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원형 단면을 가진 가느다란 금속봉의 양 끝 단에 힘을 주어 잡아당기는 경우를 생각해 보자. 잡아당기는 힘이 증가할수록 금속봉의 단면적은 지속적으로 감소하게 될 것이다. 한편 금속봉 내부에는 외부에서 잡아당기는 힘에 저항하려는 내력이 발생하게 되고, 이 저항력을 금속봉의 단면적으로 나눈 값을 응력(stress)으로 정의하고 있다.
금속봉 내부에 발생하는 응력을 계산하기 위해 물체가 변형되기 전 초기 단면적을 선정할 수도 있고, 아니면 지속적으로 감소하는 실제 단면적을 선택할 수도 있다. 변형되기 전 초기 단면적으로 계산한 응력을 공칭응력(nominal stress)으로 정의하고 있는 반면, 변형에 따른 실제 단면적으로 계산한 응력을 진응력으로 정의하고 있다.
단면적의 감소가 적은 미소 변형에 있어서는 두 응력은 큰 차이를 나타내지 않지만, 하중의 증가와 더불어 물체 단면적이 현저히 감소하게 되면 공칭응력에 비해 진응력은 매우 큰 값을 가지게 된다. 위에서 언급한 금속봉은 하중이 증가하여 끊어지기 직전에 도달하였을 때에는 거의 0에 가까운 단면적을 가지게 되고, 그 결과 진응력은 무한대의 크기로 증가하게 된다. 하지만 공칭응력은 하중의 증가에 비례하는 응력의 증가만을 보일 뿐이다. 이러한 두 응력의 차이는 응력-변형률 선도(stress-strain diagram) 상에서 항복응력(yield stress) 이후에 명확히 구분할 수 있다.
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특정한 물질은 높은 온도에서 일정한 힘을 가하면 내부의 저항력인 응력(stress)은 거의 일정한 값을 유지하는 반면 변형(deformation)은 계속해서 증가하는 거동을 나타낸다.
이와 같이 일정한 하중을 받는 물체가 시간과 더불어 그 변형이 지속적으로 증가하는 거동을 크리프 현상이라고 부른다. 크리프 현상을 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)로 나타내면 상온에서의 물질 거동과 판이하게 다르다는 것을 쉽게 알 수 있다. 금속의 경우, 외부에서 받는 힘이 일정하게 유지되면 응력값과 변형률(strain) 역시 일정한 값으로 유지된다. 하지만 크리프 거동의 경우에는 응력값은 일정하지만 변형률이 지속적으로 증가하기 때문에 거의 평행선에 가까운 선도를 나타낸다.
크리프 현상은 물체의 파괴(fatigue)를 일으키는 요인 중의 하나이다. 따라서 상온에서는 외부로부터 받는 하중의 크기가 안전한 수준이라고 할지라도 고온에서는 그 하중이 계속 유지되면 변형이 시간과 더불어 계속 증가하기 때문에 파괴에 도달할 수 있다. 따라서 고온 상태에서 작동하는 부품이나 조립체를 설계하는 경우, 구조물의 안전성을 확보하기 위해 크리프 현상을 간과해서는 안 된다.
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물체가 외부로부터 힘을 받으면 내부에는 저항하는 응력(stress)이 발생하고, 대부분의 경우 이 응력은 3차원적 성분들로 구성되어 있다. 여기서 3차원적이라는 의미는 응력이 직교하는 세 방향으로 모든 성분들을 가진다는 뜻이다. 다시 말해, 세 축 방향으로의 수직응력(normal stress) 성분들과 두 축 사이의 전단응력(shear stress) 성분들이 존재한다. 하지만 특수한 물체형상과 외부 하중조건에서는 응력이 2차원으로 한정된다. 여기서 2차원적이란 직교하는 세 방향 중에서 한 방향으로는 수직응력과 전단응력 성분들이 거의 발생하지 않음을 의미한다.
