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물체에 힘을 가하면 물체의 형상이 변하는 변형(deformation)이 발생한다. 그리고 물체 내부에는 외력에 저항하는 응력(stress)이 발생함과 동시에 원래 상태로 복원시키려는 복원 에너지가 축적된다. 이처럼 물체의 변형에 따라 물체 내부에 축적되는 복원 에너지를 변형률 에너지라고 부른다. 변형률 에너지는 물리적으로 일(work)과 동일한 단위(unit)를 가지며, 물체 내부의 응력과 변형률의 곱을 물체 전체에 걸쳐 합한 값으로 계산된다.
변형률 에너지는 물체에 가해진 힘이 제거되면 물체를 변형 전 모양으로 복원시키면서 소멸된다. 물체에 작용하는 힘에 의한 총 일의 일부는 물체를 영구적으로 변형시키는 소성변형(plastic deformation)에 사용되고 나머지가 변형률 에너지로 축적된다. 물체 단위 체적당의 변형률 에너지를 변형률 에너지 밀도(strain energy density)로 정의하고 이 값은 물체내 임의 한 점에서의 응력과 변형률의 곱으로 계산된다.
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아무리 작은 물체라고 하더라도 어느 정도의 체적을 갖는 3차원(three dimension) 형상으로 되어 있다. 하지만 물체가 길이에 비해 나머지 두 방향으로의 크기가 상대적으로 작은 경우에는 특징적인 물체 거동을 나타낸다. 예를 들어 축 방향으로의 길이에 비해 단면적이 상대적으로 작은 가느다란 막대를 굽히는 경우를 생각해 보자. 굽힘(bending)에 따른 막대의 전체적인 변형 형상(deformed shape)은 막대 중심축의 변형 형상과 거의 일치한다.
다시 말해, 변형 후 막대의 곡률반경은 중심축에서나 막대의 안 그리고 바깥 면에서 거의 동일하다. 그리고 중심축과 막대 테두리에서의 변형, 변형률(strain) 그리고 응력(stress)의 차이는 선형적으로 가정할 수 있다. 이러한 기하학적 그리고 거동적 특징을 나타내는 물체는 박판 구조물(thin-walled structure)의 일종으로 취급된다. 그리고, 유한요소 해석(finite element analysis)을 위한 요소망(mesh) 생성에 있어 3차원 요소를 사용하지 않고 단지 중심축을 유한 개의 선 요소를 사용하여 세분화 시킨다.
그 결과 물체의 기하학적 형상은 3차원일지라도 요소망 자체는 1차원으로 표현된다. 그리고 막대의 두께, 단면정보 그리고 두께 방향으로의 선형적 변위(displacement)는 미리 계산되어 강성행렬(stiffness matrix)과 질량행렬(mass matrix)에 반영된다. 그리고 계산결과를 토대로 두께 방향으로의 거동의 변화는 중심축의 거동 값과 선형적 가정을 이용하여 구할 수 있다.
선 요소에는 형상적인 측면에서 직선과 곡선 요소로 나눌 수 있고, 절점의 자유도에 따라 보 요소(beam element), 봉 요소(rod element), 링크요소(link element), 강체 요소(rigid element)로 구분된다.
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물체의 거동을 수치해석(numerical analysis)을 통해 근사해(approximate solution)를 구하게 되면 물체 내 각 위치에서의 거동값이 숫자 형식의 데이터로 제공된다. 하지만 숫자 형식의 데이터로는 물체의 거동을 명확하게 분별할 수가 없기 때문에, 근래에는 컴퓨터 그래픽스 기술을 활용하여 가시화하는 후처리 작업(post-processing)이 보편화 되어 있다. 물체의 거동을 가시화하는 방법에는 색상범례(color spectrum)를 이용한 윤곽출력(contour plot)이 일반적이다. 윤곽출력은 변형률(strain)이나 응력(stress)분포를 나타내기에는 적합하지만, 물체 운동의 방향이나 크기를 나타내기에는 부적합하다. 예를 들어, 공기나 물의 유속을 윤곽출력으로 가시화하면 유속이 빠른 부분과 느린 부분은 명확히 구분할 수 있으나, 전반적인 흐름을 분간하기는 매우 어렵다. 이러한 경우에 효과적으로 사용되는 가시화 방법이 바로 벡터 출력이다.
