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외부로부터 힘이나 모멘트를 받는 물체의 내부에 발생하는 응력(stress)은 종종 물체 내 특정한 지점에서 매우 큰 값을 나타내는데, 이러한 현상을 응력집중(stress concentration)이라고 부른다. 이러한 응력집중 현상은 다양한 요인들에 기인하여 발생하는데, 가장 대표적인 요인들은 물체의 특징적인 형상, 물체를 구성하는 재료의 불연속, 점하중(point load)과 같은 특이한 하중 및 구속조건들이다.
특징적인 형상이란 균열(crack)과 같이 물체가 예리하게 두 부분으로 금이 가 있는 선단부나 물체 내부에 구멍이 존재하는 등의 형상의 급격한 변화를 말한다. 특히, 균열 선단부에서는 응력값이 기하급수적으로 증가하기 때문에 그 값을 정확하게 계산하기란 여간 어려운 일이 아니다.
적층 복합재와 같이 서로 다른 재료들로 층을 이루고 있는 물체는 인접한 층과의 경계면에서 재료 물성치(material properties)가 불연속적이다. 그 결과 물체 전체가 동일한 량의 온도 변화나 형상 변화를 겪는다고 하더라도 물성치가 불연속인 부분에서 응력이 집중되곤 한다. 그리고 하중이 매우 좁은 면적에 집중되어 가해지는 일명 점하중이 작용하는 지점에서도 응력이 집중된다.
응력집중계수는 이러한 특징영역에서의 매우 큰 집중응력을 특징적인 상황이 존재하지 않는 물체의 나머지 영역에서의 평균 응력값으로 나눈 상대적인 비로 정의된다.
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유한요소 해석을 위한 모델링(modeling)에는 형상, 요소망(mesh), 재료 물성치(material property) 그리고 경계조건(boundary condition)을 설정하게 된다. 그리고 이러한 제반 작업을 위해서는 기준 좌표계(reference coordinate)가 필요하게 되는데, 보통의 경우에는 하나의 좌표계만 지정하면 된다. 하지만 지정의 정확성과 편의성을 위하여 하나 이상의 좌표계를 필요로 하는 경우도 종종 발생한다.
예를 들어, 형상이나 요소망 생성을 위해 직교 좌표계를 사용하면서, 물체 내부에 존재하는 원형 구멍에 회전 슬라이딩(rotational sliding) 조건을 부여하기 위해 국부적으로 원통 좌표계를 사용할 수도 있다. 이렇게 되면 요구되는 경계조건을 정확하게 그리고 편리하게 지정할 수 있다. 또 다른 예로는 각기 방향이 다른 섬유(fiber)가 삽입되어 있는 복합재(composite material)의 재료 물성치를 지정하기 위해서는 좌표축이 섬유방향과 일치하도록 추가적으로 좌표계를 설정하면 편리하다.
이와 같이 위에서 언급한 제반 작업을 편리하게 그리고 정확하게 처리하기 위해 해석자가 국부적으로 설정한 추가적인 좌표계를 사용자 좌표계라고 부른다. 그리고 이러한 사용자 좌표계 가운데 재료 물성치 부여를 위해 추가적으로 설정한 사용자 좌표계를 재료 좌표계(material coordinate system)라고도 부른다.
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직사각형 모양을 가진 지우개의 한 면을 책상 위에 대고 지우개의 반대면을 수평방향으로 손가락으로 밀면 지우개는 더 이상 직사각형 모양을 유지하지 않는다. 다시 말해 직사각형에서 평행사변형 모양으로 변형된다. 손가락으로 밀기 전에는 지우개의 각 모서리는 직각(90도)이였지만, 변형이 된 이후 두 모서리는 90도 보다 작아지고 나머지 두 모서리는 90도 보다 커진다.
위에서 예를 든 지우개의 두 면이 이루고 있는 각도의 변화를 라디언(radian, 180도=3.14radian에 해당)으로 계산한 값을 전단 변형률(shear strain)이라고 부른다. 위의 지우개의 경우, 90보다 증가한 두 모서리와 90보다 감소한 두 모서리에서 90도로부터 증가하거나 감소한 각도의 크기는 같기 때문에 전단 변형률의 크기는 같고 기호만 서로 반대가 된다. 각도가 증가한 경우를 (+)로 그리고 각도가 감소한 경우를 (–)로 정의한다.
