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어떠한 물체의 거동을 컴퓨터를 활용하여 재현하는 것을 컴퓨터 응용 시뮬레이션(computer-aided simulation)이라고 부른다. 이러한 시뮬레이션에 있어서 대상 물체의 형상을 컴퓨터 모니터 상에 가시화하기 위해서는 그 형상을 화면 상에 재현해야 한다.
이러한 가시화를 위한 제반 작업을 형상 모델링이라고 한다. 대상이 되는 물체의 형상 모델링은 물체 각 지점의 좌표 값으로 구현이 되고, 이러한 작업을 전문적으로 처리하는 소프트웨어를 총칭하여 CAD(computer-aided design) 프로그램이라고 한다. CAD 프로그램의 주요 기능은 물체 형상의 가시화, 도면화, 구성 부품들의 조립과정 분석, 실제 제작을 위한 형상 데이터 제공, 부품 및 조립품의 동작상태 재현 등이다. 하지만, 일부 CAD 프로그램에는 이러한 기능들 외에 변형(deformation), 응력(stress), 온도분포 등과 같은 물체의 거동을 수치해석(numerical analysis)적으로 분석하는 유한요소해석 기능이 포함되어 있다.
이처럼, CAD 프로그램에 탑재되어 있는 유한요소 해석 프로그램을 특별히 CAD내재 해석시스템이라고 부른다. 하지만 CAD 기능이 주가 되고 해석이 차지하는 비중은 상대적으로 낮다. 이러한 시스템은 CAD 프로그램에서 바로 유한요소 해석(finite element analysis)을 수행할 수 있다는 간편함을 제공하지만, 해석 기능이 주가 아니기 때문에 유한요소 해석의 유형과 범위가 한정적이라는 단점을 안고 있다.
참고로 유한요소 해석시스템은 크게, 오픈형 해석시스템(open system), 통합형 해석시스템(integrated analysis system) 그리고 CAD내재 해석시스템으로 구분된다.
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임의 단면을 가진 가느다란 물체에 힘을 가하여 잡아당기면 물체는 힘을 받는 방향으로 늘어난다. 그리고 프와송 효과(Poisson’s effect)에 의하여 물체의 단면적은 감소한다. 외부 하중에 저항하는 물체 내부의 저항력인 응력(stress)은 하중을 물체의 단면적으로 나눈 값으로 정의된다. 하지만 물체의 단면적은 하중이 증가할수록 점차적으로 감소한다.
가느다란 금속 판을 한 방향으로 하중을 가하여 응력을 측정하는 경우를 예로 들어 보자. 물체의 단면적을 물체가 변형되기 전 초기 단면적으로 외부 하중을 나누어 응력값을 계산하는 방법과 변형에 의해 감소된 실제 단면적으로 응력값을 계산하는 두 가지 방안이 있을 수 있다. 전자의 방법으로 구한 응력을 공칭응력이라고 부르고, 후자의 방식으로 구한 응력을 진응력(true stress) 이라고 부른다. 당연히 진응력이 정확한 의미의 응력이고, 변형이 커질수록 두 값의 차이도 커진다. 특히, 물체가 끊어지기 직전에는 단면적이 매우 작아지기 때문에 진응력은 매우 큰 값이 되는 반면 공칭응력은 단면적의 감소를 반영하지 않기 때문에 하중 증가만큼 증가할 뿐이다.
하지만 실제 상황에서 이처럼 극단적인 경우는 그다지 많지 않고, 대부분의 경우 변형량은 크지 않다. 따라서 공칭응력을 많이 사용하고 있는 실정이다. 유한요소 해석(finite element analysis)에서 선형해석으로 구한 응력값은 공칭응력에 해당되고, 비선형 해석(nonlinear analysis)으로 구한 응력은 진응력에 해당된다고 볼 수 있다. 왜냐하면, 전자는 변형되기 전 초기 물체의 형상을 기준으로 단 한번의 계산으로 응력을 구하기 때문에 물체의 변형이 반영될 수 없다. 하지만 비선형 해석에서는 하중을 조금씩 증가시키면서 반복적으로 변형률(strain)과 응력을 계산하기 때문에 물체의 변형이 반복계산 과정에서 반영될 수 있기 때문이다.
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금속과 같이 외부 하중이 증가하면 변형(deformation)이 현저하게 발생하는 연성재료(ductile material)의 거동은 탄성과 소성으로 특징지어 진다. 외부 하중에 따른 물체 변형률(strain)의 증가에 선형적으로 응력(stress)이 증가하는 탄성영역에서는 물체의 거동을 쉽게 표현할 수 있다. 응력-변형률 선도(stress-strain diagram) 상의 기울기, 즉 영률(Young’s modulus)이라 불리는 탄성계수(elastic modulus)만으로 충분하다.