일반적으로 벡터 출력은 윤곽출력 위에 물체 움직임 방향과 크기를 표현하기 위해 화살표를 추가한 가시화 방법이다. 물체 움직임 방향은 화살표가 향하는 방향으로 그리고 움직임의 크기는 화살표의 상대적인 길이로 표현된다. 벡터 출력은 유동(flow), 전자기장(electro magnetic field) 등과 같이 흐름을 수반하는 수치해석 문제의 가시화를 위해 주로 사용되고 있다.
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공기나 물의 흐름에 있어서 주된 관심사는 그 속도나 온도, 압력, 밀도의 변화이고, 물체 내 열의 전달에서는 온도의 변화에 관심을 가지게 된다. 이러한 물리량은 시간뿐만 아니라 공간 상의 위치에 따라서도 변하게 되는데, 시간에 따른 변화 정도를 시간이력(time history)으로 그리고 공간에 따른 변화를 해당 물리량의 분포라고 부른다.
그런데 이렇게 흐름에 수반된 물리량은 공간상에서 고정된 각 지점에서 측정한 값으로 나타내는 것이 편리하다. 물론 계속해서 움직이는 공기나 물의 입자를 따라 물리량을 측정하여 표현할 수도 있지만 표현하는 방법이 어려울뿐더러 이렇게 표현된 물리량은 이해하기가 쉽지 않다.
물체나 매질의 흐름에 따른 물리량을 공간 상에 고정된 각 위치를 기준으로 표현하는 방법을 오일러 기술법, 그리고 물체 내 각 입자를 따라 표현하는 방법을 라그랑지 기술법(Lagrange description)이라고 정의하고 있다. 후자는 구조물과 같은 고체의 변형에 따른 변형률(strain)이나 응력(stress) 등을 표현하는데 주로 사용되는 반면, 전자는 유체 유동, 열유동(thermal flow), 전자기력과 같이 공간 상의 흐름과 연관된 물리량을 표현하는데 주로 사용된다.
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오차(error)를 정성(qualitative)적으로 분석하거나 정량(quantitative)적으로 계산하는 것을 총칭하여 오차평가라고 부른다.
정성적으로 분석한다는 것은 실제 정확하지 않은 결과가 나오기 전에 적용할 해석조건(혹은 해석 파라메터)에 따라 오차가 어떻게 될 것인가를 미리 예측하는 것을 의미한다. 미리 예측한다는 의미에서 정성적인 평가를 특별히 선 오차평가(a priori error estimation)라고 부른다. 실제로 정확하지 않은 결과를 아직 구하지 않았기 때문에 정량적으로 오차를 계산할 수는 없다. 하지만 정확하지 않은 결과를 구하기 위해 적용할 조건들을 기준으로 오차의 상한과 하한 그리고 조건들에 따른 오차의 경향 등을 수학적으로 분석한다.
정량적 오차평가는 정확하지 않은 결과를 구한 다음 정확한 답과 비교하여 정량적인 오차 값을 구하는 것이다. 정확하지 않은 결과를 구한 다음 오차를 평가한다는 측면에서 이 것을 후 오차평가(a posteriori error estimation)라고 부른다. 자연 현상에 대한 정답을 구하기가 어렵기 때문에 정확한 답을 모르는 경우가 거의 대부분이다. 따라서 후 오차평가를 위해서 정답에 준하는 답을 구해내어야 한다.
