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고무와 같은 초탄성 재료(hyperelastic material)가 하중을 받아 그 내부에 축적되는 변형률 에너지 밀도(strain energy density)를 수학적으로 표현한 대표적인 재료 물성치(material property) 모델이다. 이 물성모델은 변형률과 물질의 고유한 상수의 곱으로 표현되며 수학적 표현식의 차수에 따라 1차, 2차 및 고차 모델로 분류된다.
이 물성 모델에 포함되어 있는 고유한 상수를 문리-리브린 상수(Moonley-Rivlin constants)라고 부르며, 고무 시편을 이용하여 실험적으로 구한 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)로부터 결정할 수 있다. 고무와 같은 초탄성 재료의 응력-변형률 선도는 거의 대부분 S자 형태로 증가하는 곡선형태를 나타낸다. 하중을 받고 있는 초탄성 재료 내부의 임의 지점에서의 응력(stress)은 문리-리브린 모델로 표현되는 그 지점에서의 변형률 에너지 밀도를 그 지점에서의 변형률로 나눔으로써 계산할 수 있다.
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단일 물질로 구성된 재료는 재료 내 위치나 방향에 무관하게 재료의 성질, 즉 재료 물성치(material property)가 일정하다. 전자와 같은 재료의 특성을 균질성(homogeneity)이라고 부르고 후자와 같은 재료의 특성을 등방성(isotropy)이라고 부른다.
이와 같이 재료의 성질이 위치나 방향과 무관한 경우에는 기준이 되는 좌표축을 어떻게 설정하여도 재료 물성치 입력에 영향을 미치지 않는다. 하지만 재료의 성질이 위치나 방향에 따라 변하는 경우에는 재료 물성치의 입력은 좌표축의 설정에 절대적으로 영향을 받게 된다.
예를 들어 원통형 복합재에 있어 탄소 섬유(carbon fiber)가 원통축과 일정한 경사각을 이루면서 감겨져 있다면 복합재의 물성치는 감긴 방향을 하나의 축으로 하는 좌표축을 기준으로 입력되어야 한다. 왜냐 하면 이러한 복합재의 재료 물성치는 감긴방향, 그리고 이 방향과 수직인 두 축방향으로 정의되기 때문이다.
이렇게 특정한 방향으로 재료의 물성치가 정의되는 경우에는 재료 물성치의 입력을 위하여 별도의 좌표축을 설정할 필요가 있으며, 이 좌표축을 재료 좌표계라고 부른다. 대부분의 상용 유한요소 해석 프로그램에는 이와 같이 위치나 방향에 의존하는 재료 물성치를 입력하기 위한 재료 좌표계를 해석자가 별도로 지정할 수 있도록 그 기능을 제공하고 있다.
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일반적으로 균질(homogeneous)하고 등방성(isotropy)인 모재(matrix) 속에 강선이나 섬유 등과 같은 이종 재료를 특정한 배열과 방향으로 삽입하여 관심이 되는 기계적 강도를 향상시킨 재료를 섬유강화 복합재(fiber reinforced composite)라고 부른다. 보강재의 단면은 모재에 비해 그 크기가 현저히 작을 뿐만 아니라 삽입되는 보강재의 축방향이 임의 각도를 이루고 있다.
이러한 복합재의 거동을 분석하기 위해 유한요소 해석을 수행하고자 할 경우, 가장 난감한 부분이 바로 보강재의 재료 물성치(material property)를 입력하는 일이다. 보강재 하나 하나의 기하학적 형상을 모두 반영한다면 문제는 간단해 지겠지만, 이렇게 상세 형상을 반영하고자 하면 모델링 작업 그 자체의 번거로움뿐 만 아니라 엄청난 요소수에 따른 계산시간의 장기화란 어려움에 직면하게 된다.
이러한 어려움을 해결하기 위해 사용할 수 있는 하나의 효과적인 방법이 바로 rebar 요소를 적용하는 것이다. 이 요소는 그 형상이나 절점수에 있어서 우리가 알고 있는 일반적인 유한요소(finite element)와 차이가 없다. 하지만, 응력(stress)과 변형률(strain)을 관계 짓는 구성방정식(constitutive relation) 내에 보강재의 상세한 정보가 포함되어 있다는 점이 일반 유한요소와의 차이점이다.
이러한 리바 요소보다 더욱 간단한 방법으로 균질화 기법(homogenization method)이 있는데, 이 방법은 보강재와 모재가 차지하는 상대적인 체적비로 섬유강화 복합재 전체의 등가 재료물성치(equivalent material property)를 계산하는 가장 단순한 방법이다. 따라서 보강재의 상세한 기하학적 형상이나 배열방향이 반영되지 못할뿐더러, 보강재와 모재사이 계면(interface)에서의 상호작용이 반영되지 못하기 때문에 계산된 등가 물성치(equivalent material)의 정확도를 보장하기 어렵다.
