유한요소 해석(finite element analysis)을 위해 물체의 기하학적 형상을 다수의 작은 영역으로 나누게 되는데, 이 작은 영역 하나 하나가 다름 아닌 유한요소(finite element)이다. 유한요소는 정의하는 방법에 따라 크게 표준형과 특이형으로 대별된다. 유한요소 해석에서 일반적으로 사용되는 유형은 표준형으로서, 표준화된 방식에 따라 정의된다. 여기서 표준화란 요소의 모양, 절점(node)의 개수 및 위치 그리고 보간함수(interpolation function)의 정의가 일정한 규칙에 따름을 의미한다.
하지만 특이요소는 특수한 목적으로 정의된 요소로서, 그 모양, 절점의 위치 및 개수 그리고 보간함수의 정의가 표준화된 기준을 따르지 않는다. 예를 들어, 표준형 8-절점 사각형 요소는 4개의 모서리와 각 변의 가운데에 하나씩의 절점을 가지며 보간함수는 2차원 2차 함수를 정확히 표현할 수 있도록 정의되어 있다. 하지만 특이요소는 사각형의 어느 한 변 상에 위치하는 3개의 절점들이 하나의 절점으로 통합되어 6-절점 삼각형 요소의 형태가 되든지, 아니면 사각형 변의 정 가운데에 있는 절점의 위치가 이동된 형태를 지닌다.
절점들이 통합되거나 아니면 그 위치가 바뀌게 되면 보간함수의 수학적인 표현 역시 바뀌게 되어 표준형과 전혀 다른 요소가 된다. 특이요소는 표준요소로는 물체의 거동을 원하는 정확도로 계산하기 어려운 경우에 사용된다.
가장 대표적인 적용의 예로는 물체 내 국부적인 응력집중(stress concentration)을 정확히 계산한다든지, 두께가 매우 얇은 판재나 까다로운 구속조건을 가지는 문제에 있어 해석 정확도의 급격한 저하(흔히 록킹현상(locking phenomenon)이라 부름)를 극복하거나 무한한 크기를 갖는 기하학적 영역을 효과적으로 세분화(이 경우에 사용되는 요소를 흔히 무한요소(infinity element)라고 부름) 시키는 경우 등이다.
.멤브레인(membrane)의 극단적인 예로 비누방울을 생각할 수 있다. 이러한 물체는 기하학적으로 매우 얇은 두께의 막으로 되어 있으며, 역학적으로는 물체 표면을 따라 인장력만 지탱할 수 있는 특징을 지니고 있다. 따라서 이러한 멤브레인의 역학적 거동을 표현하기 위해서는 면과 접선인 방향으로의 병진 자유도(translation degree of freedom)만 필요로 하며, 압축에 대한 강성은 거의 0에 가깝다.
항공기 날개의 외피 역시 멤브레인 거동을 나타내기 때문에 압축력에 대한 저항력은 거의 무시된다. 기하학적 유형으로 본다면 멤브레인 요소는 쉘 요소(shell element)의 특수한 경우로서, 물체의 중립면(neutral plane)을 세분화하기 위해 사용된다. 하지만 쉘 요소와는 달리 굽힘(bending)에 대한 저항력뿐만 아니라 압축에 대한 저항력이 없다. 따라서 요소의 절점(node) 당 자유도는 쉘 요소에 비해 상대적으로 작다. 한편, 멤브레인이라는 용어는 물체의 중립면 상에서의 면내(in-plane) 수직 인장변형률(normal tensile strain)을 의미하기도 한다.
.공기와 같은 유체의 유동은 압축성(compressibility), 점성(viscosity) 그리고 유체입자의 회전성(rotational) 중에서 어떠한 효과가 중요시 되느냐 아니면 무시할 수 있느냐에 따라 분류할 수 있다. 압축성 유동(compressible flow)에서는 유동입자의 밀도변화가 현저한 경우이며, 점성유동(viscous flow)은 유체입자 사이의 점성효과가 지배적인 경우이다.