한편, 손가락으로 지우개 면을 수평으로 미는 총 힘을 손가락과 접촉하는 지우개의 면적으로 나눈 값을 전단응력(shear stress)이라고 부른다. 손가락으로 미는 힘이 증가할수록 지우개 모서리각의 변화도 비례적으로 증가할 것이다. 이처럼 전단변형률과 전단응력과의 상관관계를 나타내는 재료의 물성치를 전단 탄성계수라고 부른다. 다시 말해 전단응력의 크기는 전단 변형률의 크기에 전단 탄성계수를 곱한 값과 같다.
참고로 영률(Young’s modulus)이라고 불리는 탄성계수(elastic modulus)는 물체의 길이방향으로의 수직 변형률(normal strain)과 수직응력(normal stress)과의 상관관계를 나타내는 재료 물성치(material property)이다. 그리고 전단탄성계수와 탄성계수는 서로 독립적인 물성치가 아니라 프와송 비(Poisson’s ratio)를 통하여 서로 종속적인 관계를 지닌다.
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하나의 제품을 설계함에 있어 어떠한 재질을 사용할 것인가를 결정하는 것은 대단히 중요한 사안이다. 예를 들어, 동력을 전달하는 요소 중의 하나인 기어(gear)를 금속으로 만들 것인가 아니면 플라스틱으로 만들 것인가는 구조적인 강도를 위시한 여러 가지 측면에서의 고려가 필요하다.
제반 제약조건을 만족시키면서 원하는 성능을 제공할 수 있는 재질을 찾을 수만 있다면 문제는 간단해 질 것이다. 하지만 대부분의 제품 설계에 있어 이처럼 간단한 그다지 흔하지 않기 때문에, 최적설계 기법의 적용은 불가피하다. 특히 제품단가나 제품의 무게와 같은 제약조건이 따를 경우, 기존의 재질로는 목표를 달성할 수 없는 일이 종종 발생한다.
재료 최적설계란 주어진 제약조건을 만족시키면서 원하는 기능을 제공할 수 있는 재질을 기법으로, 현존하는 재질 중에서 최적인 재료를 선택하는 것뿐만 아니라, 전해 새로운 기능성 복합재를 설계하는 것 까지를 포함한다.
형상 최적설계(shape optimization)나 위상 최적설계(topology optimization)와 달리 재료 최적설계에서는 최적의 재료 물성치(material properties)를 찾는 것으로서, 제작이 불가능한 최적안이 나올 수도 있다. 하지만 최근 재료 및 가공 기술의 발전으로 새로운 개념의 신 소재가 날로 소개되고 있어, 재료 최적설계의 한계는 점차 극복되고 있는 실정이다.
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어떤 재료가 균질하다는 것은 재료 내 각 지점에서 재료의 물성치가 동일하다는 것을 의미한다. 엄밀한 의미에서 균질한 재료는 존재하지 않는다. 왜냐하면 재료를 전자현미경으로 들여다 보면 구성 입자들의 형상, 크기 그리고 결합되어 있는 조직이 일정하지 않기 때문이다. 하지만 재료를 균질하다고 가정하는 것은 이러한 미세한(micro) 구성 입자 수준을 의미하는 것이 아니라, 재료의 물성이 거시적(macro)인 측면에서 측정하였을 때 그 값들이 재료 내 각 지점에서 거의 동일하다는 것을 의미한다. 단일 재질로 구성되어 있는 대부분의 금속, 플라스틱, 유리 등은 균질한 재료로 가정한다. 균질하지 않은 대표적인 재료로는 두 가지 이상의 재질로 구성되어 있는 복합재를 들 수가 있다.
참고로 균질성과 함께 재료를 크게 구분하는 용어에는 등방성(isotropy)과 이방성(anisotropy)이 있다. 이 용어는 재료의 물성치가 위치에 따라 균일한가 아닌가를 판단하는 것이 아니라, 방향에 따라 재료 물성치(material property)가 불변인가 그렇지 않은가를 구분하기 위해 사용된다.
