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힘을 받고 있는 물체 내부 각 점에서의 응력(stress)은 항상 특정한 좌표축을 기준으로 계산되는 값이다. 그 이유는 응력은 방향과 크기를 가지는 하중의 해당 지점에서의 단위 면적당 크기로 정의되기 때문이다. 따라서 좌표축이 회전하여 좌표축의 방향이 달라지면 응력 성분들의 크기도 변한다.
예를 들어 단면적이 A인 원형단면 봉의 축 방향으로 F라는 힘이 작용하고, 봉의 축 방향을 x축으로 그리고 봉의 축과 직각인 방향을 y축으로 설정한다. 그러면 x축과 직각을 이루는 단면에 발생하는 응력 성분은 x축 방향으로의 수직응력(크기=F/A)뿐이다. 하지만 좌표축을 봉의 축과 경사지게 설정하면 x축과 수직인 단면 역시 봉의 축에 경사진 단면이 된다. 따라서, 봉의 축 방향으로의 하중 F는 경사진 단면에 수직한 성분과 평행한 성분으로 분해할 수 있다. 그 결과 경사진 단면에서는 x축 방향으로의 수직응력이 감소함과 동시에 y축 방향으로 전단응력이 추가적으로 발생하게 된다.
이와 같이 좌표축이 회전하게 되면 임의 점에서의 수직응력과 전단응력의 크기는 변한다. 그리고 회전한 좌표축을 기준으로 임의 지점에서의 응력값은 이론적으로 유도할 수 있으며, 회전하기 전 좌표축에서의 응력값과 좌표축 회전각도의 함수로 표현된다. 이 함수를 평행축을 수직응력으로 그리고 수직축을 전단응력으로 하여 평면상에 도식적으로 표현한 것을 임의 지점에서의 2차원 응력상태에 대한 모어 원도라고 부른다.
이 원도는 임의 지점에서의 x축과 y축 방향으로의 수직응력의 평균값을 중심점(원도의 평행축 상에)으로 하고 최대 전단응력을 반경으로 하는 원으로 표현된다. 이 원도를 이용하면 임의 지점에서의 응력 성분들이 좌표축이 회전함에 따라 크기가 어떻게 변하는지 한 눈에 알 수 있을뿐더러, 도해적인 방식으로 임의 회전 각도에서의 응력성분들의 크기와 응력이 최대 및 최소가 되는 방향(즉, 주 방향(principal direction)과 그 값들(즉, 주 응력(principal stress))을 쉽게 파악할 수 있다. 이 모어 원도는 3차원 응력상태에도 적용이 가능한데, 3차원의 경우에는 이 원도상에 3개의 원이 그려진다. 이 원들은 x-y, y-z 및 z-x축의 회전에 따른 해당 응력성분들의 변화를 각각 도식적으로 나타낸다.
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구조물이 심한 변형을 나타낼 경우, 물체의 기하학적 형상뿐만 아니라 하중 및 모멘트의 방향이나 물성치가 바뀔 수가 있다. 그리고 이렇게 과도한 변형을 나타내는 물체의 거동은 반복계산을 필요로 하는 비선형 해석(nonlinear analysis)으로 계산하게 된다.
모든 물리적 거동은 항상 변형된 현재 시점에서의 물체의 기하학적 영역 상에서 정의되는 값이기 때문에, 원칙적으로 현재 시점에서의 변형된 물체의 형상을 기준으로 계산되어야 한다. 이러한 측면에서 업데이티드 라그랑지 기법은 매 반복계산에 있어 현재 변형된 물체의 형상을 기준으로 다음 시점에서의 물체 거동을 구하는 비선형 해석기법이다. 따라서 이 기법에서는 초기 물체형상을 기준으로 다음 시점에서의 물체의 거동을 계산하고, 이 계산 결과를 이용하여 물체의 형상 및 하중 그리고 모멘트를 수정한 후, 수정된 물체의 형상 및 하중을 기준으로 다음 시점에서의 거동을 순차적으로 계산한다.