가장 대표적인 경우가 윗면과 아랫면에 하중을 받는 평판이다. 이 경우 평판의 두께 방향으로의 수직응력과 전단응력은 나머지 응력성분들에 비해 거의 무시할 수 있을 정도의 크기이다. 그 결과 평판과 평행한 면 상에서의 응력성분에만 관심을 가지게 된다. 다시 말해, 평행한 면 상에서 정의되는 직교하는 두 축 방향으로 두 개의 수직응력과 두 축 사이의 하나의 전단응력만을 고려하게 된다. 이러한 응력상태를 특별히 평면응력 상태로 구분하고 있다.
임의 3차원 물체를 평면응력 상태로 가정할 수 있다면 이 물체의 역학적 분석은 2차원으로 간략화 시킬 수 있기 때문에 매우 편리하다. 이 때 물체를 2차원으로 단순화 시키기 위해서는 수직응력을 무시할 수 있는 방향과 수직이 되는 물체의 단면을 선택하면 된다. 참고로 수직방향으로의 응력을 발생하지 않지만 이 방향으로의 수직 변형률은 존재한다.
평면응력 상태는 평면 변형률 상태(plane strain state)와 축대칭 모델(axisymmetric model)과 더불어 유한요소 해석(finite element analysis)을 효과적으로 수행할 수 있게 한다.
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물체가 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 물체 내부에는 저항하려는 힘이 발생한다. 그리고 이 물체 내부의 저항력을 해당 지점의 단위 면적으로 나눈 값을 응력(stress)으로 정의한다. 힘은 크기뿐만 아니라 방향을 가지고 있기 때문에 응력 또한 크기와 방향성을 지니고 있다.
따라서, 물체 내부 임의 한 점에 있어서 응력의 크기는 응력 계산의 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 변한다. 좌표축의 방향에 따른 응력값의 변화는 모어 원도(Mohr’s circle)를 통해 한 눈에 쉽게 파악할 수 있다. 2차원의 경우 좌표축은 두 개의 직교하는 축을 가지기 때문에 한 방향이 최대 응력값을 나타내면 직각이 되는 다른 한 방향은 최소 응력값을 나타낸다. 3차원의 경우에 좌표축은 세 방향을 가지므로 한 방향이 최대 응력값을 가질 경우, 나머지 두 방향은 각각 최소 응력값 및 중앙 응력값을 가지게 된다.
이와 같이 최대, 최소 및 중앙 응력값을 주 응력이라고 부르고, 주 응력값을 가지는 좌표축의 방향을 주축(principal axes)이라고 정의한다. 주 응력과 주축은 물체의 강도분석에 있어 대단히 중요한 역할을 한다. 왜냐하면 물체의 파괴는 물체 내 응력의 최대값에 직접적으로 좌우되기 때문이다. 주 응력이나 주축의 개념은 변형률(strain), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 및 면적 관성모멘트(area moment of inertia)의 좌표축에 따른 특성에도 그대로 적용된다.
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물체의 량이 시간과 더불어 증가하다가 일정한 값으로 접근하는 거동을 포화(saturation)된다고 하고, 시간과 더불어 감소하다가 일정한 값으로 접근하는 거동을 쇠퇴(decay)한다고 말한다.
프로니 급수는 후자와 같은 물체의 거동을 수치적으로 근사화 시키기 위해 사용되는 급수이다. 이 급수는 크기가 순차적으로 변하는 시간함수(time function) (혹은 시간상수(time constant)를 가진 유한개의 지수함수들의 조합으로 표현되는 시간에 대한 급수 함수(series function)로 정의된다. 그리고 각각의 지수함수에 곱해WL는 미지의 상수는 대상이 되는 물체의 실제 쇠퇴거동으로부터 결정된다. 프로니 급수는 고무와 같이 점탄성(viscoelasticity)을 지닌 물체의 시간에 따른 응력이완(stress relaxation) 현상을 수치적으로 근사화 하기 위해 효과적으로 사용되고 있다.