하지만 물체의 거동이 소성영역 내에 있게 되면 단순히 탄성계수만으로는 물체의 거동을 표현할 수 없다. 왜냐하면 응력-변형률 선도가 더 이상 직선이 아닐뿐더러, 하중부여 및 제거에 따른 변형률 경화(strain hardening) 등에 따라 물체의 거동을 제대로 표현하기 위해서는 보다 많은 변수들과 이들에 의해 표현되는 복잡한 소성모델(plastic model)이 필요로 하게 된다. 간단한 예로 탄성영역에서는 변형에 대한 물체의 강성이 탄성계수로 표현될 수 있지만, 소성영역에서는 탄성계수 이외에 소성계수(plastic modulus), 경화계수(hardening modulus) 등의 추가적인 변수들이 요구된다.
소성모델이란 소성영역에서 물체의 응력-변형률 관계를 표현하는 수학적 표현식으로써, 이 모델을 통해 소성변형을 계산할 수 있을뿐더러 소성과 관련된 각종 계수를 유도할 수 있다. 대표적인 소성모델로 선형, 이중선형, 삼중성형, 다중선형(multi-linear) 및 거듭제곱법 모델(power law model)이 소개되어 있다.
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물체의 기하학적 형상과 외부하중 및 구속조건이 동일하더라도 물체를 구성하는 재질이 달라지게 되면 물체의 거동 역시 달라지게 된다. 가장 단순한 예로 유리로 만들어진 물체와 플라스틱으로 만들어진 형상이 동일한 두 물체를 생각해 보면, 전자의 경우는 변형없이 금이 가거나 깨어지는 반면, 후자는 깨어지는 일은 발생하지 않고 모양이 현저하게 찌그러지게 된다.
이처럼 동일한 기하학적 형상 그리고 외부하중 및 구속조건에 대하여 재질이 달라지면 그 거동이 변하는 것은 물체를 구성하는 재료의 고유한 성질 때문이다. 그리고 이러한 재료의 고유의 특성을 역학적으로 표현한 것을 재료 모델이라고 부른다.
재료 모델은 물체 거동의 유형에 따라 다양한 종류가 존재하지만, 공통적인 특징은 상태변수(state variable)와 이 변수로부터 계산되는 거동값과의 관계를 나타내는 관계식, 즉 구성방정식(constitutive relation)이라는 점이다. 예를 들어 후크의 법칙(Hooke’s law)은 구조물의 선형 정적(linear static) 거동에 따른 변형과 응력(stress)의 관계를 나타내는 구성방정식이다. 그리고 탄성의 범위를 초과한 소성변형(plastic deformation)의 경우에는 다양한 유형의 소성모델(plastic model)이 소개되어 있다.
이와 같이 특정한 재질이 외부 하중에 대하여 나타내는 특정한 거동을 수학적으로 표현한 구성방정식들을 총칭하여 재료모델이라고 부른다. 고무와 같은 초탄성 재료(hyperelastic material)의 변형률-응력 관계식을 나타내는 문리-리브린 모델(Moonley-Rivlin model)도 하나의 재료모델에 해당된다.
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물체의 진동을 억제시키려는 성질인 감쇠(damping)의 한 유형으로 구조물 자체의 재료 특성에 기인한다. 예를 들어 금속판에 고무와 같은 재질을 코팅하게 되면 금속판의 진동은 급격히 억제된다. 이 경우, 금속판의 진동이 억제되는 이유는 금속판이 아래 위로 진동하려는 운동에너지가 고무층의 전단 변형률(shear strain)에 의한 히스테리시스 손실(hysteresis loss)로 대부분 소모되기 때문이다.
히스테리시스 손실이란 변형률(strain)에 의해 야기되는 응력(stress)이 변형률에 비해 시간적으로 어느 정도 지연되기 때문에 발생하는 에너지 손실로써, 구조물뿐만 아니라 전자기 문제를 위시한 많은 자연계 거동에 수반되는 특수한 현상이다. 예를 들어, 자동차 타이어는 주행 시 변형에 따른 히스테리시스 손실에 의하여 자동차 운동에너지의 일부를 소모시켜 연비를 저하시킨다. 다른 한편, 지진이나 진동에 의한 구조물의 구조안정성 저하나 소음을 방지하기 위한 방진 혹은 방음재는 이러한 구조 감쇠를 유용하게 활용한 예에 해당된다.
