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물체가 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 물체 내부에는 저항하려는 힘이 발생한다. 그리고 이 물체 내부의 저항력을 해당 지점의 단위 면적으로 나눈 값을 응력(stress)으로 정의한다. 힘은 크기뿐만 아니라 방향을 가지고 있기 때문에 응력 또한 크기와 방향성을 지니고 있다.
따라서, 물체 내부 임의 한 점에 있어서 응력의 크기는 응력 계산의 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 변한다. 좌표축의 방향에 따른 응력값의 변화는 모어 원도(Mohr’s circle)를 통해 한 눈에 쉽게 파악할 수 있다. 2차원의 경우 좌표축은 두 개의 직교하는 축을 가지기 때문에 한 방향이 최대 응력값을 나타내면 직각이 되는 다른 한 방향은 최소 응력값을 나타낸다. 3차원의 경우에 좌표축은 세 방향을 가지므로 한 방향이 최대 응력값을 가질 경우, 나머지 두 방향은 각각 최소 응력값 및 중앙 응력값을 가지게 된다.
이와 같이 최대, 최소 및 중앙 응력값을 주 응력이라고 부르고, 주 응력값을 가지는 좌표축의 방향을 주축(principal axes)이라고 정의한다. 주 응력과 주축은 물체의 강도분석에 있어 대단히 중요한 역할을 한다. 왜냐하면 물체의 파괴는 물체 내 응력의 최대값에 직접적으로 좌우되기 때문이다. 주 응력이나 주축의 개념은 변형률(strain), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 및 면적 관성모멘트(area moment of inertia)의 좌표축에 따른 특성에도 그대로 적용된다.
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일반적으로 균질(homogeneous)하고 등방성(isotropy)인 모재(matrix) 속에 강선이나 섬유 등과 같은 이종 재료를 특정한 배열과 방향으로 삽입하여 관심이 되는 기계적 강도를 향상시킨 재료를 섬유강화 복합재(fiber reinforced composite)라고 부른다. 보강재의 단면은 모재에 비해 그 크기가 현저히 작을 뿐만 아니라 삽입되는 보강재의 축방향이 임의 각도를 이루고 있다.
이러한 복합재의 거동을 분석하기 위해 유한요소 해석을 수행하고자 할 경우, 가장 난감한 부분이 바로 보강재의 재료 물성치(material property)를 입력하는 일이다. 보강재 하나 하나의 기하학적 형상을 모두 반영한다면 문제는 간단해 지겠지만, 이렇게 상세 형상을 반영하고자 하면 모델링 작업 그 자체의 번거로움뿐 만 아니라 엄청난 요소수에 따른 계산시간의 장기화란 어려움에 직면하게 된다.
이러한 어려움을 해결하기 위해 사용할 수 있는 하나의 효과적인 방법이 바로 rebar 요소를 적용하는 것이다. 이 요소는 그 형상이나 절점수에 있어서 우리가 알고 있는 일반적인 유한요소(finite element)와 차이가 없다. 하지만, 응력(stress)과 변형률(strain)을 관계 짓는 구성방정식(constitutive relation) 내에 보강재의 상세한 정보가 포함되어 있다는 점이 일반 유한요소와의 차이점이다.
이러한 리바 요소보다 더욱 간단한 방법으로 균질화 기법(homogenization method)이 있는데, 이 방법은 보강재와 모재가 차지하는 상대적인 체적비로 섬유강화 복합재 전체의 등가 재료물성치(equivalent material property)를 계산하는 가장 단순한 방법이다. 따라서 보강재의 상세한 기하학적 형상이나 배열방향이 반영되지 못할뿐더러, 보강재와 모재사이 계면(interface)에서의 상호작용이 반영되지 못하기 때문에 계산된 등가 물성치(equivalent material)의 정확도를 보장하기 어렵다.
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평판 구조물(plate-like structure)은 두께가 얇은 대표적인 박판 구조물(thin-walled structure)로서 쉘 구조물(shell-like structure)과는 달리 곡률 반경(radius of curvature)이 무한대이다. 평판 구조물은 구조물을 구성하는 가장 보편적인 부재로서 우리 주변에서 흔히 볼 수 있다. 책상, 테이블 그리고 캐비닛은 거의 대부분 평판 부재로 구성되어 있다.
평판 구조물은 두께가 상대적으로 매우 얇기 때문에 변형(deformation), 변형률(strain) 그리고 응력(stress) 의 두께방향으로의 변화를 거의 무시할 수 있다. 이러한 기하학적 그리고 거동적 특성으로부터 두께 방향으로의 변위(displacement)를 일정하게 아니면 직선으로 가정할 수 있다. 따라서 평판 구조물의 중립면(neutral plane)에서의 변위(displacement)만 구하게 되면 구조물 전체의 변위, 변형률 그리고 응력을 계산할 수 있다.
