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시간에 따라 변동하는 외부 하중을 받고 있는 물체의 동적 응답(dynamic response)을 시간이 아닌 주파수 영역에서 분석하는 주파수응답해석(frequency response analysis)을 상기해 보자. 실제 유한요소 해석을 위해 모델에 작용시키는 힘 크기의 평균값은 0인 주기 하중(periodic force)이다.
하지만, 물체에 실제로 작용하는 주기하중의 평균값은 0이 아닌 경우가 거의 대부분이다. 따라서 이러한 문제를 해석하기 위해서는 평균값이 0인 주기하중에 따른 응답과 적당한 크기를 갖는 정하중에 따른 정상상태 응답(steady-state response)을 더해야 한다.
여기서 적당한 크기의 정하중이란 평균값이 0인 주기하중을 실제로 물체에 작용하는 주기하중의 평균값과 일치하도록 진폭을 이동시킨 값이다. 그리고 이렇게 평균값이 0인 주기하중을 일정한 크기의 평균값을 가진 주기하중으로 그 크기를 전체적으로 이동시키는 것을 진폭 옵셋이라고 부른다.
예를 들어, 5kgf에서 25kgf까지 변하는 주기하중은 평균값이 0인 10kgf의 진폭을 가진 주기하중과 크기가 15kgf인 정하중의 합으로 대체시킬 수 있다. 그리고 이 두 가지 하중 케이스에 대한 해석결과를 합함으로써, 5kfg에서 25kgf까지 변하는 주기하중에 대한 물체의 실제 동응답을 구할 수 있다.
하지만 모든 상용 유한요소해석 프로그램에서 이러한 기능을 제공하는 것은 아니며, 설사 제공하고 있다고 하더라도 그 사용법을 완전히 익히기까지는 어느 정도의 시간과 노력이 요구된다.
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유체 동역학에서 항력(drag)은 물체가 유체 내를 움직일 때 이 움직임에 저항하는 힘이다. 항력은 마찰력과 압력으로 구분된다. 마찰력은 물체의 표면에 평행한 방향으로 작용하며, 압력은 물체의 표면에 수직한 방향으로 작용한다. 유체 내에서 움직이는 고체 물체의 경우, 항력은 유체의 유동과 동일한 방향으로 작용하는 모든 유체역학적 힘의 합이다. 따라서 항력은 물체의 움직임을 방해하는 힘이다. 항공기에서 추력이 필요한 것은 바로 이 항력이라는 힘을 극복하고 나아가기 위해서이다. 물체에 대한 항력은 무차원수인 항력계수(Cd, drag coefficient)로 나타낼 수 있으며, 항력 방정식을 사용해 계산할 수 있다. 항력 계수를 상수라고 가정한다면, 일반적으로 항력은 속도의 제곱에 비례한다. 항력방정식은 물체가 유체 내에서 움직일 때 작용되는 항력을 계산하는 식으로서, 다음과 같다.
여기서, 우측의 - 부호는 항력이 물체의 동력과 반대 방향으로 작용하는 것을 나타낸다 (순수한 항력 계수를 나타낼 때는 - 부호를 쓰지 않는다) 여기서, 는 항력, 는 유체의 밀도, 는 유체에 대한 물체의 상대속도, 는 기준면적, 는 항력 계수를 나타내며 는 속도의 방향을 나타내는 벡터이다(앞에 붙은 음수 기호는 항력이 이 속도 벡터의 반대 방향으로 작용함을 나타낸다). 기준 면적 는 물체를 물체의 운동 방향에 수직한 평면에 투영한 면적과 관계된다. 같은 물체에 대해서도 다른 기준 면적이 주어질 때가 있는데, 이 때에는 각각의 기준 면적에 대한 항력 계수가 각각 주어져야 한다. 날개에 대해서는, 기준 면적은 전방 면적(frontal area)이 아닌 plane area이다. 항력 계수는 무차원 수이다.
물리적으로 충격파는 교란이 전파되는 파동의 일종으로서 유체 속에서 음속(speed of sound)보다 빠르게 전파될 때 발생하는 파동이다. 다른 파동들처럼 에너지를 전달하고, 매질 속에서 전파되어 간다. 충격파는 갑작스러운 압력, 온도 그리고, 밀도의 변화를 수반하는 특징을 가지고 있다.
아래 우측 마지막 그림과 같이 물체가 음속보다 빠르게 움직일 때 물체에 의해 발생된 파동은 물체를 앞서 갈 수 없고, 항상 물체를 뒤따르게 된다. 이 파동들은 계속 중첩되어 원뿔 형태의 높은 압력면을 형성하게 되며, 이 얇은 면을 충격파라 한다.
아래 사진은 초음속(supersonic) 비행 중 항공기 주변에 발생하는 원뿔모양의 충격파(conic shock wave) 사진이다.