이러한 구조감쇠를 수치해석에 반영하는 방법에는 크게 두 가지 기법이 사용되고 있다. 첫번째 방법은 실험으로 구한 손실계수(loss factor)와 전단 탄성계수(shear modulus)의 곱을 복소수로 하여 복소 전단 탄성계수를 도입하는 것이고, 두번째 방법은 손실계수를 탄성계수(elastic modulus)에 곱한 값을 복소수로 하여 복소 탄성계수를 도입하는 방법이다. 일반적으로 전자의 기법이 주로 사용되고 있다.
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구조물이 힘이나 모멘트를 받으면 그 형상이 변함과 동시에 내부에는 저항력인 응력(stress)이 발생하게 된다. 그런데, 물체의 변형(deformation)과 응력은 항상 특정한 관계를 유지하고 있다. 우리가 잘 아는 바와 같이 응력은 변형의 정도를 나타내는 변형률(strain)에 물체의 강성을 곱한 값으로 표현되고, 이 관계를 후크의 법칙(Hooke’s law)이라고 부른다. 이 법칙을 구조물의 변형과 응력과의 관계를 구성하는 구성 방정식이라고 부른다. 이러한 구성 방정식은 보존법칙(conservation law)과 더불어 물체 거동에 대한 수학적 표현식을 유도하기 위해 필요한 두 가지 핵심 요건이다.
자연계에서 발생하는 모든 현상은 이러한 구성 방정식을 지니고 있다. 열전달 현상에서는 온도 구배와 열유속(thermal flow)과의 관계를 표현하는 퓨리에 법칙(Fourier law)이 이에 해당되며, 다공질 매질(porous media) 속을 통과하는 유동은 다시의 법칙(Darcy’s law)에 의해 압력과 특정한 관계를 가지게 된다. 이러한 구성 방정식은 거의 대부분 수많은 과학자들이 자연계 현상을 실험적으로 연구하는 과정에서 밝혀내었으며, 현대 과학의 기틀을 마련하였을 뿐만 아니라 유한요소해석(finite element analysis)의 근간을 이루고 있다.
구성 방정식에는 물체 고유의 성질인 재료 물성치(material property)로 표현되며, 이러한 값들은 실험을 통해 구해진다. 후크의 법칙은 물체의 탄성계수(elastic modulus)와 프와송 비(Poisson’s ratio)에 의해, 그리고 퓨리에 법칙은 열전달 계수(thermal conductivity)로 표현된다.
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우리 주위에서 흔히 볼 수 있는 물체의 거동은 물체 내 위치에 따라 그 거동이 변할 뿐만 아니라 시간과 더불어 변하는 경우가 많다. 시간과 무관하게 물체 내 공간상의 위치에 따른 거동을 분석하는 경우를 경계치 문제, 그리고 물체 내 일정한 지점에서 시간에 따라 변하는 물체의 거동을 분석하는 것을 초기치 문제(initial value problem)로 구분하고 있다. 하지만 자연계 대부분의 현상은 그 거동이 공간상의 위치뿐만 아니라 동시에 시간에 따라서도 변하기 때문에 경계치-초기치 문제(boundary and initial value problem)로 볼 수 있다.
예를 들어, 고층건물이 자체 무게에 의해 얼마나 큰 응력(stress)이 내부에 발생하는가 하는 문제는 경계치 문제에 해당되고, 고층건물 내 특정한 부위가 지진파에 따라 시간적으로 어떻게 거동할 것인가는 초기치 문제에 해당된다. 그리고 지진파에 따라 고층건물 전체의 변형이나 응력이 시간과 더불어 어떠한 변동을 나타내는가 하는 문제는 경계치-초기치 문제에 해당된다. 시간과 무관하게 물체 내 위치에 따른 거동을 분석하는 것을 경계치 문제라고 부르는 이유는, 물체 내 거동이 물체의 경계, 즉 외부와 직접 접하고 있는 물체의 표면에 가해지는 각종 구속조건과 경계조건(총칭하여 경계조건(boundary condition)이라 부름)에 의해 절대적으로 좌우되기 때문이다. 예를 들어 한 쪽 끝 단이 벽에 고정되어 있는 가느다란 나무막대를 생각해 보자. 다른 쪽 끝 단에 수직하중을 가하는 경우와 다른 한 쪽 끝 단도 동시에 지지하면서 막대의 가운데에 수직하중을 가하는 두 경우에 있어서 막대가 변형(deformation)되는 모양은 판이하게 다르다.
