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강철과 같은 금속에 외부 하중을 가하여 임의 형상으로 변형시키거나 혹은 반복적으로 변형을 가하게 되면 재료의 항복응력(yield stress)은 계속해서 증가하는 특성을 나타낸다. 이와 같이 재료의 항복응력이 재료의 변형과 더불어 증가하는 현상을 경화(hardening)라고 부른다. 가장 전형적인 예로 변형률 경화(strain hardening)를 들 수가 있다. 예를 들어, 금속 봉을 구부렸다가 편 후 다시 구부리려고 하면 처음보다 더 큰 힘을 필요로 하는 것이 바로 경화에 따른 재료의 강성 증가 때문이다.
금속 봉을 구부리는 경우에는 물체 내부에 축 방향으로의 굽힘응력 만이 작용하지만, 대부분의 물체에는 3차원적인 하중이 작용하고 그 결과 물체 내부의 응력상태도 3차원적이다. 따라서 이러한 3차원적 응력상태에 있는 물체의 항복(yielding)을 판정하기 위해서는 폰-미제스 응력(von-Mises stress)를 활용한 최대 변형률에너지 원리(maximum strain energy theory)나 전단응력을 활용한 최대 전단응력 이론(maximum shear stress theory)과 같은 3차원적 항복조건(yielding criterion)을 적용해야 한다.
3차원적 응력상태에서 재료가 항복을 일으키는 응력크기의 수준은 구(sphere) 혹은 면의 크기가 동일한 다각형(polygon)으로 표현된다. 이 곡면을 항복곡면(yield surface)이라고 부르며, 물체 내 응력상태가 이 곡면 내에 존재하면 항복이 발생하지 않고, 이 곡면을 벗어나면 항복이 발생한다. 재료의 경화는 이 항복곡면의 크기를 증가시키게 되는데, 항복곡면이 모든 방향으로 동일한 크기로 증가하는 경우를 등방 경화(isotropic hardening)라고 부르고 이것을 수학적으로 표현한 것을 등방 경화법칙이라고 한다.
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동점성은 점성을 그 유체의 밀도로 나눈 값이다. 동점성은 운동량 확산(momentum diffusivity)으로도 불리며 점성을 그 유체의 밀도로 나눈 값이다.
동점성은 운동량(질량)에 의한 흐름에 대하여 작용하는 저항을 의미하며, 동점성이 클 경우 흐름에 대한 저항이 커서 운동량이 빠르게 확산되어 소산됩니다. 동일한 밀도를 가지는 유체의 경우 점성이 작을 수록 흐름에 대한 저항이 작으며, 동일한 점성을 가지는 유체의 경우 밀도가 클수록 점성저항을 잘 극복할 수 있다.
임의 물체의 거동을 공간상에서 표현하기 위해 기준이 되는 좌표를 설정하는 것을 운동학적 기술법(kinematic description)이라고 부르고, 라그랑지 기술법(Lagrange description)과 오일러 기술법(Euler description)으로 대별된다. 전자는 물체의 각 지점 혹은 입자의 운동을 그대로 따라가면서 그 입자의 물리량을 표현하는 기술법인 반면, 후자는 물체의 입자를 따라가지 않고 공간상에서 고정되어 있는 각 지점을 통과하는 물체의 물리량을 표현하는 방법이다.
예를 들어, 진동하고 있는 구조물의 동적 변위(dynamic displacement)는 구조물 내 각 지점이 시간에 따라 얼마나 이동하고 있는가를 나타내는 것으로 전자의 기술법으로 표현된다. 하지만, 공기나 물의 흐름에 있어서 유속(flow velocity)이나 압력(pressure)은 공간 상의 각 지점에서의 값을 나타내는 것으로 후자에 의한 기술법으로 표현된다.
유한요소 해석(finite element analysis)과 같은 수치해석(numerical analysis)에서 구조물의 강도나 진동해석을 위해 구조물 자체에 요소망을 생성하는 것은 라그랑지 기술법을 채택한다는 의미이고, 유체나 열해석을 위해서 물체 그 자체보다는 물체가 차지하고 있거나 물체로 둘러싸인 공간에 요소망을 생성하는 것은 오일러 기술법을 채택하겠다는 의미이다. 유체-구조 연계해석(fluid-structure coupled analysis)과 같은 연계해석에서는 두 매질의 특성에 따라 서로 다른 운동학적 기술법을 채용하기도 한다.
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물체가 공간 상에서 정적인 평형(static equilibrium)을 유지하기 위해서는 물체에 작용하는 모든 힘의 합과 모든 모멘트의 합이 0이 되어야 한다.
하지만 컴퓨터를 이용하게 되면 컴퓨터가 저장할 수 있는 소수점 이하 유효자리수의 한계와 이로 인한 계산과정 상에서의 반올림 오차(round off error)에 기인하여 물체에 작용하는 힘과 모멘트의 합이 정확히 0이 되지 않는다. 다시 말해, 사람은 해당 물체가 정적인 평형을 만족한다고 여기지만 컴퓨터는 정적인 상태에 있지 않은 것으로 생각한다. 결국 해석자가 추가적인 구속을 물체에 적용하지 않는다면 이 물체는 컴퓨터 상에서 동적인 문제가 되어 정지상태에 있지 않는 것으로 취급될 가능성이 있다.