하중을 받아 물체 내부에 발생하는 응력(stress)이 하중제거와 더불어 지수함수적으로 감소하는 현상을 응력이완이라고 부르고, 이러한 물체의 거동은 물체의 점탄성(viscoelasticity)에 기인한다. 하중을 제거한 후 응력이 시간과 더불어 감소하는 거동을 프로니 급수를 이용하여 근사화 시키기 위해서는, 해당 물체의 시편을 이용하여 측정한 응력이완 실험 데이터로부터 각각의 지수함수에 곱해지는 재료상수라 불리는 계수를 결정해야 한다. 실험 데이터로부터 이들 계수를 결정하기 위해서는 일반적으로 최소자승법(least square method)을 적용하고 있다.
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일반적으로 균질(homogeneous)하고 등방성(isotropy)인 모재(matrix) 속에 강선이나 섬유 등과 같은 이종 재료를 특정한 배열과 방향으로 삽입하여 관심이 되는 기계적 강도를 향상시킨 재료를 섬유강화 복합재(fiber reinforced composite)라고 부른다. 보강재의 단면은 모재에 비해 그 크기가 현저히 작을 뿐만 아니라 삽입되는 보강재의 축방향이 임의 각도를 이루고 있다.
이러한 복합재의 거동을 분석하기 위해 유한요소 해석을 수행하고자 할 경우, 가장 난감한 부분이 바로 보강재의 재료 물성치(material property)를 입력하는 일이다. 보강재 하나 하나의 기하학적 형상을 모두 반영한다면 문제는 간단해 지겠지만, 이렇게 상세 형상을 반영하고자 하면 모델링 작업 그 자체의 번거로움뿐 만 아니라 엄청난 요소수에 따른 계산시간의 장기화란 어려움에 직면하게 된다.
이러한 어려움을 해결하기 위해 사용할 수 있는 하나의 효과적인 방법이 바로 rebar 요소를 적용하는 것이다. 이 요소는 그 형상이나 절점수에 있어서 우리가 알고 있는 일반적인 유한요소(finite element)와 차이가 없다. 하지만, 응력(stress)과 변형률(strain)을 관계 짓는 구성방정식(constitutive relation) 내에 보강재의 상세한 정보가 포함되어 있다는 점이 일반 유한요소와의 차이점이다.
이러한 리바 요소보다 더욱 간단한 방법으로 균질화 기법(homogenization method)이 있는데, 이 방법은 보강재와 모재가 차지하는 상대적인 체적비로 섬유강화 복합재 전체의 등가 재료물성치(equivalent material property)를 계산하는 가장 단순한 방법이다. 따라서 보강재의 상세한 기하학적 형상이나 배열방향이 반영되지 못할뿐더러, 보강재와 모재사이 계면(interface)에서의 상호작용이 반영되지 못하기 때문에 계산된 등가 물성치(equivalent material)의 정확도를 보장하기 어렵다.
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평판 구조물(plate-like structure)은 두께가 얇은 대표적인 박판 구조물(thin-walled structure)로서 쉘 구조물(shell-like structure)과는 달리 곡률 반경(radius of curvature)이 무한대이다. 평판 구조물은 구조물을 구성하는 가장 보편적인 부재로서 우리 주변에서 흔히 볼 수 있다. 책상, 테이블 그리고 캐비닛은 거의 대부분 평판 부재로 구성되어 있다.
평판 구조물은 두께가 상대적으로 매우 얇기 때문에 변형(deformation), 변형률(strain) 그리고 응력(stress) 의 두께방향으로의 변화를 거의 무시할 수 있다. 이러한 기하학적 그리고 거동적 특성으로부터 두께 방향으로의 변위(displacement)를 일정하게 아니면 직선으로 가정할 수 있다. 따라서 평판 구조물의 중립면(neutral plane)에서의 변위(displacement)만 구하게 되면 구조물 전체의 변위, 변형률 그리고 응력을 계산할 수 있다.