이 기법은 항상 초기 변형되기 전 물체의 형상을 기준으로 반복계산을 통해 물체의 거동을 계산하는 토탈 라그랑지언 기법(total Lagrangian method)과 현저한 차이를 나타낸다. 토탈 라그랑지언 기법에서는 변형된 물체의 형상, 하중, 변형률(strain), 응력(stress) 등을 모두 변형되기 전 초기 물체의 형상으로 변환시켜야 하는 어려움이 있다. 하지만 업데이티드 라그랑지언 기법에서는 이러한 변환에 따른 어려움이 전혀 없지만, 형상을 계속해서 갱신하는 과정에서 필연적으로 수치적인 오차가 수반되는 단점을 지니고 있다.
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임의 물체에 외부로부터 힘이나 열과 같은 자극을 가한다는 것은 물리적인 관점에서 물체에 일 혹은 에너지를 공급하는 것이다. 그렇다면 이렇게 외부로부터 공급된 일이나 에너지는 물체를 변형(deformation)시키거나 온도를 높게 한다. 여기서는 단지 힘과 열에 대해서만 언급하였지만 외부로부터 공급되는 일이나 에너지의 유형은 매우 다양하다.
만일 공급된 일이나 에너지가 어떠한 형태로든지 빠져나가지 않고 저장된다면 일과 에너지는 보존된다고 말하고, 이러한 경우를 보존적(conservative)이라고 정의한다. 그리고 내부에 보존된 일과 에너지는 외부에서 작용하는 힘이나 열적 자극이 제거되면 물체를 원래 상태로 복원시키는데 사용된다. 예를 들어, 금속판을 힘으로 굽히는 박판 성형에 있어, 외부에서 가한 일은 물체의 변형에 따른 변형률 에너지(strain energy)로 축적된다. 그리고 이렇게 축적된 변형률 에너지는 외부의 힘이 제거되었을 때 금속판을 원래 상태로 복원시키는 내력(internal force)으로 소모된다.
하지만, 실제 상황에 있어서는 외부로부터 공급된 일이나 에너지는 모두 저장되지 않고 일부는 빠져나가게 된다. 변형률 에너지 밀도(strain energy density)란 외부 힘에 의하여 변형되는 물체 내부에 저장되는 단위 체적당 변형률 에너지로 정의된다. 그리고 이러한 변형률 에너지 밀도의 양을 수학적인 함수형태로 표현한 것을 변형률 에너지 밀도 함수라고 부른다. 변형률 에너지 밀도 함수는 주로 변형률 불변량(strain invariant)과 물체에 따라 달라지는 고유상수들로 표현되며, 고유상수들은 시편시험을 통해 결정된다.
대표적인 경우로 고무와 같은 초탄성 재료(hyperelastic material)를 위한 문리-리브린(Moonley-Rivlin), 오거던(Ogden), 여(Yeoh) 함수를 들 수 있다. 변형률 에너지 밀도함수를 변형률로 미분을 취하게 되면 응력(stress)을 구할 수 있기 때문에, 초탄성 재료의 재료 물성치(material property)는 이 밀도함수로 유한요소 해석 프로그램에 입력된다.
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고무와 같은 초탄성 재료(hyperelastic material)가 하중을 받아 그 내부에 축적되는 변형률 에너지 밀도(strain energy density)를 수학적으로 표현한 대표적인 재료 물성치(material property) 모델이다. 이 물성모델은 변형률과 물질의 고유한 상수의 곱으로 표현되며 수학적 표현식의 차수에 따라 1차, 2차 및 고차 모델로 분류된다.
이 물성 모델에 포함되어 있는 고유한 상수를 문리-리브린 상수(Moonley-Rivlin constants)라고 부르며, 고무 시편을 이용하여 실험적으로 구한 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)로부터 결정할 수 있다. 고무와 같은 초탄성 재료의 응력-변형률 선도는 거의 대부분 S자 형태로 증가하는 곡선형태를 나타낸다. 하중을 받고 있는 초탄성 재료 내부의 임의 지점에서의 응력(stress)은 문리-리브린 모델로 표현되는 그 지점에서의 변형률 에너지 밀도를 그 지점에서의 변형률로 나눔으로써 계산할 수 있다.
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단면이 정사각형인 길다란 나무를 길이 방향으로 잡아당기면 단면 상의 모든 부분은 일정한 길이만큼 늘어난다. 반면 나무의 양 끝을 잡고 구부리면 일정한 반경을 가진 원모양으로 휘어진다. 이렇게 휘어진 나무의 단면을 세심하게 관찰하면, 단면의 일정 부분은 늘어나는 반면 나머지 부분은 압축된다. 그리고 단면 상에서 늘어나지도 줄어들지도 않는 특정한 부분이 존재한다.