이러한 컴퓨터 계산상의 문제로
유체의 유동에 의해 발생하는 전단응력(shear stress)이 유체 속도의 변화율(일명 유체변형률의 증분)과 선형적인 관계를 나타내는 유체를 뉴튼 유체 그렇지 않은 유체를 비뉴튼 유체(non-Newtonian fluid)라고 부른다. 뉴튼이라는 용어는 영국의 물리학자겸 수학자인 뉴튼(Isaac Newton, 1643-1727)의 이름에서 유래되었다. 파이프(pipe) 속을 통과하는 물은 대표적인 뉴튼 유체로써, 유체 내에 발생하는 전단응력은 파이프 내벽에 수직한 방향으로 유속의 변화율에 비례한다. 뉴튼 유체에 발생하는 전단응력은 수식적으로 유동에 수직한 방향으로 유속의 변화율과 점성(viscosity)의 곱으로 정의된다. 따라서 점성이 일정할 경우, 전단응력의 크기는 유속의 변화율에 비례하여 증가한다.
뉴튼 유체의 가장 큰 특징은 유체의 성질이나 유동이 외부 하중과 무관하게 일정하게 유지된다는 점이다. 따라서, 점성은 온도와 압력만의 함수로 표현되고, 유동을 아무리 휘젓거나 혼합시켜도 이에 무관하게 유체는 계속해서 일정한 성질을 지니고 흘러간다. 다시 말해 이러한 유체는 저절로 흘러가려는 성질을 지니고 있다. 반면, 치약이나 페인트는 대표적인 비뉴튼 유체로써, 이들은 힘을 받으면 흘러가지만 저절로는 절대 흘러가지 않는다. 다시 말해 저절로 흘러가려는 유동을 방해하는 힘이 유동 내부에 존재한다는 뜻이다. 따라서 유동의 흐름을 방해하려는 힘이 자체 내에 존재하지 않는 경우라야 뉴튼유체에 해당된다.
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자연계에서 발생하는 현상은 그 현상과 관련된 각종 조건에 따라 현저히 달라지게 된다. 극단적인 예를 들면 차가운 얼음 덩어리를 냉장고에 넣어 두는 경우와 따뜻한 장소에 두는 경우에 있어 얼음 덩어리가 녹는 시간에는 현저한 차이가 있다. 이와 같이 대상이 되는 물체 혹은 매질의 거동을 구속하는 조건을 전문적인 용어로 경계조건(boundary condition)이라고 부른다.
예를 들어 나무판자의 한 쪽 끝단부를 나사를 이용하여 벽에 고정시키고 판자 위에 물체를 올려놓은 경우를 생각해 보자. 나무판자는 물체의 무게에 의해 아래로 처지는 변형(deformation)이 발생할뿐더러, 나무판자 내부에는 이 무게를 지탱하기 위해 내부에 저항하려는 응력(stress)이 발생하게 된다. 이 경우 나무판자의 변형, 변형률(strain) 및 응력(stress)이 거동에 해당되고, 나사로 벽에 고정한 것과 올려놓은 물체가 가하는 힘이 나무판자에 대한 경계조건이 된다. 물체의 거동을 정량적으로 분석하기 위해 경계조건을 반영하는 것도 일종의 모델링(modeling)에 해당된다. 왜냐하면 나사로 나무판자를 벽에 고정하고 있는 구속조건을 역학적으로 표현하는 과정에는 알지 못하는 불확실성과 실제 상황을 정확히 표현하지 못하는 한계가 있기 때문이다. 다시 말해 실제 상황과 역학적으로 표현한 경계조건 사이에는 반드시 차이가 존재한다. 또한 올려 놓은 물체가 나무판에 미치는 하중을 역학적으로 표현하는 데에도 불확실성과 한계가 존재하기 때문에 모델링에 불과하다.
구속조건의 브래키팅이란 이러한 불확실성과 한계성 속에서 물체의 거동을 최대한 정확하게 파악하기 위하여 가장 적합한 경계조건을 찾기 위한 방법이다. 적용가능한 경계조건들을 하나의 그룹으로 지정하여 각각의 경계조건에 따른 물체의 거동을 분석한 다음 실제 거동과 가장 근접한 결과를 제공하는 경계조건을 선택하는 방법이다.
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재료의 강한 정도를 나타내는 강성(stiffness)은 열처리를 이용해 증가 혹은 감소시킬 수 있다는 사실은 이미 잘 알려져 있다. 하지만 열처리가 아닌 재료의 변형(deformation)에 의해서도 강성이 변할 수 있는데, 그 대표적인 것이 가공경화(working hardening)라고 불리는 변형률 경화(strain hardening)이다. 이러한 현상은 소성변형(plastic deformation)이 증가할수록 재료가 경화되는 것으로써, 변형률의 크기와 더불어 항복응력(yield stress)이 증가하는 것이 가장 뚜렷한 특징이다.