그런데, 이 세가지 효과를 모두 무시한 유동을 이상유동(ideal flow)이라고 정의하며, 유체속도를 어떤 함수의 위치에 따른 변화율로 표현할 수 있다. 이 함수를 속도 포텐셜(velocity potential)이라고 부르며, 유체의 속도나 압력을 속도 포텐셜로 전환하여 표현할 수 있다는 측면에서 포텐셜 유동이라고도 부른다. 압축성만을 반연한 이상유동인 오일러 유동(Euler flow)과는 차이가 있다.
포텐셜 유동은 흐름의 양상이 복잡하지 않고 또한 속도가 완만한 경우에 많이 적용되고 있다. 예를 들어, 액체 저장탱크 내 액체의 출렁임이나 배 주위 바다물의 흐름 등은 포텐셜 유동으로 가정하여도 큰 무리가 따르지 않는다.
수치해석적인 측면에서 포텐셜 유동의 가장 큰 장점은 요소망(mesh) 혹은 그리드(grid) 내부 각 절점(node)이 하나의 자유도(degree of freedom)만을 갖는다는 점이다. 따라서 근사해를 구하기 위해 풀어야 할 행렬 방정식의 크기를 대폭적으로 감소시킬 수 있다. 최근 해석분야에서 크게 관심이 되고 있는 유체-구조 연성해석(fluid-structure interaction analysis)에서 해석시간 단축을 위해 유체유동을 포텐셜 유동으로 가정한 경우가 많다.
.막대 형상을 지닌 구조물(beam-like structure)의 횡방향 처짐에 관한 거동을 모사하기 위한 공학적 이론들은 이미 오래 전부터 연구되어 왔다. 그 중에서 가장 기초가 되는 이론은 오일러 보(Euler beam) 이론은 부재 내 두께방향으로의 횡전단 변형(transverse shear deformation)을 무시하고 단순히 굽힘에 의한 변형만을 반영하고 있다.
하지만 부재의 길이에 대한 상대적인 두께비가 증가할수록 두께 방향으로의 전단 변형은 증가하기 때문에 오일러 보 이론의 정확성은 감소한다. 따라서 이러한 단점을 보완하기 위한 보 이론이 바로 티모센코 보 이론으로서, 러시아 출신 응용역학자인 티모센코(Timoshenko, 1878-1972)에 의하여 최초로 제안되었다.
티모센코 보 이론에서는 보의 처짐과 보의 기울기를 미지수로 하고 있으며, 그 결과 티모센코 보 요소는 한 절점(node)에서 처짐과 보의 기울기를 자유도(degree of freedom)로 가지고 있다. 참고로, 횡 전단 변형률을 무시한 오일러 보에서는 보의 기울기와 단면의 기울어짐 각도가 같다고 가정하고 있기 때문에 모의 기울기를 별도의 미지수로 가지지 않는다.
.트러스는 고층건물 내부의 기본골격을 이루는 강철 구조나 각종 교량이나 타워 및 소형 선반에 이르기 까지 우리 생활과 밀접한 부재이다. 이러한 트러스 구조물은 각 부재의 양 끝단을 볼트나 핀 등을 통하여 결합되어 있다. 역학적인 측면에서 이러한 트러스 구조물은 외부 하중에 대하여 구성 요소 하나 하나가 단지 인장력이나 압축력만을 지탱한다. 이러한 측면에서 트러스 부재는 이력 부재(two-force member)에 해당된다.
트러스 구조물의 역학적 거동을 유한요소해석(finite element analysis)과 같은 수치기법(numerical technique)으로 분석하기 위해 사용되는 추상적인 부재(혹은 유한요소 모델)를 트러스 요소라고 부른다. 여기서 추상적이라는 용어는 3차원 형상을 지닌 트러스 부재를 중립축(neutral axis)과 같은 부재의 중심축을 따라 하나의 선으로 그 형상을 간략화 시키고, 이 간략화 된 1차원 형상에 대하여 역학적 모델식이 유도됨을 의미한다.