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유한요소해석(finite element analysis)을 통해 임의 물체의 거동을 분석하는 경우, 구하게 되는 근사해(approximate)의 정확도가 원하는 수준에 미치지 못하는 경우가 많다. 근사해의 정확도는 오차평가(error estimate)라 불리는 특별한 기법이나 이론적인 정답 혹은 실험결과와의 비교 등을 통하여 수행된다.
그리고 근사해의 정확도는 요소망(mesh)의 조밀도 혹은 유한요소(finite element)에 적용되는 기저함수(interpolation function)의 차수 그리고 입력 값으로 입력되는 재료 물성치(material properties), 경계조건(boundary condition), 그리고 수치기법과 관련된 각종 수치 파라메터(parameter)에 의하여 좌우된다.
적응적 유한요소 해석이란 원하는 정확도를 만족하는 근사해를 구하기 위하여 이러한 값들을 조절하면서 오차(error)를 줄여가는 일종의 반복해석 과정을 말한다. 흔히 요소망의 밀도와 기저함수의 차수를 조정하게 되는데, 보다 합리적으로 조정하기 위하여 선 오차평가(a priori error estimate)와 후 오차평가(a posteriori error estimate)를 동시에 활용한다.
적응적 유한요소해석의 절차는 다음과 같이 구성된다. 우선 해석자가 초기에 설정한 요소망과 기저함수의 차수로 유한요소 해석을 수행하고, 해석결과의 정확성을 후 오차평가를 통하여 정량적으로 계산한다. 이렇게 계산된 오차값을 선 오차평가에 대입하여 원하는 정확도를 만족시킬 수 있는 유한요소의 크기(h)와 기저함수의 차수(p)를 계산한다.
계산된 유한요소의 크기와 기저함수의 차수를 적용하여 요소망을 세밀화(mesh refinement)한 다음 유한요소 해석을 재차 수행한다. 그리고 해석결과에 대한 정확도를 후 오차평가를 이용하여 재차 계산한다. 만일 여전히 원하는 정확도에 미치지 못하면 이러한 과정을 반복한다.
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등가(equivalence)라는 용어는 임의 물체에 있어 관심이 되는 물리량과 대등한 효과를 나타내도록 치환된 물리량을 일컫는다. 예를 들어, 좌측이 고정되어 있는 가느다란 외팔보의 우측단에 분포하중이 작용하고 있다고 가정하자. 우측단의 처짐량이 관심이 되는 효과라고 설정하였을 때, 동일한 처짐량을 일으키는 우측단의 집중하중은 분포하중에 대한 등가 하중이라 할 수 있다. 그리고 등가라는 용어는 관심의 대상이 되는 물체와 물리량이 설정되어 있어야 한다.
하나 이상의 서로 다른 매질 혹은 입자들로 구성되어 있는 혼합체의 경우, 각 구성 매질 혹은 입자의 재료 물성치(material property)는 거의 대부분 이미 알려져 있다. 하지만 혼합체의 재료 물성치는 혼합비율, 혼합 구조, 구성입자 크기 등과 같은 미시적 인자(microscopic parameter)들에 민감한 영향을 받기 때문에 재료 내 각 지점에 따라 다른 값을 가진다. 다시 말해 균질성(homogeneity)과 등방성(isotropy) 어느 하나도 만족하지 않는 재질이다. 하지만 변형, 최대 변형률, 응력 및 온도 등과 같은 거시적(macroscopic)인 물리량이 관심이 되는 경우에는 굳이 각 지점에 따라 변하는 상세한 재료 물성치 정보가 필요로 하지는 않는다. 다만, 이러한 거시적 물리량과 동일한 크기를 나타내는 등가의 물성치만으로 충분하다.
등가 물성치란 임의 혼합체가 특정한 물리량에 대해 거시적인 측면에서 동일한 효과를 나타내는 치환된 균질 등방성 물성치를 의미한다. 예를 들어, 콘크리트와 같은 혼합체에 있어 동일한 최대 처짐량을 나타내는 균질 등방성의 탄성계수(elastic modulus)와 프와송 비(Poisson’s ratio)는 콘크리트의 등가 물성치에 해당된다. 등가 물성치는 거의 대부분 대상 물체의 관심 영역에 대한 평균화(averaged) 혹은 균질화(homogenized)된 물성치로써, 가장 간단한 등가 물성치 평가기법으로 선형 혼합법칙(linear rule of mixtures)이 있다.
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