이와는 달리 가장자리가 구속되어 있는 보, 아치, 평판 그리고 쉘 구조물은 굽힘에 따른 변형량이 하중에 비례하여 증가하는 것이 아니라, 하중이 증가할수록 변형량의 증가가 둔화되는 비선형성(nonlinearity)을 나타낸다. 이러한 현상은 굽힘에 따른 박판 구조물(thin-walled structure)의 중립면(neutral plane)에 발생하는 인장응력의 증가가 재료의 강성을 증가시키 때문이다. 이러한 현상을 특별히 기하학적 경화라고 구분한다. 동일한 재질, 형상 그리고 크기를 가진 보에 있어서, 양 단이 고정된 경우에서의 처짐량이 외팔보 지지상태에 비해 현저히 작은 이유가 바로 여기에 있다. 하지만 유한요소 해석에 있어 대변형을 반영한 비선형 해석이 아닌, 선형해석으로는 대변형에 따른 뚜렷한 기하학적 경화를 구현할 수 없다.
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유한요소법(finite element method)과 같은 수치해석(numerical analysis) 기법은 자연현상의 수학적 표현(대부분 미분방정식 형태)을 행렬방정식(matrix equation)으로 전환하여 컴퓨터를 이용하여 근사적인 해답을 구한다.
행렬방정식을 구성하는 각각의 행렬은 컴퓨터를 이용한 수치적분(numerical analysis)으로 계산하는데, 특히 유한요소법에서 사용되는 수치적분은 일반적인 수치적분과는 달리 오차가 전혀 없는 정확한 수치적분을 적용하고 있다. 그 이유로는 조그마한 수치적분 오차라도 행렬방정식을 푸는 과정에서 누적되어 최종 수치해석 결과에 수용할 수 없을 정도의 큰 수치해석 오차(numerical analysis error)를 유발시키기 때문이다.
정확한 수치적분을 위해서는 함수의 실제 값을 취하는 샘플링 지점(sampling point)과 그 지점에 대한 가중치(weight)를 수학적으로 유도해야 한다. 정확한 샘플링 지점과 가중치를 계산하는 방법에는 가우스 구적법(Gauss quadrature rule)과 로빠또 구적법(Lobatto quadrature rule)이 있다. 그리고 정확한 수치적분을 위해 사용해야 할 샘플링 지점의 개수와 가중치 값은 적분하고자 하는 함수의 차수에 비례하여 증가한다. 감차적분이란 함수를 수치적으로 정확하게 적분하기 위해 필요한 샘플링 지점의 개수보다 작은 샘플링 지점 개수를 이용하여 수치적분하는 것을 일컫는다. 즉, 정확한 적분값보다 낮은 적분값이 나오도록 의도적으로 계산되도록 하기 위함이다.
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등가(equivalence)라는 용어는 임의 물체에 있어 관심이 되는 물리량과 대등한 효과를 나타내도록 치환된 물리량을 일컫는다. 예를 들어, 좌측이 고정되어 있는 가느다란 외팔보의 우측단에 분포하중이 작용하고 있다고 가정하자. 우측단의 처짐량이 관심이 되는 효과라고 설정하였을 때, 동일한 처짐량을 일으키는 우측단의 집중하중은 분포하중에 대한 등가 하중이라 할 수 있다. 그리고 등가라는 용어는 관심의 대상이 되는 물체와 물리량이 설정되어 있어야 한다.
하나 이상의 서로 다른 매질 혹은 입자들로 구성되어 있는 혼합체의 경우, 각 구성 매질 혹은 입자의 재료 물성치(material property)는 거의 대부분 이미 알려져 있다. 하지만 혼합체의 재료 물성치는 혼합비율, 혼합 구조, 구성입자 크기 등과 같은 미시적 인자(microscopic parameter)들에 민감한 영향을 받기 때문에 재료 내 각 지점에 따라 다른 값을 가진다. 다시 말해 균질성(homogeneity)과 등방성(isotropy) 어느 하나도 만족하지 않는 재질이다. 하지만 변형, 최대 변형률, 응력 및 온도 등과 같은 거시적(macroscopic)인 물리량이 관심이 되는 경우에는 굳이 각 지점에 따라 변하는 상세한 재료 물성치 정보가 필요로 하지는 않는다. 다만, 이러한 거시적 물리량과 동일한 크기를 나타내는 등가의 물성치만으로 충분하다.
등가 물성치란 임의 혼합체가 특정한 물리량에 대해 거시적인 측면에서 동일한 효과를 나타내는 치환된 균질 등방성 물성치를 의미한다. 예를 들어, 콘크리트와 같은 혼합체에 있어 동일한 최대 처짐량을 나타내는 균질 등방성의 탄성계수(elastic modulus)와 프와송 비(Poisson’s ratio)는 콘크리트의 등가 물성치에 해당된다. 등가 물성치는 거의 대부분 대상 물체의 관심 영역에 대한 평균화(averaged) 혹은 균질화(homogenized)된 물성치로써, 가장 간단한 등가 물성치 평가기법으로 선형 혼합법칙(linear rule of mixtures)이 있다.
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