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원형 단면을 가진 가느다란 금속봉의 양 끝 단에 힘을 주어 잡아당기는 경우를 생각해 보자. 잡아당기는 힘이 증가할수록 금속봉의 단면적은 지속적으로 감소하게 될 것이다. 한편 금속봉 내부에는 외부에서 잡아당기는 힘에 저항하려는 내력이 발생하게 되고, 이 저항력을 금속봉의 단면적으로 나눈 값을 응력(stress)으로 정의하고 있다.
금속봉 내부에 발생하는 응력을 계산하기 위해 물체가 변형되기 전 초기 단면적을 선정할 수도 있고, 아니면 지속적으로 감소하는 실제 단면적을 선택할 수도 있다. 변형되기 전 초기 단면적으로 계산한 응력을 공칭응력(nominal stress)으로 정의하고 있는 반면, 변형에 따른 실제 단면적으로 계산한 응력을 진응력으로 정의하고 있다.
단면적의 감소가 적은 미소 변형에 있어서는 두 응력은 큰 차이를 나타내지 않지만, 하중의 증가와 더불어 물체 단면적이 현저히 감소하게 되면 공칭응력에 비해 진응력은 매우 큰 값을 가지게 된다. 위에서 언급한 금속봉은 하중이 증가하여 끊어지기 직전에 도달하였을 때에는 거의 0에 가까운 단면적을 가지게 되고, 그 결과 진응력은 무한대의 크기로 증가하게 된다. 하지만 공칭응력은 하중의 증가에 비례하는 응력의 증가만을 보일 뿐이다. 이러한 두 응력의 차이는 응력-변형률 선도(stress-strain diagram) 상에서 항복응력(yield stress) 이후에 명확히 구분할 수 있다.
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유리나 도자기와 같이 하중을 받으면 깨어지기 까지 변형이 거의 없는 탄성계수(elastic modulus)가 거의 무한대인 재료를 취성재료(brittle material)로 정의하고 있다. 이러한 물체가 특정한 하중상태에서 파괴할 것인가를 판단하는 기준은 금속과 같은 연속재료(ductile material)의 판단기준과는 많은 차이가 있다.
연성재료의 경우에는 물체 내 특정한 지점에서의 응력이 항복응력(yield stress)을 초과하였는지의 여부가 파괴의 기준이 되지만, 취성재료의 경우에는 파단응력에 도달하였는지가 파괴의 기준이 된다. 연성재료와 마찬가지로 취성재료의 경우에도 인장뿐만 아니라 압축하중에 의해서도 파괴가 발생한다.
취성파괴 기준으로는 크게 세가지 이론이 많이 사용되고 있으며, 그 중에서 가장 단순한 이론이 바로 최대수직응력이론이다. 이 이론은 물체 내 응력값이 단순히 파단응력에 도달하였을 때 취성파괴가 일어난다고 예측한다.
한편 가장 많이 사용되고 있는 이론은 쿨롱-모어 이론(Coulomb-Mohr theory)으로써, 극한 인장강도를 최대 주응력으로 나눈값과 극한 압축강도를 최소 주응력으로 나눈값과의 차이가 1보다 크게 될 경우에 취성파괴가 발생한다고 예측한다. 실험결과와 비교하여 예측의 정확도를 향상시키기 위하여 쿨롱-모어 이론을 수정한 이론이 모어 수정이론(modified Mohr theory)이다. 하지만 쿨롱-모어 이론이 전통적으로 실무 설계업무에 많이 사용되어 왔기 때문에 현재도 쿨롱-모어 이론을 가장 많이 사용하고 있는 추세이다.
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점성(viscosity)을 지니고 있는 탄성 물체를 의미하는 것으로, 콘크리트와 고무가 대표적인 재료이다. 이러한 물체는 하중을 받는 동안 변형률(strain)에 비례하여 응력(stress)이 증가하다가, 하중을 제거하는 시점부터 변형률은 일정하게 유지되지만 응력이 서서히 감소하는 특성을 나타낸다.
이러한 특성을 특별히 응력이완(stress relaxation)이라고 부르고 지수함수(exponential function) 형태의 감소 그래프를 나타낸다. 스프링 백(spring back) 현상이 하중을 제거하면 응력이 제거됨과 동시에 변형률이 어느 정도 감소하는 것과는 뚜렷이 구별된다. 점탄성 재료에 대한 역학적 모델은 스프링에 감쇠기(dashpot)를 직렬로 연결한 것으로 표현된다.
