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마하수는 유체의 속도와 음속의 비를 나타내는 무차원 수이다.
, where M: 마하수, u: 유체속도, c: 음속(speed of sound)
마하수 1의 유속은 음속과 같으며, 마하수 0.65는 음속의 65%를 의미하고, 마하수 1.35는 음속보다 35% 빠르다는 것을 의미한다. 마하수에 따라 유동은 다음과 같이 나뉜다.
l : 아음속(subsonic) 영역
l : 천음속(transonic) 영역
l : 초음속(Supersonic) 영역
물체가 움직이지 못하도록 잡아놓는 것을 구속이라고 부르는데, 잡아 두는 방법에는 여러가지 수단이 있을 수 있다. 예를 들어 금속 판을 강철 프레임에 고정시키는 방법에는 나사, 볼트, 용접, 억지끼움 등이 있을 수 있다. 이와 같이 부품이나 조립체가 구속되어 있는 상태를 유한요소 해석에서 구현하는 것도 일종의 모델링(modeling)에 해당된다. 여기서 모델링이란 용어는 실제 상황과 해석모델에서 설정한 구속에는 차이가 있을 수 있고, 이 차이로 말미암아 오차(error)가 발생할 수 있다는 의미를 암시한다.
실제 상황보다 더 많은 구속을 부여한 경우를 과잉구속이라고 부르고, 이와 반대로 더 작은 구속을 부여한 경우를 과소구속(under constraint)이라고 부른다. 전자의 경우는 필요 이상으로 물체를 구속하기 때문에, 실제보다 물체의 강성을 강하게 하여 물체의 변위가 작아지게 된다. 반면, 후자의 경우에는 실제보다 물체의 강성을 낮게 하여 변위가 커지거나 심한 경우 강체운동(rigid body motion)을 허용할 수 있다.
강체운동을 허용하게 되면 물체는 정지상태에 있지 않고 운동 중에 있는 것으로 간주되기 때문에
자동차에 있어 창문과 같은 개폐부위의 가장자리를 따라 부착되어 있는 고무제품(웨더스트립이라 부름)을 제조하는 공정을 유한요소 해석(finite element analysis)으로 시뮬레이션하는 경우를 생각하기로 하자. 이 부품은 고무 성형압출기라 불리는 특수한 장비를 통해 만들어 진다. 고체 덩어리의 고무를 고온의 가압 스크류를 이용하여 액체상태의 고무로 변환시킨 후, 원하는 단면 형상을 가진 압출부를 통과시킨다. 그러면 공기 중에서 냉각이 되면서 원하는 단면 형상을 가진 웨더스트립이 만들어 진다.
이러한 경우, 초기 고체상태의 고무덩어리가 최종 제품으로 성형되는 과정에는 다수의 물리적인 현상들이 서로 복잡하게 연관되어 있다. 고체로부터 액체로의 상태변화, 열전달, 액체 고무의 유동, 밀도 및 압력 변화 등을 겪게 된다. 이들 물리현상들을 모두 반영하여 시뮬레이션을 하지 않는다면 성형공정의 정확한 재현은 불가능하다. 하지만 각각의 현상은 고유의 물리적인 법칙과 조건들의 지배를 받기 때문에 수학적인 표현 역시 각기 다르다. 유한요소 해석에서 솔버라 불리는 처리기(processor)는 원칙적으로 하나의 수학적 표현식을 행렬식으로 근사화(approximation)시켜 푸는 프로그램이다. 따라서, 위에서 말한 갖가지 물리현상들을 모두 반영하기 위해서는 그에 해당하는 처리기들이 모두 필요하다는 말이다.
이처럼 다수의 처리기들을 하나의 유한요소 해석시스템 내에 통합시켜 서로 연관되어 있는 자연현상들을 동시에 반영하여 시뮬레이션하는 기술을 다중 물리해석이라고 부른다. 최근 컴퓨터 성능과 해석기술의 급속한 발전과 세계시장에서의 기술경쟁력 강화에 따라 다중 물리해석의 필요성은 날로 높아지고 있다.
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시간에 따라 변동하는 물체의 동적 거동을 수학적으로 표현하면 미분방정식 형태가 된다. 여기서 미분이란 시간 혹은 공간에 따른 물체 거동의 변화율(rate of change)을 의미한다. 한편, 미분방정식은 크게 상미분 방정식(ordinary differential equation)과 편미분 방정식(partial differential equation)으로 대별된다. 전자는 물체 거동의 변화율이 하나의 변수(variable)에만 의존하는 반면, 후자는 변화율이 하나 이상의 변수에 의존하는 경우이다. 예를 들어, 물체 내 온도가 시간과 장소에 따라 변하는 경우라면, 이러한 열전달(heat transfer) 거동을 수학적으로 표현하게 되면 편미분방정식으로 귀착된다.