평판요소는 평판 구조물의 중립면을 유한개의 작은 영역들로 세분화시킨 하나 하나를 지칭하며, 요소 내 각 절점(node)은 한 개의 수직변형 자유도(degree of freedom)과 두 개의 회전 자유도를 가지고 있다. 평판 구조물은 두께 방향으로 변형률과 응력 성분들이 모두 0인 평면응력 상태(plane stress state)를 만족하기 때문에, 평면 요소로 구한 변위로부터 변형률과 응력을 계산하면 이 조건을 만족한다. 평판 요소는 곡면으로 되어 있는 쉘 요소(shell element)의 특수한 요소 유형이다.
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점성(viscosity)을 지니고 있는 탄성 물체를 의미하는 것으로, 콘크리트와 고무가 대표적인 재료이다. 이러한 물체는 하중을 받는 동안 변형률(strain)에 비례하여 응력(stress)이 증가하다가, 하중을 제거하는 시점부터 변형률은 일정하게 유지되지만 응력이 서서히 감소하는 특성을 나타낸다.
이러한 특성을 특별히 응력이완(stress relaxation)이라고 부르고 지수함수(exponential function) 형태의 감소 그래프를 나타낸다. 스프링 백(spring back) 현상이 하중을 제거하면 응력이 제거됨과 동시에 변형률이 어느 정도 감소하는 것과는 뚜렷이 구별된다. 점탄성 재료에 대한 역학적 모델은 스프링에 감쇠기(dashpot)를 직렬로 연결한 것으로 표현된다.
항복응력(yield stress)을 초과하는 하중상태에서의 점성효과를 점탄소성(visco-elastoplasticity)이라고 부르고, 역학적 분석이 매우 난해한 것으로 알려져 있다. 그 결과, 점탄성 해석은 대부분의 범용 유한요소해석 프로그램(general-purpose FEM program)이 지원하고 있지만, 점탄소성 해석은 일부 전용 유한요소해석 프로그램(special-purpose FEM program)에서만 제공되고 있는 실정이다.
점탄성 재료의 시간에 따른 응력이완 거동은 시간에 대한 프로니 급수 함수(Prony series function)로 표현되며, 이 함수에 포함되어 있는 프로니 상수(Prony constants)는 재료 시편을 이용한 실험 데이터를 최소자승법(least square method) 등으로 곡선 맞춤(curve fitting)을 통하여 결정된다. 따라서, 점탄성 해석은 하중이 가해지는 동안 탄성해석을 수행하여 하중이 가해지는 마지막 시점에서의 응력값을 구한 다음 이 응력값에 프로니 함수를 적용하는 방식으로 수행된다.
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유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 물체의 형상은 물체의 거동에 지대한 영향을 미친다. 특히 구멍이 물체 내부에 존재하거나 꺾어지는 부분 등이 존재하면 이러한 영역에서 물체는 특이(singular)한 거동을 나타낸다. 예를 들어, 동력을 전달하는 기어 축에 기어를 조립하기 위하여 핀(pin) 구멍을 형성하였을 경우, 이 핀 구멍 근처에는 응력집중(stress concentration) 현상이 발생한다. 또한 물체가 예리하게 꺾어져 있는 코너(corner)부나 균열(crack)과 같이 예리한 틈이 존재하는 영역 등에서도 주위와 비교하여 엄청나게 큰 응력(stress)값을 나타낸다.
이렇게 물체의 거동에 특이성을 유발하는 물체의 특수한 형상을 특징 형상이라고 부르고, 유한요소 해석에 있어 해석 결과의 정확성을 확보하기 위해 주의를 기울여야 한다. 보편적으로 특징 형상을 가진 물체영역에는 매우 작은 요소 크기(element size)로 요소망(mesh)을 생성하여야 한다. 그리고 특징 형상 부위로 갈수록 조밀한 요소망이 되도록 편향 요소망(gradient mesh)을 적용하는 것이 해석 결과의 정확성과 해석 시간의 효율성 측면에서 대단히 효과적이다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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