평판요소는 평판 구조물의 중립면을 유한개의 작은 영역들로 세분화시킨 하나 하나를 지칭하며, 요소 내 각 절점(node)은 한 개의 수직변형 자유도(degree of freedom)과 두 개의 회전 자유도를 가지고 있다. 평판 구조물은 두께 방향으로 변형률과 응력 성분들이 모두 0인 평면응력 상태(plane stress state)를 만족하기 때문에, 평면 요소로 구한 변위로부터 변형률과 응력을 계산하면 이 조건을 만족한다. 평판 요소는 곡면으로 되어 있는 쉘 요소(shell element)의 특수한 요소 유형이다.
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점성(viscosity)을 지니고 있는 탄성 물체를 의미하는 것으로, 콘크리트와 고무가 대표적인 재료이다. 이러한 물체는 하중을 받는 동안 변형률(strain)에 비례하여 응력(stress)이 증가하다가, 하중을 제거하는 시점부터 변형률은 일정하게 유지되지만 응력이 서서히 감소하는 특성을 나타낸다.
이러한 특성을 특별히 응력이완(stress relaxation)이라고 부르고 지수함수(exponential function) 형태의 감소 그래프를 나타낸다. 스프링 백(spring back) 현상이 하중을 제거하면 응력이 제거됨과 동시에 변형률이 어느 정도 감소하는 것과는 뚜렷이 구별된다. 점탄성 재료에 대한 역학적 모델은 스프링에 감쇠기(dashpot)를 직렬로 연결한 것으로 표현된다.
항복응력(yield stress)을 초과하는 하중상태에서의 점성효과를 점탄소성(visco-elastoplasticity)이라고 부르고, 역학적 분석이 매우 난해한 것으로 알려져 있다. 그 결과, 점탄성 해석은 대부분의 범용 유한요소해석 프로그램(general-purpose FEM program)이 지원하고 있지만, 점탄소성 해석은 일부 전용 유한요소해석 프로그램(special-purpose FEM program)에서만 제공되고 있는 실정이다.
점탄성 재료의 시간에 따른 응력이완 거동은 시간에 대한 프로니 급수 함수(Prony series function)로 표현되며, 이 함수에 포함되어 있는 프로니 상수(Prony constants)는 재료 시편을 이용한 실험 데이터를 최소자승법(least square method) 등으로 곡선 맞춤(curve fitting)을 통하여 결정된다. 따라서, 점탄성 해석은 하중이 가해지는 동안 탄성해석을 수행하여 하중이 가해지는 마지막 시점에서의 응력값을 구한 다음 이 응력값에 프로니 함수를 적용하는 방식으로 수행된다.
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물체 변형의 크기를 나타내는 변형률(strain)에는 탄성 변형률과 소성 변형률(plastic strain)이 선형적으로 결합되어 있다. 전자는 물체에 작용하고 있던 하중이 제거되면 함께 사라져 물체를 초기 형상으로 복원시키고자 한다. 반면 후자는 하중을 제거하여도 여전히 남게 되어 물체가 영구적으로 변형된 형상을 유지하도록 한다.
하중의 크기가 항복응력(yield stress)을 초과하지 않을 정도로 작은 경우에는 탄성 변형률만 존재하게 되지만, 항복응력을 초과하게 되면 소성 변형률도 함께 발생하게 된다. 이와 같이 항복응력을 초과한 물체의 변형을 소성변형 영역에 있다고 하며, 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)는 직선이 아닌 곡선 형태로 표현된다. 변형이 탄성영역 내에 있을 경우에는 응력과 변형률은 선형적인 관계를 나타내며 응력-변형률 선도의 기울기는 변형률의 값과는 무관하게 항상 일정한 값을 가지게 된다. 이 기울기를 탄성계수(elastic modulus) 혹은 영률(Young’s modulus)이라고 부른다.
하지만 소성변형 영역에서는 탄성계수를 사용하지 않고 선도의 접선 기울기로 물체의 강성을 표현한다. 그리고 이 기울기는 변형률의 크기에 따라 변하는 값으로 이 기울기를 특별히 탄소성 접선계수로 정의하고 있다.
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물체가 공간 상에서 정적인 평형(static equilibrium)을 유지하기 위해서는 물체에 작용하는 모든 힘의 합과 모든 모멘트의 합이 0이 되어야 한다.