따라서 실제 수치해석에서 트러스 구조물은 선요소(line element)들로 요소망(mesh)이 구성되며, 상세한 단면정보(단면형상, 단면적, 면적 관성 모멘트(area moment of inertia) 등)는 입력창을 통하여 해석자가 입력하도록 되어 있다. 이렇게 입력된 단면정보는 트러스 구조물에 대한 강성행렬(stiffness matrix)과 질량행렬(mass matrix) 계산에 사용된다. 그리고 하나의 트러스 요소의 양 끝점에 절점(node)이 할당되며, 하나의 절점에는 세 개의 병진 자유도가 부여되어 있다.
.한 물체의 거동이 주위에 고정 혹은 움직이는 다른 물체와 구속관계를 가지고 있는 문제를 유한요소해석(finite element analysis)으로 시뮬레이션 하기 위해 필요한 특수한 유형의 수치기법이다. 유한요소 해석을 위해 대상이 되는 물체를 여러 개의 요소로 세분화 시키고 주위 물체와 실제로 구속되는 한 점 혹은 국부영역 내 절점(node)들을 구속관계에 있는 물체의 해당 절점들과 구속관계를 유지하도록 연결시키는 역할을 한다. 강체요소(rigid element)로 통칭하여 불리기도 하는데 차이점은 다수의 강체요소들을 이용하여 구속관계에 있는 절점들을 연관시키는 수치기법이라는 점이다.
다중점 구속은 접촉 경계에서 요소망(mesh)이 서로 일치하지 않는 경우, 두 요소망을 손쉽게 결합시키기 위해 사용되는 것 외에도 다양한 용도로 활용되고 있다. 예를 들어 자동차 타어어의 회전중심에 병진속도 혹은 각속도를 부여해야 할 경우, 회전중심과 타이어 내측 원주면 상의 점절들을 다수의 강체요소로 연결하여 원하는 속도 구속조건을 부과할 수 있다.
그리고 한 물체 내 일부 형상의 동적인 효과만을 간략하게 반영하고자 할 경우, 일부형상의 관성효과를 집중질량(lumped mass)으로 모델링하고 이 질중질량을 요소망으로 실제 표현된 나머지 물체 형상에 연결시킬 수 있다. 이와 같이 다중점 구속은 비접합 요소망(incompatible mesh) 사이의 결합, 접촉해석(contact analysis)에서의 각종 접촉조건 구현, 집중질량 처리, 요소망 외부에 부여되어 있는 각종 구속조건 처리 등을 위해 매우 효과적으로 사용되고 있다.
.고정된 부시(bush) 속에서 회전하는 기어 축 사이에는 미소한 크기일지라도 항상 간격(gap)이 존재하고 두 물체의 움직임에 따라 이 간격의 크기는 변화한다. 두 물체가 접촉하게 되면 서로 밀어 내려는 반발력이 발생하고 이로 인해 서로 밀게 되어 다시 간격이 생기게 되는 반복과정이 지속된다. 이러한 두 물체 사이 간격과 반발력의 거동을 수치해석(numerical analysis)적으로 구현하기 위하여 몇 가지 기법들이 사용되고 있다. 그 가운데 가장 간단하고 효과적인 기법이 바로 갭 요소를 사용하는 것이다.
갭 요소는 선 요소(line element)의 특수한 경우로서, 이 요소가 지니고 있는 강성(stiffness), 자유도(degree of freedom) 그리고 방향성에 따라 표현할 수 있는 거동이 좌우된다. 예를 들어, 두 물체 사이의 간격이 항상 일정하게 유지되어야 한다면 강성을 무한대로 설정하여야 하고, 간격이 유동적이라면 적절한 강성을 부여하여야 한다. 그리고 반발력만 존재하는 접촉이라면 수직방향 압축력에만 저항하도록 자유도를 한정시켜야 한다. 유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 갭 요소는 두 물체의 요소망(mesh) 내에서 실제로 접촉이 예상되는 경계 영역 상의 상호 절점(node)들을 각각 갭 요소로 연결하고, 접촉 거동에 적합한 강성과 자유도 그리고 방향을 설정하면 된다.
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