다시 말해, 단면 상의 이러한 특정한 부분을 중심으로 늘어나는 부분과 줄어드는 부분이 나뉘게 되고, 늘어나거나 줄어드는 량도 이 부분으로부터 수직한 거리에 비례한다. 단면 상의 이 부분을 가느다란 나무의 길이방향으로 연장시키면 하나의 직사각형 면이 되는데, 이 면을 중립면이라고 부른다. 단면이 정사각형 혹은 원으로 되어 있는 동일한 재질의 경우라면, 중립면은 단면의 중간면(mid surface)과 일치할 것이다. 하지만 단면의 모양이 상하 그리고 좌우로 대칭이 아니거나 두 가지 이상의 재료로 구성된 복합재(composite material)인 경우에는 중립면과 중간면은 더 이상 일치하지 않는다.
중립면의 중앙에 해당하는 중심선을 중립축(neutral axis)이라고 부르고, 가느다란 나무의 기하학적 중심축과 일치할 수도 그렇지 않을 수도 있다. 앞서 말한 바와 같이 단면이 좌우 혹은 상하 대칭이 아니거나 복합재로 되어 있는 경우에 중립축과 중심축은 일치하지 않는다.
중립축과 중립축은 굽힘을 받는 물체의 변형(deformation), 변형률(strain), 응력(stress), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 및 면적 관성모멘트(area moment of inertia) 계산을 위한 기준이 되는 면이나 선이 된다.
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물체에 힘을 점진적으로 작용시키면 비례한도(proportional limit)라 불리는 응력값 까지는 물체가 늘어나는 변형률(strain)과 내부 저항력인 응력(stress)은 비례적인 관계에 있다. 그리고 이 지점보다 더 큰 힘을 가하게 되면 항복점(yielding point)라 불리는 응력값에 도달하여 힘을 제거하여도 물체는 어느 정도 영구적인 변형을 일으킨다.
이론적으로 항복값은 물체가 잡아당기는 힘을 받을 때나 압축시키는 힘을 받는 두 경우에 있어 동일한 크기여야 한다. 하지만 물체를 항복점을 초과하여 하중을 가한 다음 역으로 압축시키는 교번하중을 받는 경우, 압축하중에 의한 항복은 이론적인 항복값보다 낮은 압축응력에서 발생한다. 이러한 현상을 바우싱거 효과라고 부른다. 따라서 물체는 인장과 압축을 반복해서 받게 되면 보다 낮은 하중에서도 영구적인 변형을 일으킬뿐더러 쉽게 파괴될 수 있다.
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유한요소해석(finite element analysis)을 수행한다는 것은 대상이 되는 해석문제를 표현하는 수학적 표현식을 행렬방정식으로 변환하여 물체의 거동을 근사적으로 구하는 것이다. 그런데 행렬방정식을 풀어서 구한 값들은 일반적으로 요소망(mesh) 내 각 절점(node)에서의 물체의 거동값에 해당된다. 예를 들어 열전달 해석으로 구한 수치값들은 대상이 되는 물체의 요소망 내 각 절점에서의 온도를 나타낸다.
이처럼 요소망 내 각 절점에서의 값들을 절점 값이라고 부르고, 값의 유형에 따라 절점 변위(nodal displacement), 절점 온도(nodal temperature), 절점 하중(nodal force) 등으로 명명된다. 행렬방정식을 풀어서 구한 수치값이 각 절점에서의 값이 되는 것은 물체의 거동을 근사화 하기 위해 사용되는 기저함수(basis function)의 특성 때문이다.
유한요소 해석에 사용되는 대부분의 기저함수는 자신의 번호와 일치하는 절점에서는 1의 값을 가지는 반면 나머지 모든 절점에서는 0의 값을 가지게 된다. 만일 기저함수가 이러한 특성을 지니고 있지 않다면 행렬방정식으로부터 구한 값이 곧바로 절점에서의 거동값을 나타내지 않는다. 이러한 경우에는 거동에 대한 근사식에 해당 절점의 좌표값을 대입하여 그 절점에서의 값을 계산해 내어야 한다.