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설계업무를 수행하다 보면 형상은 동일하지만 가해지는 하중조건(load condition)만 달라지는 경우가 종종 있다. 다시 말해, 하나의 대상 물체에 있어 물체에 작용하는 하중이 달라짐에 따라 물체의 거동이 어떻게 변화하는지가 관심사가 되는 경우가 종종 발생한다.
고층건물이 자중에 의해 얼마나 변형(deformation)하는지, 지진에 의해서는 얼마나 변형하는지, 그리고 자중과 지진파를 동시에 고려하였을 경우에는 또 변형이 어떻게 되는지를 각각 계산하여 그 결과를 비교하고자 하는 경우를 예를 들어 보자. 이러한 경우, 물체의 기하학적 형상, 재료 물성치(material property), 요소망(mesh) 그리고 변위 구속조건(displacement boundary condition)은 동일하지만, 하중조건만 달라지게 된다. 이러한 해석문제를 효과적으로 수행하기 위한 방법으로 다중 해석(multi-analysis)이라는 수치기법이 있으며, 거의 대부분의 상용 유한요소 해석 프로그램에서 이 기능을 지원하고 있다.
이 기법에서는 하중조건을 설정하는 것 이외에는 하나의 해석문제를 취급하는 일반 유한요소 해석과 그 절차와 방법이 동일하다. 하지만 다루고자 하는 각각의 하중조건을 각기 하나의 하중 케이스(load case)로 설정하여 여러 하중 케이스를 준비해야 한다. 그리고 각각의 하중 케이스를 불러들여 유한요소 해석을 각각 수행하기만 하면 원하는 여러 하중 조건에 대한 물체의 거동을 빠른 시간 내에 효과적으로 구할 수 있다. 이와 같이 각기 독립적으로 설정된 여러 하중 케이스들을 특별히 다중 하중 케이스라고 부른다.
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물체에 힘을 가하면 그 내부에는 힘의 크기에 상당하는 응력(stress)이 발생한다. 역학적인 측면에서 응력은 물체 변형의 정도를 나타내는 변형률(strain)의 크기와 상관관계를 맺고 있으며, 이 상관관계는 물체의 재료 물성치(material property)를 통해 표현된다.
응력이완이라 함은 물체에 힘을 가하여 그 상태를 유지하고 있더라도 물체 내부의 응력이 시간과 더불어 감소하는 거동을 의미한다. 응력이완은 소성변형(plastic deformation) 된 물체가 하중을 제거하면 탄성에 해당하는 응력성분이 제거되면서 변형량이 다소 감소하는 스프링 백(spring-back)과는 뚜렷한 차이를 나타낸다. 그리고 하중 즉 응력이 일정하게 유지되더라도 변형률이 시간과 더불어 지속적으로 증가하는 크리프 현상(creep phenomenon)과도 구별되는 거동이다.
응력이완은 고무나 콘크리트와 같이 점탄성(viscoelasticity) 혹은 점탄소성(visco-elastoplasticity)을 지니는 재료에서 발견할 수 있는 거동으로 탄성영역에서의 응력이완과 소성영역에서의 응력이완으로 구분할 수 있다. 전자의 경우는 물체 내 응력이 탄성범위에서 이완되는 반면 후자는 소성범위에서의 응력이 감소하는 거동을 일컫는다. 응력이완에 대한 수치해석은 매우 난해하기 때문에 해당 재료의 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)의 시간에 따른 변화를 실험적으로 측정하여 근사적으로 계산하는 방법이 많이 사용되고 있다. 시간함수로 표현되는 프로니 급수(Prony series)를 이용한 근사기법이 대표적인 예이다.
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서로 다른 재질들의 우수한 성질을 혼합함으로써 보다 우수한 성능을 지닌 재질을 만들어 낼 수 있다. 금속과 세라믹을 적층한 단열재가 대표적인 예로써, 금속의 기계적인 강성과 세라믹의 열차단성을 혼합하여, 금속의 낮은 열차단성과 세라믹의 취성(brittle)을 보완한 경우이다.
