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특정한 공간이나 시간 영역내 각 지점에서의 값들을 연결하면 하나의 선, 곡선 혹은 곡면이 된다. 이와 같이 특정한 구간 내 각 점에서 값들을 이용하여 연속적인 함수를 구하는 것을 보간(interpolation)이라 하고 이렇게 구한 함수를 보간함수(interpolation function)라고 부른다. 이와는 달리 특정한 구간 내에 존재하는 각 지점에서의 값들을 이용하여 이 구간 바깥에 존재하는 특정 지점까지 연속된 함수를 구하는 것을 외삽이라고 하고 이렇게 구한 함수를 외삽함수(extrapolation function)라고 부른다.
보간이나 외삽은 서로 떨어져 있는 점들에서의 값, 다시 말해 데이터(data)를 연속적인 함수로 표현한다는 점에서는 공통점을 지니고 있다. 하지만 함수로 나타내어야 할 DATA가 존재하는 영역 내부에 한정되어 있느냐 그렇지 않느냐에 따라 뚜렷한 차이점을 나타낸다. 보간이나 외삽은 실험으로 구한 각종 DATA를 연속적인 함수로 변환하고자 할 경우 주로 사용된다.
유한요소 해석(finite element analysis)에서 화면상에 출력되는 변형, 변형률(strain) 및 응력(stress)의 칼라 분포도 역시 요소망(mesh) 내 각 절점(node)에서의 값들을 보간 혹은 외삽하여 연속적인 분포로 보여주는 것이다. 보간이나 외삽을 위해서는 각 점에서의 값들을 직선으로 연결하는 가장 단순한 방법에서부터 최소자승법(least square method)에 이르기 까지 다양한 방법들이 사용되고 있다.
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구조물이 심한 변형을 나타낼 경우, 물체의 기하학적 형상뿐만 아니라 하중 및 모멘트의 방향이나 물성치가 바뀔 수가 있다. 그리고 이렇게 과도한 변형을 나타내는 물체의 거동은 반복계산을 필요로 하는 비선형 해석(nonlinear analysis)으로 계산하게 된다.
모든 물리적 거동은 항상 변형된 현재 시점에서의 물체의 기하학적 영역 상에서 정의되는 값이기 때문에, 원칙적으로 현재 시점에서의 변형된 물체의 형상을 기준으로 계산되어야 한다. 이러한 측면에서 업데이티드 라그랑지 기법은 매 반복계산에 있어 현재 변형된 물체의 형상을 기준으로 다음 시점에서의 물체 거동을 구하는 비선형 해석기법이다. 따라서 이 기법에서는 초기 물체형상을 기준으로 다음 시점에서의 물체의 거동을 계산하고, 이 계산 결과를 이용하여 물체의 형상 및 하중 그리고 모멘트를 수정한 후, 수정된 물체의 형상 및 하중을 기준으로 다음 시점에서의 거동을 순차적으로 계산한다.
이 기법은 항상 초기 변형되기 전 물체의 형상을 기준으로 반복계산을 통해 물체의 거동을 계산하는 토탈 라그랑지언 기법(total Lagrangian method)과 현저한 차이를 나타낸다. 토탈 라그랑지언 기법에서는 변형된 물체의 형상, 하중, 변형률(strain), 응력(stress) 등을 모두 변형되기 전 초기 물체의 형상으로 변환시켜야 하는 어려움이 있다. 하지만 업데이티드 라그랑지언 기법에서는 이러한 변환에 따른 어려움이 전혀 없지만, 형상을 계속해서 갱신하는 과정에서 필연적으로 수치적인 오차가 수반되는 단점을 지니고 있다.