주어진 제약조건 하에서 최고의 성능을 발휘할 수 있도록 부품이나 시스템을 설계하는 작업을 최적설계(optimum design)라고 부른다. 최적설계에는 형상 최적화(shape optimization), 물성 최적화(material optimization), 치수 최적화(dimension optimization) 그리고 위상 최적화(topology optimization)로 구분할 수 있다.
이러한 구분은 설계변수(design variable)의 유형에 따른 것으로, 형상은 물체의 외곽모양, 치수는 각 부위의 상세 치수, 재료는 구성물질의 종류 그리고 위상은 내부 구조를 각각 설계대상으로 한다. 설계변수의 유형은 다를지라도 최적화의 기본이 되는 수학적인 개념과 공식들은 거의 동일하다.
이들 중에서 치수 최적화가 가장 오래 전부터 소개되었으며 매우 광범위하게 적용되고 있다. 치수 최적설계는 전문적인 용어로 파라메터 최적설계로도 불리며, 최근 들어 위상최적화와 병행되어 사용되고 있다. 예를 들어, 구조물의 보강구조 및 보강재 설계에 있어 위상 최적화를 통해 최적의 보강 경로(혹은 보강 패턴)을 찾은 다음 보강재의 상세치수를 위해 파라메터 최적설계를 적용하고 있다.
최근 시판되고 있는 상용 유한요소해석 프로그램에는 이러한 최적설계 모듈들이 거의 대부분 탑재되어 있어 산업체 전반의 기능향상과 경량설계에 매우 유용하게 사용되고 있다.
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공기와 같은 유체의 유동은 압축성(compressibility), 점성(viscosity) 그리고 유체입자의 회전성(rotational) 중에서 어떠한 효과가 중요시 되느냐 아니면 무시할 수 있느냐에 따라 분류할 수 있다. 압축성 유동(compressible flow)에서는 유동입자의 밀도변화가 현저한 경우이며, 점성유동(viscous flow)은 유체입자 사이의 점성효과가 지배적인 경우이다.
그런데, 이 세가지 효과를 모두 무시한 유동을 이상유동(ideal flow)이라고 정의하며, 유체속도를 어떤 함수의 위치에 따른 변화율로 표현할 수 있다. 이 함수를 속도 포텐셜(velocity potential)이라고 부르며, 유체의 속도나 압력을 속도 포텐셜로 전환하여 표현할 수 있다는 측면에서 포텐셜 유동이라고도 부른다. 압축성만을 반연한 이상유동인 오일러 유동(Euler flow)과는 차이가 있다.
포텐셜 유동은 흐름의 양상이 복잡하지 않고 또한 속도가 완만한 경우에 많이 적용되고 있다. 예를 들어, 액체 저장탱크 내 액체의 출렁임이나 배 주위 바다물의 흐름 등은 포텐셜 유동으로 가정하여도 큰 무리가 따르지 않는다.
수치해석적인 측면에서 포텐셜 유동의 가장 큰 장점은 요소망(mesh) 혹은 그리드(grid) 내부 각 절점(node)이 하나의 자유도(degree of freedom)만을 갖는다는 점이다. 따라서 근사해를 구하기 위해 풀어야 할 행렬 방정식의 크기를 대폭적으로 감소시킬 수 있다. 최근 해석분야에서 크게 관심이 되고 있는 유체-구조 연성해석(fluid-structure interaction analysis)에서 해석시간 단축을 위해 유체유동을 포텐셜 유동으로 가정한 경우가 많다.
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페클레 수는 대류와 확산의 정도를 나타내는 지표로 일반적으로 전산유체역학 해석에서 안정화 정도를 나타내는 지표로 사용되며 페클레 수가 1이하인 경우에 안정하며, 1이상인 경우 불안정하다고 본다. 따라서 전산유체역학 해성을 위한 모델링을 하는 과정에서 이 수가 1이 넘지 않도록 격자(Mesh)를 생성하는 것이 해석의 안정성을 보장한다고 볼 수 있으며, 해석을 수행하는데 계산이 수렴하지 않고 발산하는 경우 이 수가 1이 넘지 않는지 제일 먼저 확인해 보아야 한다. 이에 대한 제일 간단한 해결책은 격자의 크기를 줄이거나 시간 간격을 줄이는 것으로, 이는 해석 시간 및 해석 비용을 늘리는 단점이 있기 때문에, 페클레 수와 해석 비용 사이의 적당한 균형을 맞추는 것이 필요하다. 페클레 수에 대한 정의는 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
물질이동 관점에서 보면 페클레 수는 다음과 같이 정의 되며, 레이놀즈 수와 슈미트 수의 곱으로 나타낼 수 있다.
, where u: 유동속도, L: 특성길이(characteristics length), D: 물질확산 계수(mass diffusion coefficient), Sc: 슈미트 수(Schmidt number)
열전달 관점에서 보면 페클레 수는 다음과 같이 정의 되며, 레이놀즈 수와 프란틀 수의 곱으로 나타낼 수 있다.