유한요소 해석(finite element analysis)의 경우, 정답에 가까운 답을 구하기 위하여 몇 가지 기법들이 사용되고 있다. 한편, 오차를 계산하기 위한 기준이 필요하며 이 기준은 해석의 목적에 따라 결정된다. 예를 들어 물체의 변형(deformation), 변형률(strain) 및 응력(stress)을 계산하는 경우를 생각해 보자. 물체 내 최대 변형값의 차이를 오차로 정의할 수도 있고, 최대 응력값의 차이를 오차로 정의할 수 있다. 전자의 경우는 물체의 최대 변형이 관심이 되는 경우이고 후자는 물체의 강도가 관심이 되는 경우이다.
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강재와 같이 결정체로 이루어진 금속이 외부로부터 하중을 받아 영구적인 변형, 즉 소성변형(plastic deformation)을 일으키는 응력(stress)의 크기를 항복응력(yield stress)이라고 한다. 그리고 소성변형에 따라 금속 내부 결정체의 미끄러짐 혹은 전이(dislocation)에 의해 항복응력이 증가하는 현상을 재료의 경화(hardening)라고 부른다.
임의 물체의 항복은 한 방향으로의 응력 성분만의 크기로 결정되는 것이 아니라, 직교하는 3축 방향으로의 응력성분들의 조합에 의해 결정된다. 3차원 공간 상에서 X, Y 그리고 Z축을 설정하고 항복이 시작되는 응력의 상태를 나타내면 구(sphere) 혹은 다각형(polygon) 형상의 곡면이 된다. 그리고 이 곡면을 특별히 항복곡면(yielding surface)이라고 부른다.
물체 내 임의 지점에서의 응력상태가 이 구 혹은 다각형 내부에 속한다면 그 지점은 아직 항복이 발생하지 않은 탄성영역 내에 있다. 하지만 물체 내 어떤 지점에서의 응력상태가 이 항복곡면 외부에 속한다면 이 지점에서는 이미 항복이 시작되었다. 그런데 앞서 언급한 재료의 경화가 발생하면 이 항복곡면은 팽창하게 되에 항복응력이 증가하게 된다.
항복곡면이 팽창하는 형태는 모든 방향으로 같은 크기로 팽창하는 경우, 각 방향으로 각기 다른 크기로 팽창하는 경우, 그리고 곡면의 크기는 일정한 채 그 중심이 이동하는 경우로 구분할 수 있다. 첫 번째 경우를 등방성 경화(isotropic hardening), 두 번째 경우를 이방성 경화(anisotropic hardening), 그리고 마지막 경우를 이동성 경화라고 부른다. 그리고 이러한 경화 거동을 수학적으로 표현한 모델을 경화법칙(hardening rule)이라고 부르며, 이동 경화를 수학적으로 표현한 수식을 이동 경화법칙이라고 한다.
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물체에 힘을 가하면 그 내부에는 힘의 크기에 상당하는 응력(stress)이 발생한다. 역학적인 측면에서 응력은 물체 변형의 정도를 나타내는 변형률(strain)의 크기와 상관관계를 맺고 있으며, 이 상관관계는 물체의 재료 물성치(material property)를 통해 표현된다.
응력이완이라 함은 물체에 힘을 가하여 그 상태를 유지하고 있더라도 물체 내부의 응력이 시간과 더불어 감소하는 거동을 의미한다. 응력이완은 소성변형(plastic deformation) 된 물체가 하중을 제거하면 탄성에 해당하는 응력성분이 제거되면서 변형량이 다소 감소하는 스프링 백(spring-back)과는 뚜렷한 차이를 나타낸다. 그리고 하중 즉 응력이 일정하게 유지되더라도 변형률이 시간과 더불어 지속적으로 증가하는 크리프 현상(creep phenomenon)과도 구별되는 거동이다.
응력이완은 고무나 콘크리트와 같이 점탄성(viscoelasticity) 혹은 점탄소성(visco-elastoplasticity)을 지니는 재료에서 발견할 수 있는 거동으로 탄성영역에서의 응력이완과 소성영역에서의 응력이완으로 구분할 수 있다. 전자의 경우는 물체 내 응력이 탄성범위에서 이완되는 반면 후자는 소성범위에서의 응력이 감소하는 거동을 일컫는다. 응력이완에 대한 수치해석은 매우 난해하기 때문에 해당 재료의 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)의 시간에 따른 변화를 실험적으로 측정하여 근사적으로 계산하는 방법이 많이 사용되고 있다. 시간함수로 표현되는 프로니 급수(Prony series)를 이용한 근사기법이 대표적인 예이다.
