수치해석 기법이 있습니다. 바로 DNS 입니다.
DNS (Direct Numerical Simulation)
DNS란 나비에-스톡스 방정식을 컴퓨터로 직접 푸는 접근 방법입니다. 난류 모델 없이 난류 유동을 수치적으로 해석하여 모든 크기의 eddy 를 계산하며, 수치모사라고 부릅니다. 시간과 공간을 가장 작은 스케일인 Kolmogorov length scale부터 가장 큰 유동 구조 크기까지 모두 모사하기 때문에 순간순간 마다의 유동장의 정보를 필요로 할 때 이 기법을 활용합니다.
하지만 이 DNS에는 두 가지 한계가 있습니다. 첫 번째로 격자 개수입니다. 격자의 크기를 설명할 때 말씀드렸지만, Kolmogorov length scale 부터 가장 큰 격자까지 처리하려면 10^18 만큼의 격자가 필요하게 되며, 일반적으로 사용하는 컴퓨터로는 풀기 어렵습니다.
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