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단면이 정사각형인 길다란 나무를 길이 방향으로 잡아당기면 단면 상의 모든 부분은 일정한 길이만큼 늘어난다. 반면 나무의 양 끝을 잡고 구부리면 일정한 반경을 가진 원모양으로 휘어진다. 이렇게 휘어진 나무의 단면을 세심하게 관찰하면, 단면의 일정 부분은 늘어나는 반면 나머지 부분은 압축된다. 그리고 단면 상에서 늘어나지도 줄어들지도 않는 특정한 부분이 존재한다.
다시 말해, 단면 상의 이러한 특정한 부분을 중심으로 늘어나는 부분과 줄어드는 부분이 나뉘게 되고, 늘어나거나 줄어드는 량도 이 부분으로부터 수직한 거리에 비례한다. 단면 상의 이 부분을 가느다란 나무의 길이방향으로 연장시키면 하나의 직사각형 면이 되는데, 이 면을 중립면이라고 부른다. 단면이 정사각형 혹은 원으로 되어 있는 동일한 재질의 경우라면, 중립면은 단면의 중간면(mid surface)과 일치할 것이다. 하지만 단면의 모양이 상하 그리고 좌우로 대칭이 아니거나 두 가지 이상의 재료로 구성된 복합재(composite material)인 경우에는 중립면과 중간면은 더 이상 일치하지 않는다.
중립면의 중앙에 해당하는 중심선을 중립축(neutral axis)이라고 부르고, 가느다란 나무의 기하학적 중심축과 일치할 수도 그렇지 않을 수도 있다. 앞서 말한 바와 같이 단면이 좌우 혹은 상하 대칭이 아니거나 복합재로 되어 있는 경우에 중립축과 중심축은 일치하지 않는다.
중립축과 중립축은 굽힘을 받는 물체의 변형(deformation), 변형률(strain), 응력(stress), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 및 면적 관성모멘트(area moment of inertia) 계산을 위한 기준이 되는 면이나 선이 된다.
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물체에 힘을 점진적으로 작용시키면 비례한도(proportional limit)라 불리는 응력값 까지는 물체가 늘어나는 변형률(strain)과 내부 저항력인 응력(stress)은 비례적인 관계에 있다. 그리고 이 지점보다 더 큰 힘을 가하게 되면 항복점(yielding point)라 불리는 응력값에 도달하여 힘을 제거하여도 물체는 어느 정도 영구적인 변형을 일으킨다.
이론적으로 항복값은 물체가 잡아당기는 힘을 받을 때나 압축시키는 힘을 받는 두 경우에 있어 동일한 크기여야 한다. 하지만 물체를 항복점을 초과하여 하중을 가한 다음 역으로 압축시키는 교번하중을 받는 경우, 압축하중에 의한 항복은 이론적인 항복값보다 낮은 압축응력에서 발생한다. 이러한 현상을 바우싱거 효과라고 부른다. 따라서 물체는 인장과 압축을 반복해서 받게 되면 보다 낮은 하중에서도 영구적인 변형을 일으킬뿐더러 쉽게 파괴될 수 있다.
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점탄성(viscoelsticity)은 물체의 변형이 항복응력(yield stress)을 초과하지 않은 탄성영역 내에 있을 경우, 하중을 제거하면 물체 내부의 응력이 시간과 더불어 지속적으로 감소하는 응력이완(stress relaxation) 현상을 의미한다. 이러한 현상은 물체의 고유한 점성효과에 기인한 것으로 하중이 제거되어 변형률(strain)이 일정하게 유지되어도 응력이 점차적으로 감소하게 된다.
이와 유사하게 물체 변형이 항복응력을 초과하여 소성변형(plastic deformation) 영역에 있을 경우에도 하중을 제거하면 응력이 감소하는 현상이 발생할 수 있다. 이러한 현상을 나타내는 재료를 점소성 재료라고 부르며, 고무를 위시한 고분자 물질(rheological material)이 이에 해당된다.