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특정한 공간이나 시간 영역내 각 지점에서의 값들을 연결하면 하나의 선, 곡선 혹은 곡면이 된다. 이와 같이 특정한 구간 내 각 점에서 값들을 이용하여 연속적인 함수를 구하는 것을 보간(interpolation)이라 하고 이렇게 구한 함수를 보간함수(interpolation function)라고 부른다. 이와는 달리 특정한 구간 내에 존재하는 각 지점에서의 값들을 이용하여 이 구간 바깥에 존재하는 특정 지점까지 연속된 함수를 구하는 것을 외삽이라고 하고 이렇게 구한 함수를 외삽함수(extrapolation function)라고 부른다.
보간이나 외삽은 서로 떨어져 있는 점들에서의 값, 다시 말해 데이터(data)를 연속적인 함수로 표현한다는 점에서는 공통점을 지니고 있다. 하지만 함수로 나타내어야 할 DATA가 존재하는 영역 내부에 한정되어 있느냐 그렇지 않느냐에 따라 뚜렷한 차이점을 나타낸다. 보간이나 외삽은 실험으로 구한 각종 DATA를 연속적인 함수로 변환하고자 할 경우 주로 사용된다.
유한요소 해석(finite element analysis)에서 화면상에 출력되는 변형, 변형률(strain) 및 응력(stress)의 칼라 분포도 역시 요소망(mesh) 내 각 절점(node)에서의 값들을 보간 혹은 외삽하여 연속적인 분포로 보여주는 것이다. 보간이나 외삽을 위해서는 각 점에서의 값들을 직선으로 연결하는 가장 단순한 방법에서부터 최소자승법(least square method)에 이르기 까지 다양한 방법들이 사용되고 있다.
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물체가 외부로부터 힘을 받을 때 저항하려는 물체 내부의 단위면적당의 힘인 응력은 물체 내부의 각 위치에 따라 변한다. 또한 한 지점에 있어서도 응력 값은 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 변한다. 이 것은 응력이 크기뿐만 아니라 방향을 가지는 힘을 단위면적으로 나눈 값으로 정의되기 때문이다.
3차원의 경우, 세 축 방향으로의 수직응력(normal stress)과 서로 다른 두 축 사이의 전단응력(shear stress)의 6개로 총 9개의 응력성분이 존재한다. 수직응력 3개의 합을 제 1 응력 불변량이라고 부르며, 순수하게 물체를 압축 혹은 팽창시키는 역할을 한다. 이 외에 제 2 그리고 제 3 응력 불변량이라고 불리는 것들이 있는데, 이 것들은 물체의 영구변형(즉 소성변형(plastic deformation))을 판단하는데 주로 사용된다. 이 세 개의 값들은 설정한 좌표축의 방향과는 무관하게 물체 내 각 지점에서는 항상 일정한 값을 가지기 때문에 특별히 응력 불변량이라고 부른다.
예를 들어 물 속에 잠겨있는 공 모양의 물체가 수압을 받고 있다면, 이 물체 내부의 한 지점에서의 제 1응력 불변량은 수압과 동일하다. 그리고 이 물체는 찌그러짐이 전혀 없이 공 모양을 유지한 채 순수하게 압축만 되기 때문에 전단응력이 전혀 존재하지 않는다. 따라서 제 2 그리고 제 3 응력 불변량은 영이 되어 영구변형이 발생할 가능성은 전혀 없다. 한편, 제 1 응력 불변량은 영이고 나머지 두 응력 불변량이 존재하는 경우에는 물체가 압축되거나 팽창되지는 않고 물체형상의 찌그러짐만이 발생한다. 그 결과, 이 물체는 외부 하중의 크기에 따라 영구변형이 발생할 가능성이 높다.
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