한편, 변형률(strain)이나 응력(stress)은 절점에서 그 값을 계산하지 않고 행렬의 수치적 적분(numerical integration)을 위해 사용되는 적분점(integration point)에서 그 값을 계산한다. 그 이유는 이러한 값들은 절점에서 계산하는 것보다 적분점에서 계산하는 경우가 보다 정확하기 때문이다.
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공간 상에서 특정한 위치를 정의하기 위해서는 기준이 되는 점과 두 위치 사이의 상대적인 거리가 필요하다. 기준이 되는 점을 원점(origin)이라고 부르고, 상대적인 거리는 좌표값으로 표현된다. 여기서 좌표값은 서로 직교하는 세 방향으로의 거리의 성분들로 표현된다. 참고로, 이 경우는 3차원 공간에 대한 설명이고 1 및 2차원 공간에 있어서는 각각 한 방향 혹은 서로 직교하는 두 방향으로의 거리의 성분들로 표현된다.
이처럼 원점과 서로 직교하는 방향축으로 구성된 것을 특별히 좌표축이라 부른다. 예를 들어, 서울역을 원점으로 하고 부산으로 향하는 방향과 하늘을 향하는 방향을 두 개의 직교하는 축으로 설정하면 나머지 한 축은 서로 직각이어야 하는 조건에 의해 자동적으로 정의되고, 이 좌표축을 이용하면 서울역을 중심으로 한 상대적인 위치를 표현할 수 있다. 만약 원점은 그대로 두고 세 방향을 회전시키면 새로운 좌표축이 정의된다. 물론 새로운 세 방향은 서로 직각이 되어야 한다.
이러한 좌표축은 공학분야에 있어 필수적이다. 물체 내 한 점에서의 응력(stress)은 좌표축의 회전에 따라 그 값들이 변한다. 또한 물체의 변형률(strain), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 그리고 단면의 면적 관성모멘트(area moment of inertia)도 계산의 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 그 값들이 변한다.
그리고 이러한 물리량들은 특정한 좌표축 의 방향에서 최대 및 최소값을 가지게 되는데, 이 특정한 좌표축 방향을 주축이라고 부른다. 참고로, 주축에서의 최대 및 최소 응력값을 주 응력(principal stress)이라고 부른다. 만약 응력값이 아니고 질량 혹은 면적 관성모멘트라면 최대 및 최소값을 주 관성모멘트(principal moment of inertia)라 부르고, 변형률이라면 주 변형률(principal strain)이라고 지칭한다.
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선풍기나 풍력 발전기에는 크기와 형상이 동일한 3~4개의 날개가 동일한 각도 차이로 원주방향으로 설치되어 있다. 형상, 크기 그리고 재질이 동일할뿐더러, 날개에 작용하는 풍압이나 원심력 또한 동일하다. 따라서, 이러한 회전체에 발생하는 변형(deformation)이나 응력(stress) 역시 각 날개에 있어 동일하기 때문에, 날개 전체를 대상으로 유한요소 해석을 수행할 필요는 없다.
하지만, 이러한 회전체는 회전 중심축에 대하여 완전한 축대칭(axisymmetry)은 아니기 때문에, 2차원 축대칭 모델로 간략화 시킬 수는 없다. 그래서 이렇게 원주방향으로 동일한 형상이 주기적으로 반복되는 물체를 효과적으로 해석하기 위한 기법이 바로 순환대칭이다. 순환대칭에서는 축 방향으로 주기적인 형상의 한 부분을 해석의 대상으로 하기 때문에 축대칭 모델과는 달리 3차원 모델에 해당된다. 그리고 축 방향으로 절단이 되는 두 면에는 대칭 경계조건(symmetry boundary condition)을 적용해야 한다.
순환대칭은 앞서 예를 든 선풍기나 풍력발전기 팬 이외에도 제트엔진의 터어빈, 차륜 등과 같은 각종 회전체의 해석을 위해 유용하게 사용될 수 있다. 하지만, 순환대칭은 고유진동(free vibration) 해석에는 적용할 수가 없다. 왜냐하면, 형상은 순환대칭일지라도 이 모델로는 순환대칭이 되지 않는 고유모드(natural mode)들을 이 모델로는 구할 수 없기 때문이다.
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