점탄성과의 가장 큰 차이는 시간에 따라 응력이 감소하더라도 항복응력 이하로는 응력이 감소하지 않는다는 점이다. 점소성에 따른 응력이완의 정도를 결정하는 이완시간(relaxation time)은 물체의 점성계수(viscosity coefficient)를 탄성계수(elastic modulus)로 나눈 값으로 정의된다. 다시 말해 이완시간이 클수록 높은 응력이완을 나타낸다.
점탄성에서와 마찬가지로 점소성에 따른 응력이완 거동도 프로니 급수(Prony series)로 단순하게 표현할 수 있으며, 급수에 포함되어 있는 프로니 계수는 재료에 따라 달라지므로 응력이완 실험 데이터로부터 결정해야 한다.
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유한요소해석(finite element analysis)을 수행한다는 것은 대상이 되는 해석문제를 표현하는 수학적 표현식을 행렬방정식으로 변환하여 물체의 거동을 근사적으로 구하는 것이다. 그런데 행렬방정식을 풀어서 구한 값들은 일반적으로 요소망(mesh) 내 각 절점(node)에서의 물체의 거동값에 해당된다. 예를 들어 열전달 해석으로 구한 수치값들은 대상이 되는 물체의 요소망 내 각 절점에서의 온도를 나타낸다.
이처럼 요소망 내 각 절점에서의 값들을 절점 값이라고 부르고, 값의 유형에 따라 절점 변위(nodal displacement), 절점 온도(nodal temperature), 절점 하중(nodal force) 등으로 명명된다. 행렬방정식을 풀어서 구한 수치값이 각 절점에서의 값이 되는 것은 물체의 거동을 근사화 하기 위해 사용되는 기저함수(basis function)의 특성 때문이다.
유한요소 해석에 사용되는 대부분의 기저함수는 자신의 번호와 일치하는 절점에서는 1의 값을 가지는 반면 나머지 모든 절점에서는 0의 값을 가지게 된다. 만일 기저함수가 이러한 특성을 지니고 있지 않다면 행렬방정식으로부터 구한 값이 곧바로 절점에서의 거동값을 나타내지 않는다. 이러한 경우에는 거동에 대한 근사식에 해당 절점의 좌표값을 대입하여 그 절점에서의 값을 계산해 내어야 한다.
한편, 변형률(strain)이나 응력(stress)은 절점에서 그 값을 계산하지 않고 행렬의 수치적 적분(numerical integration)을 위해 사용되는 적분점(integration point)에서 그 값을 계산한다. 그 이유는 이러한 값들은 절점에서 계산하는 것보다 적분점에서 계산하는 경우가 보다 정확하기 때문이다.
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공간 상에서 특정한 위치를 정의하기 위해서는 기준이 되는 점과 두 위치 사이의 상대적인 거리가 필요하다. 기준이 되는 점을 원점(origin)이라고 부르고, 상대적인 거리는 좌표값으로 표현된다. 여기서 좌표값은 서로 직교하는 세 방향으로의 거리의 성분들로 표현된다. 참고로, 이 경우는 3차원 공간에 대한 설명이고 1 및 2차원 공간에 있어서는 각각 한 방향 혹은 서로 직교하는 두 방향으로의 거리의 성분들로 표현된다.
이처럼 원점과 서로 직교하는 방향축으로 구성된 것을 특별히 좌표축이라 부른다. 예를 들어, 서울역을 원점으로 하고 부산으로 향하는 방향과 하늘을 향하는 방향을 두 개의 직교하는 축으로 설정하면 나머지 한 축은 서로 직각이어야 하는 조건에 의해 자동적으로 정의되고, 이 좌표축을 이용하면 서울역을 중심으로 한 상대적인 위치를 표현할 수 있다. 만약 원점은 그대로 두고 세 방향을 회전시키면 새로운 좌표축이 정의된다. 물론 새로운 세 방향은 서로 직각이 되어야 한다.
이러한 좌표축은 공학분야에 있어 필수적이다. 물체 내 한 점에서의 응력(stress)은 좌표축의 회전에 따라 그 값들이 변한다. 또한 물체의 변형률(strain), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 그리고 단면의 면적 관성모멘트(area moment of inertia)도 계산의 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 그 값들이 변한다.