항복응력(yield stress)을 초과하는 하중상태에서의 점성효과를 점탄소성(visco-elastoplasticity)이라고 부르고, 역학적 분석이 매우 난해한 것으로 알려져 있다. 그 결과, 점탄성 해석은 대부분의 범용 유한요소해석 프로그램(general-purpose FEM program)이 지원하고 있지만, 점탄소성 해석은 일부 전용 유한요소해석 프로그램(special-purpose FEM program)에서만 제공되고 있는 실정이다.
점탄성 재료의 시간에 따른 응력이완 거동은 시간에 대한 프로니 급수 함수(Prony series function)로 표현되며, 이 함수에 포함되어 있는 프로니 상수(Prony constants)는 재료 시편을 이용한 실험 데이터를 최소자승법(least square method) 등으로 곡선 맞춤(curve fitting)을 통하여 결정된다. 따라서, 점탄성 해석은 하중이 가해지는 동안 탄성해석을 수행하여 하중이 가해지는 마지막 시점에서의 응력값을 구한 다음 이 응력값에 프로니 함수를 적용하는 방식으로 수행된다.
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물체 변형의 크기를 나타내는 변형률(strain)에는 탄성 변형률과 소성 변형률(plastic strain)이 선형적으로 결합되어 있다. 전자는 물체에 작용하고 있던 하중이 제거되면 함께 사라져 물체를 초기 형상으로 복원시키고자 한다. 반면 후자는 하중을 제거하여도 여전히 남게 되어 물체가 영구적으로 변형된 형상을 유지하도록 한다.
하중의 크기가 항복응력(yield stress)을 초과하지 않을 정도로 작은 경우에는 탄성 변형률만 존재하게 되지만, 항복응력을 초과하게 되면 소성 변형률도 함께 발생하게 된다. 이와 같이 항복응력을 초과한 물체의 변형을 소성변형 영역에 있다고 하며, 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)는 직선이 아닌 곡선 형태로 표현된다. 변형이 탄성영역 내에 있을 경우에는 응력과 변형률은 선형적인 관계를 나타내며 응력-변형률 선도의 기울기는 변형률의 값과는 무관하게 항상 일정한 값을 가지게 된다. 이 기울기를 탄성계수(elastic modulus) 혹은 영률(Young’s modulus)이라고 부른다.
하지만 소성변형 영역에서는 탄성계수를 사용하지 않고 선도의 접선 기울기로 물체의 강성을 표현한다. 그리고 이 기울기는 변형률의 크기에 따라 변하는 값으로 이 기울기를 특별히 탄소성 접선계수로 정의하고 있다.
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강철과 같은 금속에 외부 하중을 가하여 임의 형상으로 변형시키거나 혹은 반복적으로 변형을 가하게 되면 재료의 항복응력(yield stress)은 계속해서 증가하는 특성을 나타낸다. 이와 같이 재료의 항복응력이 재료의 변형과 더불어 증가하는 현상을 경화(hardening)라고 부른다. 가장 전형적인 예로 변형률 경화(strain hardening)를 들 수가 있다. 예를 들어, 금속 봉을 구부렸다가 편 후 다시 구부리려고 하면 처음보다 더 큰 힘을 필요로 하는 것이 바로 경화에 따른 재료의 강성 증가 때문이다.
금속 봉을 구부리는 경우에는 물체 내부에 축 방향으로의 굽힘응력 만이 작용하지만, 대부분의 물체에는 3차원적인 하중이 작용하고 그 결과 물체 내부의 응력상태도 3차원적이다. 따라서 이러한 3차원적 응력상태에 있는 물체의 항복(yielding)을 판정하기 위해서는 폰-미제스 응력(von-Mises stress)를 활용한 최대 변형률에너지 원리(maximum strain energy theory)나 전단응력을 활용한 최대 전단응력 이론(maximum shear stress theory)과 같은 3차원적 항복조건(yielding criterion)을 적용해야 한다.
3차원적 응력상태에서 재료가 항복을 일으키는 응력크기의 수준은 구(sphere) 혹은 면의 크기가 동일한 다각형(polygon)으로 표현된다. 이 곡면을 항복곡면(yield surface)이라고 부르며, 물체 내 응력상태가 이 곡면 내에 존재하면 항복이 발생하지 않고, 이 곡면을 벗어나면 항복이 발생한다. 재료의 경화는 이 항복곡면의 크기를 증가시키게 되는데, 항복곡면이 모든 방향으로 동일한 크기로 증가하는 경우를 등방 경화(isotropic hardening)라고 부르고 이것을 수학적으로 표현한 것을 등방 경화법칙이라고 한다.
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