하지만 컴퓨터를 이용하게 되면 컴퓨터가 저장할 수 있는 소수점 이하 유효자리수의 한계와 이로 인한 계산과정 상에서의 반올림 오차(round off error)에 기인하여 물체에 작용하는 힘과 모멘트의 합이 정확히 0이 되지 않는다. 다시 말해, 사람은 해당 물체가 정적인 평형을 만족한다고 여기지만 컴퓨터는 정적인 상태에 있지 않은 것으로 생각한다. 결국 해석자가 추가적인 구속을 물체에 적용하지 않는다면 이 물체는 컴퓨터 상에서 동적인 문제가 되어 정지상태에 있지 않는 것으로 취급될 가능성이 있다.
이러한 컴퓨터 계산상의 문제로
자연계에서 발생하는 현상은 그 현상과 관련된 각종 조건에 따라 현저히 달라지게 된다. 극단적인 예를 들면 차가운 얼음 덩어리를 냉장고에 넣어 두는 경우와 따뜻한 장소에 두는 경우에 있어 얼음 덩어리가 녹는 시간에는 현저한 차이가 있다. 이와 같이 대상이 되는 물체 혹은 매질의 거동을 구속하는 조건을 전문적인 용어로 경계조건(boundary condition)이라고 부른다.
예를 들어 나무판자의 한 쪽 끝단부를 나사를 이용하여 벽에 고정시키고 판자 위에 물체를 올려놓은 경우를 생각해 보자. 나무판자는 물체의 무게에 의해 아래로 처지는 변형(deformation)이 발생할뿐더러, 나무판자 내부에는 이 무게를 지탱하기 위해 내부에 저항하려는 응력(stress)이 발생하게 된다. 이 경우 나무판자의 변형, 변형률(strain) 및 응력(stress)이 거동에 해당되고, 나사로 벽에 고정한 것과 올려놓은 물체가 가하는 힘이 나무판자에 대한 경계조건이 된다. 물체의 거동을 정량적으로 분석하기 위해 경계조건을 반영하는 것도 일종의 모델링(modeling)에 해당된다. 왜냐하면 나사로 나무판자를 벽에 고정하고 있는 구속조건을 역학적으로 표현하는 과정에는 알지 못하는 불확실성과 실제 상황을 정확히 표현하지 못하는 한계가 있기 때문이다. 다시 말해 실제 상황과 역학적으로 표현한 경계조건 사이에는 반드시 차이가 존재한다. 또한 올려 놓은 물체가 나무판에 미치는 하중을 역학적으로 표현하는 데에도 불확실성과 한계가 존재하기 때문에 모델링에 불과하다.
구속조건의 브래키팅이란 이러한 불확실성과 한계성 속에서 물체의 거동을 최대한 정확하게 파악하기 위하여 가장 적합한 경계조건을 찾기 위한 방법이다. 적용가능한 경계조건들을 하나의 그룹으로 지정하여 각각의 경계조건에 따른 물체의 거동을 분석한 다음 실제 거동과 가장 근접한 결과를 제공하는 경계조건을 선택하는 방법이다.
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얇은 금속판을 구부려 원하는 형상으로 성형하는 경우, 금속판은 소성변형(plastic deformation)이라 불리는 영구변형을 일으키게 된다. 만일 금속판에 작용하였던 하중을 제거하였을 때 이러한 영구변형이 제거되어 원래 형상으로 복구된다면 금속성형은 불가능해 질 것이다. 소성변형을 일으키는 물체에 있어 물체 내부에 발생하는 응력(stress)과 변형률(strain)의 관계는 더 이상 직선적인 관계에 있지 않고, 재료에 따라 특정한 곡선적인 관계를 나타낸다.
이와 같이 곡선적인 응력-변형률 관계는 소성변형에 따른 가공경화(work hardening) 혹은 변형률 경화(strain hardening)에 기인한다. 다시 말해 변형률의 증가와 더불어 재료의 강성이 지속적으로 증가한다. 이와 같이 가공경화를 나타내는 물체의 소성변형에 있어 응력은 일반적으로 변형률의 n 제곱승으로 표현되는데, 이 실수값 n을 경화지수라고 부른다. 경화지수는 0과 1사이의 값을 가질 수 있는데, 0의 값은 완전소성(perfectly plastic)을 나타내며 수평선 형태의 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)로 표현된다. 반면 이 값이 1인 경우는 재료의 변형이 아직 소성이 아닌 탄성변형(elastic region)에 있음을 나타낸다. 금속의 경우 가공경화를 수반하는 소성변형 에 있어 n값은 0.1에서 0.5사이의 값을 가진다.
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