그리고 이러한 물리량들은 특정한 좌표축 의 방향에서 최대 및 최소값을 가지게 되는데, 이 특정한 좌표축 방향을 주축이라고 부른다. 참고로, 주축에서의 최대 및 최소 응력값을 주 응력(principal stress)이라고 부른다. 만약 응력값이 아니고 질량 혹은 면적 관성모멘트라면 최대 및 최소값을 주 관성모멘트(principal moment of inertia)라 부르고, 변형률이라면 주 변형률(principal strain)이라고 지칭한다.
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물체가 외부로부터 힘을 받아 변형하게 되면 변형의 크기를 나타내는 변형률(strain)은 거의 대부분 3차원적인 성분들로 구성된다. 다시 말해, 직교하는 세 축 방향으로 변형률의 성분이 모두 존재함을 의미한다. 하지만 특수한 물체 형상과 외부 하중조건이 특수한 경우에 있어서는 임의 한 방향으로 변형률이 거의 0이 되는 경우가 가끔 발생한다.
이처럼 임의 한 방향으로 수직 변형률(normal strain)과 전단 변형률(shear strain)이 0이 되는 변형률 상태를 특별히 평면 변형률 상태라고 부른다. 물체의 거동이 평면 변형률 상태가 되기 위해서는 물체의 형상, 구속조건 그리고 하중조건이 임의 한 방향으로 일정하여야 할뿐더러 그 방향으로 물체의 길이가 상당히 길어야 한다. 터널이나 댐과 같은 경우가 가장 대표적인 예이다.
평면 변형률 상태가 되면 변형률이 0이 되는 방향으로 물체 거동에는 변화가 없기 때문에 공학적 분석을 간단히 수행할 수 있다. 다시 말해, 변형률이 0이 되는 방향으로 물체를 임의 길이만큼 절단하여 수치해석(numerical analysis)을 수행할 수 있다. 이 경우 절단된 물체의 양 단면에는 대칭 경계조건(symmetric boundary condition)을 부여하기만 하면 된다.
참고로 평면 변형률 상태가 되더라도 그 방향으로 수직응력은 존재한다. 평면 변형률 상태는 평면응력 상태(plane stress state)와 축대칭 모델(axisymmetric model)과 더불어 유한요소 해석(finite element analysis)을 매우 효과적으로 수행할 수 있도록 한다.
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특정한 물질은 높은 온도에서 일정한 힘을 가하면 내부의 저항력인 응력(stress)은 거의 일정한 값을 유지하는 반면 변형(deformation)은 계속해서 증가하는 거동을 나타낸다.
이와 같이 일정한 하중을 받는 물체가 시간과 더불어 그 변형이 지속적으로 증가하는 거동을 크리프 현상이라고 부른다. 크리프 현상을 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)로 나타내면 상온에서의 물질 거동과 판이하게 다르다는 것을 쉽게 알 수 있다. 금속의 경우, 외부에서 받는 힘이 일정하게 유지되면 응력값과 변형률(strain) 역시 일정한 값으로 유지된다. 하지만 크리프 거동의 경우에는 응력값은 일정하지만 변형률이 지속적으로 증가하기 때문에 거의 평행선에 가까운 선도를 나타낸다.
크리프 현상은 물체의 파괴(fatigue)를 일으키는 요인 중의 하나이다. 따라서 상온에서는 외부로부터 받는 하중의 크기가 안전한 수준이라고 할지라도 고온에서는 그 하중이 계속 유지되면 변형이 시간과 더불어 계속 증가하기 때문에 파괴에 도달할 수 있다. 따라서 고온 상태에서 작동하는 부품이나 조립체를 설계하는 경우, 구조물의 안전성을 확보하기 위해 크리프 현상을 간과해서는 안 된다.
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