룽게-쿠타 기법은 시간에 따른 변화율로 표현되는 상미분 방정식의 근사해(approximate solution)를 구하는 수치기법으로 잘 알려져 있다. 이 수치기법은 1900년대 독일의 수학자 룽게(Runge)와 쿠타(Kutta)에 의하여 소개되었으며, 현재 물체 거동의 시간에 따른 변화를 수치적으로 구하기 위해 매우 광범위하게 적용되고 있다. 이 수치기법은 일반적인 시간적분(time integration) 기법과 개념적으로는 유사하지만, 다음 시점에서 물체의 거동을 계산하기 위해 평균화된 시간 변화율을 사용한다는 점에서 큰 차이를 지니고 있다.
평균화된 시간 변화율은 해당 시간 간격(time step)의 시작점, 중간점 그리고 끝 점에서 계산된 4개의 변화율에 가중치를 곱하여 계산된 기울기이다. 룽게-쿠타 기법의 가장 큰 장점은 시간적분의 오차(error)가 시간간격 크기의 5승으로써 일반 시간적분법에서의 2승에 비해 현저히 높은 정확도를 나타낸다는 점이다. 그리고 물체의 동적 거동의 관심이 되는 전체 시간구간에 대해서는 시간간격 크기의 4승에 비례하는 오차를 나타내기 때문에 4차 시간적분 기법에 해당되며, 이러한 맥락에서 4차 룽게-쿠타 혹은 간단히 RK4 기법으로 불린다.
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외부로부터 물체나 시스템에 가해지는 동적인 하중을 총칭하여 가진(excitation)이라고 부른다. 대표적인 가진으로 지진파, 풍압, 충격파를 들 수 있다. 그리고 이러한 가진을 받았을 때 물체 혹은 시스템이 나타내는 시간에 따른 거동을 가진응답이라고 부른다. 가진응답은 강제진동(forced vibration)과 동일한 의미로써, 보다 실무적인 용어로 사용되고 있다. 지진파에 따른 가진응답을 지진응답 해석(earthquake response analysis), 풍압에 따른 응답해석을 풍응답 해석이라고 부르고, 이러한 가진에 대해 물체나 시스템이 안전하도록 설계하는 것을 각각 내진설계(earthquake-resistant design) 그리고 내풍설계라고 부른다.
가진응답 해석은 시간영역 혹은 주파수 영역에서 분석할 수 있는데, 전자를 시간응답해석(time response analysis)이라고 하며 시간에 따른 지진파를 입력 데이터로 한다. 반면, 후자의 경우를 주파수응답해석(frequency response analysis)이라고 부르며, 시간영역의 지진파를 퓨리에 변환(Fourier transform)을 통해 주파수 영역으로 변환하여 입력하게 된다. 풍하중은 구조체에 미치는 동압을 풍속의 크기에 따라 이론적으로 계산하거나, 풍압에 따른 동적효과를 등가의 부가질량(added mass)으로 변환하여 구조체에 부가하는 방식으로 반영된다.
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레일리 수는 자연대류(natural convection)와 같이 부력(buoyancy)에 의하여 유도된 흐름과 관련된 무차원 수이다. 그라스포흐 수와 프란틀 수의 곱으로 나타낼 수 있다.
, where ν: 동점성(kinematic viscosity), α: 열확산 계수(thermal diffusivity), β: 열팽창 계수(thermal expansion coefficient), L: 특성길이(characteristics length), g: 중력가속도(gravitational acceleration), TS: 표면온도, T∞: 유체온도, GrL: 그라스호프 수(Grashof number)
점성유체층을 가열할 때, 유체 중의 온도기울기가 특정 값이 되면 대류가 일어나게 되는데 이때의 레일리 수를 임계 레일리 수(critical Rayleigh number) 라고 한다. 보통 임계 레일리 수의 값은 1,000 정도이다.
경계요소법은 자연현상을 재현하기 위한 수치해석(numerical analysis) 기법 중의 하나로 유한요소법(finite element method)과 더불어 자연과학 및 공학분야에서 많이 사용되고 있다. 이 기법은 자연현상에 대한 미분방정식 형태의 수학적 표현식과 그린함수(Green function)라 불리는 핵함수(kernel function)의 곱을 대상 영역에 대하여 체적적분을 취한다. 그리고 그린의 정리(Green theorem)에 따라 영역 전체에 대한 적분을 영역 경계에서의 적분인 경계적분(boundary integral) 형식으로 변환시키고, 여기에 경계조건(boundary condition)을 적용한다.