복합재는 단순히 두 가지 재료를 적층시킨 적층 복합재(laminate composite), 두 구성입자들을 분말 형태로 혼합시킨 입자 복합재(phase composite), 그리고 기본(matrix)이 되는 재료 속에 강선(steel wire)이나 섬유(fiber)를 특정한 방향으로 심은 섬유강화 복합재(fiber reinforced composite)로 분류할 수 있다.
적층 복합재는 항공기 날개나 단열재로 주로 사용되고 있으며, 콘크리트나 분말야금과 같은 소재는 입자복합재의 전형적인 예이다. 그리고 섬유강화 복합재는 고무호스나 자동차 타이어 등에서 찾아볼 수 있다. 이러한 복합재에 대한 유한요소 해석에 있어 가장 어려운 점은 비균질성(inhomogeneity)이고 이방성(anisotropy)인 복합재에 대한 재료 물성치(material property)를 입력하는 일이다.
적층 복합재의 경우에는 크게 문제가 되지 않지만 나머지 두 가지 유형에 대해서는 해석자 나름의 전문적인 기술이 요구된다. 가장 단순한 방법으로 구성재료가 차지하는 체적비에 비례하여 구성재료의 재료물성치를 선형 조합하여 균질화된 재료로 가정하는 균질화 기법(homogenization method)이 있다. 섬유강화 복합재의 경우에는 이 보다 정확도가 높은 기법들이 소개되어 있는데, 상용 유한요소해석 프로그램에서 유한요소의 특수한 형태로 제공되는 리바 요소(rebar element)가 하나의 대표적인 예가 될 수 있다.
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임의 물체에 외부로부터 힘이나 열과 같은 자극을 가한다는 것은 물리적인 관점에서 물체에 일 혹은 에너지를 공급하는 것이다. 그렇다면 이렇게 외부로부터 공급된 일이나 에너지는 물체를 변형(deformation)시키거나 온도를 높게 한다. 여기서는 단지 힘과 열에 대해서만 언급하였지만 외부로부터 공급되는 일이나 에너지의 유형은 매우 다양하다.
만일 공급된 일이나 에너지가 어떠한 형태로든지 빠져나가지 않고 저장된다면 일과 에너지는 보존된다고 말하고, 이러한 경우를 보존적(conservative)이라고 정의한다. 그리고 내부에 보존된 일과 에너지는 외부에서 작용하는 힘이나 열적 자극이 제거되면 물체를 원래 상태로 복원시키는데 사용된다. 예를 들어, 금속판을 힘으로 굽히는 박판 성형에 있어, 외부에서 가한 일은 물체의 변형에 따른 변형률 에너지(strain energy)로 축적된다. 그리고 이렇게 축적된 변형률 에너지는 외부의 힘이 제거되었을 때 금속판을 원래 상태로 복원시키는 내력(internal force)으로 소모된다.
하지만, 실제 상황에 있어서는 외부로부터 공급된 일이나 에너지는 모두 저장되지 않고 일부는 빠져나가게 된다. 변형률 에너지 밀도(strain energy density)란 외부 힘에 의하여 변형되는 물체 내부에 저장되는 단위 체적당 변형률 에너지로 정의된다. 그리고 이러한 변형률 에너지 밀도의 양을 수학적인 함수형태로 표현한 것을 변형률 에너지 밀도 함수라고 부른다. 변형률 에너지 밀도 함수는 주로 변형률 불변량(strain invariant)과 물체에 따라 달라지는 고유상수들로 표현되며, 고유상수들은 시편시험을 통해 결정된다.
대표적인 경우로 고무와 같은 초탄성 재료(hyperelastic material)를 위한 문리-리브린(Moonley-Rivlin), 오거던(Ogden), 여(Yeoh) 함수를 들 수 있다. 변형률 에너지 밀도함수를 변형률로 미분을 취하게 되면 응력(stress)을 구할 수 있기 때문에, 초탄성 재료의 재료 물성치(material property)는 이 밀도함수로 유한요소 해석 프로그램에 입력된다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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