이처럼 경계치 문제에 해당되는 물체의 거동은 경계조건에 주도적인 영향을 받는다. 따라서, 이러한 문제를 유한요소 해석(finite element analysis)으로 풀고자 할 경우, 해석결과의 신뢰성은 경계조건을 얼마나 정확하게 반영하느냐에 달려있다고 하여도 과언은 아니다.
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응력(stress)은 외부 하중에 대한 물체의 내부 저항력으로써 물체 단위 면적당 저항력으로 정의된다. 그리고 하중이 크기뿐만 아니라 방향을 가지고 있기 때문에 응력 역시 방향별로 성분을 지니고 있다. 물체의 임의 한 단면에 한정하면 응력은 면에 수직인 수직응력(normal stress)과 면에 평행한 전단응력(shear stress)으로 구성된다. 3차원 물체 내 임의 한 지점을 미소 체적의 육면체로 생각할 경우, 각 면에 하나의 수직응력과 두 개의 전단응력을 지니고 있다.
이와 같은 3차원 물체 내 응력성분들은 크게 정수압(hydrostatic pressure)과 편차응력의 합으로 표현된다. 전자는 물체의 형상은 변화시키지 않으면서 물체의 체적을 증감시키는 역할을 한다. 예를 들어, 물 속에 잠겨있는 물체는 수압을 받게 되고 그 결과 물체의 전체 체적이 감소한다. 이 경우, 물체의 형상은 변화지 않기 때문에 물체 내부에는 동수압에 해당하는 응력 성분들만 존재하고, 전단응력에 해당하는 편차응력은 전혀 발생하지 않는다. 그리고 물체 내부에 발생하는 세 방향으로의 수직응력을 합하여 3으로 나누면 정확히 수압과 일치한다. 이러한 맥락에서 응력 성분들 중에서 세 방향으로의 수직응력을 합하여 3으로 나눈 값을 동수압이라고 부른다.
편차응력은 물체 내 임의 지점에서의 응력 성분들에 동수압 성분을 뺀 나머지로 정의된다. 편차응력은 물체의 체적 변화에는 영향을 미치지 않고 물체를 형상을 찌그러지게 하는 역할을 하며, 그 결과 소성변형(plastic deformation)을 야기한다. 편차응력은 소성변형 해석에 사용되며, 세 개의 불변량을 가지고 있는 데, 각각 J1, J2 그리고 J3로 불린다. 이들은 물체 내 임의 지점에서 좌표축의 방향과는 무관하게 항상 일정한 값을 지니며, 항복여부를 판단하는 항복조건(yield criterion)의 매개변수로 사용된다.
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캔 음료수, 항공기 날개 그리고 올림픽 경기장의 지붕 등은 대표적인 쉘 구조물(shell-like structure)이다. 쉘 구조물의 기하학적 특징은 평판(plate-like structure)과 달리 유한한 곡률반경(radius of curvature)을 가진 곡면으로 되어 있다는 점이다. 예를 들어, 음료수의 캔은 수직방향으로는 곡률반경이 무한대인 직선형상이지만 원주방향으로는 유한한 반경을 가진 곡면으로 되어 있다.
쉘 구조물의 또 다른 주요한 특징은 두께가 구조물 전체 크기에 비해 상대적으로 매우 얇은 박판 구조물(thin-walled structure)로서, 변형(deformation), 변형률(strain) 및 응력(stress) 이 두께방향으로 극히 미소한 변화를 나타낸다. 이러한 특성 때문에 구조물의 변형을 두께방향으로 일정하거나 아니면 직선으로 변한다고 가정하여도 큰 문제가 되지 않는다. 쉘 구조물의 두께 방향으로의 변형은 미리 가정되었기 때문에 구조물의 중립면(neutral surface)에서의 변형만 구하게 되면 구조물 전체의 변형은 자연스럽게 계산되어진다.
쉘 요소라 함은 쉘 구조물의 이러한 특성을 이용하여 중립면을 작은 영역으로 세분화시킨 하나 하나를 지칭한다. 따라서 쉘 요소는 2차원 유한요소(finite element)이다. 쉘 요소의 각 절점(node)에서는 3 방향으로의 병진 자유도(translation degree of freedom)과 2 개의 회전 자유도(rotation degree of freedom)을 가지고 있다. 그리고 쉘 요소에서는 두께 방향으로의 변형률과 응력 성분들은 모두 0의 값을 나타낸다.
다시 말해 쉘 구조물은 거의 대부분 평면응력 상태(plane stress state)로 가정되고, 쉘 요소로 구한 변형은 이러한 가정을 만족하도록 정의되어 있다. 한편, 평판 요소(plate element)는 곡률반경이 무한대인 쉘 요소의 특수한 요소 유형이다.
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