결국 대상이 되는 물체의 경계에서의 적분 형식으로 전환되는데, 이러한 점에서 전체 영역에 대해 적분을 취하는 유한요소법과 큰 차이를 나타낸다. 하지만, 유한요소법과 유사하게 물체 경계를 유한개의 작은 경계(경계요소라 부름)로 세분화 하고, 각 경계요소에 대해 보간함수(interpolation)를 적용하여 근사해(approximate solution)를 계산하기 위한 행렬방정식을 유도하게 된다.
경계요소법에 의해 유도되는 행렬방정식은 띠 형상의 분산행렬(banded sparse matrix)이 아니라 밀집행렬(dense matrix)이 되기 때문에 유한요소법에 비해 행렬 저장공간이 현저히 증가하게 된다. 따라서 해석문제가 대형인 경우에는 유한요소법에 비해 매우 제한적이라는 치명적인 단점을 지니고 있다. 하지만 해석문제의 크기가 그다지 크지 않고 source나 sink와 같이 현상을 주도하는 원천을 차지하는 장 문제(field problem)에 매우 효과적이다.
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인체에 있어 목(neck)은 머리와 가슴을 연결하는 부분으로 잘록한 형상을 지니고 있다. 따라서 이 용어 자체는 물체가 하중에 의해 그 형상이 잘록해진다는 의미를 지니고 있다. 가느다란 금속 봉을 길이 방향으로 잡아당기면 당기는 힘이 커질수록 금속 봉의 가운데 부분이 가늘어 지는데 이 현상이 네킹현상의 대표적인 예이다.
네킹현상이 발생하면 금속 봉의 길이 방향으로 잡아당기는 힘에 의한 응력(stress)은 잘록해진 부분에서 최대가 된다. 왜냐하면 잘록해진 부분에서 금속 봉의 단면적이 최소가 되고 또한 응력은 잡아당기는 힘을 단면적으로 나눈 값이기 때문이다. 더욱이 잡아당기는 힘이 계속 커지게 되면 잘록해진 부분에서의 응력은 급속도로 증가하여 네킹현상은 심화되어 결국 금속 봉은 이 부분에서 끊어지게 된다.
이처럼 네킹현상은 구조물의 파괴를 야기시키기 때문에 구조 안정성 측면에서 문제시 되는 현상이다. 또 다른 예로 물과 같은 유체의 흐름에 있어 잘록해진 영역을 통과하는 경우가 될 수 있다. 유체 흐름의 연속성(continuity)에 의하여 단면적이 작은 부분에서 흐름의 속도는 매우 빨라지게 된다. 이처럼 네킹현상은 물체의 거동에 있어 갑작스런 변화를 야기시키는 원인이 될뿐더러 이로 인해 물체의 파괴를 야기하곤 한다.
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점성(viscosity)을 포함한 일반화된 뉴튼의 제2법칙은 물체의 가속도, 속도 및 동적 변위를 수학적으로 표현한 미분방정식이다. 이러한 운동방정식을 수치해석(numerical analysis)적으로 푼다는 것은 각 시점에서 물체의 가속도, 속도 및 동적 변위를 구하는 것이다. 관심의 대상이 되는 시간 구간 동안, 이들을 구하기 위해서는 이들에 대한 초기 시점에서의 값, 즉 초기조건(initial condition)으로부터 시작하여 세분화된 각 시점에서의 값들을 순차적으로 계산하여야 한다.
수학적인 관점에서 본다면 미분방정식을 시간에 대해 적분하는 것이기 때문에, 각 시점에서 이들의 값을 순차적으로 계산하는 과정을 시간적분(time integration)이라고 부른다. 시간적분에는 크게 명시적 기법(explicit method)과 암시적 기법(implicit method)이 있는데, 뉴마크기법은 대표적인 암시적 시간적분 기법이다. 이 기법은 미국 일리노이 대학의 나단 뉴마크(Nathan Newmark, 1910~1981) 교수에 의해 소개되었으며, 일반적으로 뉴마크 베타 기법(Newmark beta method) 혹은 일정 평균가속도 기법(constant averaged acceleration method)이라고 불린다.
이 기법은 중앙차분법(central difference method)과 같은 명시적 시간적분법과는 달리 시간간격(time step)과 요소크기(element size)에 무관하게 항상 해의 수렴성(convergence)과 해의 안정성(stability)이 보장된다. 하지만 질량행렬(mass matrix)을 대각화 하지 않고 전체 행렬을 그대로 유지한 채 행렬계산을 수행하기 때문에 해석시간이 길어지는 단점을 지니고 있다. 이러한 이유로 지금과 같이 대형 동해석 문제를 주로 다루는 상황에서는 그 사용빈도가 줄어들고 있다. 참고로 뉴마크기법에서는 베타(beta) 그리고 감마(gamma)라고 하는 두 개의 변수를 포함하고 있는데, 일반적으로 베타는 1/4 그리고 감마는 1/2을 취한다.
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