, where α: 열확산 계수(thermal diffusivity)
엔지니어링 분야에서 종종 페클레 수는 매우 크게 나타나는데, 이럴 경우 유체의 흐름에 있어서 하류의 영향성은 거의 사라지게 되므로, 유동의 변수는 유체 흐름 방향의 단방향(one way) 특성을 가지게 된다. 그래서, 높은 페클레 수를 가지는 유동의 특성 분석은 그렇지 않은 경우보다 좀 더 단순화 할 수 있다.
유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 해석결과의 정확성은 무엇보다 중시해야 할 사안이다. 유한요소 해석은 근사해를 구하는 수치기법이란 점에서 항상 오차(error)를 수반하고 있으며, 이 오차는 자연현상을 유한요소 해석 모델로 전환하는 과정에서 수반되는 모델링 오차(modeling error)와, 이 유한요소 해석 모델을 수치해석적으로 계산하는 과정에서 수반되는 수치해석 오차(numerical analysis error)로 구성된다. 이 두 가지 오차성분은 모델을 보다 정확하게 구성하고 또한 요소망(mesh)을 세밀화시키면 줄어든다.
이와 같이 유한요소 해석결과에 영향을 미치는 각종 파라메터를 조정하면 오차가 줄어드는 경향을 해의 수렴성이라고 부른다. 대부분의 경우, 이러한 파라메터를 조정하면 오차는 줄어들지만 그렇지 않은 경우도 가끔 발생한다. 이러한 경우를 해가 발산(diverge)한다고 한다.
예를 들어 시간에 따른 유체의 거동을 시간적분(time integration) 기법을 적용하여 근사해를 구할 경우, 시간이 경과할수록 수치해가 정확한 답으로부터 멀어지는 경우가 종종 있다. 이러한 수치기법들은 해의 수렴성을 보장하지 않는 기법이라고 부르며, 이러한 경우는 해석결과에 영향을 미치는 각종 파라메터들이 까다로운 조건식들을 만족할 경우에만 해의 수렴성이 보장된다.
이처럼 각종 파라메터가 특정한 조건을 만족시킬 때에만, 해의 수렴성이 보장되는 기법을 조건적 수렴성(conditional convergence)을 나타낸다고 부른다. 유동 해석에 있어 반복계산에 따른 해의 수렴성은 필수요건이기 때문에, 적용하고자 하는 수치기법의 특성을 정확히 파악하고 있어야 한다.
지진파와 같은 외란을 받는 구조물은 시간에 따라 지속적으로 변화는 동적응답을 나타낸다. 그리고 이러한 동적 응답(dynamic response)은 진폭의 변화가 극심하고 불안정한 과도응답(transient response)과 진폭의 변화가 작고 안정적인 정상상태(steady-state)에 가까운 응답으로 구분된다. 시간에 따른 물체 거동의 수치해석은 관심이 되는 시간 구간을 유한 개의 시점으로 나누고, 각 시점에서의 응답을 시간적분(time integration)이라 불리는 수치기법으로 순차적으로 구하게 된다.
그런데 순차적으로 응답을 구할 경우, 시점과 더불어 응답 값의 요동(oscillation)이 줄어들지 않고 계속해서 증가하는 일이 발생하곤 한다. 이처럼 시간적분을 통해 구한 응답이 시점과 더불어 계속해서 요동이 증가하는 것을 해가 불안정하다고 말하고, 반면 요동이 점차적으로 줄어드는 것을 해가 안정적이라고 말한다.
해의 안정성은 해의 수렴성(convergence of solution)과는 뚜렷한 차이가 있다. 전자는 시간적분으로 구한 물체의 거동이 시점과 더불어 그 요동이 줄어듬을 의미하는 반면, 후자는 시점과 더불어 해의 오차(error)가 줄어드는 것을 의미한다. 해의 수렴성과 마찬가지로 해의 안정성도 시간적분을 위해 사용되는 수치기법과 시간 간격(time step) 및 요소 크기(element size)에 절대적으로 좌우된다.
예를 들어, 어떠한 시간적분 기법은 시간 간격과 요소 크기와는 무관하게 항상 안정적인 응답을 제공하는 반면, 다른 기법들은 이들 파라메터가 특정한 조건식을 만족할 경우에만 안정적인 응답을 제공한다. 전자와 같은 시간적분법을 무조건적으로 안정(unconditionally stable)한 수치기법이라 불리는 반면, 후자와 같은 시간적분법을 조건적으로 안정(conditionally stable)한 수치기법으로 불린다.
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물체가 외부로부터 힘을 받으면 내부에는 저항하는 응력(stress)이 발생하고, 대부분의 경우 이 응력은 3차원적 성분들로 구성되어 있다. 여기서 3차원적이라는 의미는 응력이 직교하는 세 방향으로 모든 성분들을 가진다는 뜻이다. 다시 말해, 세 축 방향으로의 수직응력(normal stress) 성분들과 두 축 사이의 전단응력(shear stress) 성분들이 존재한다. 하지만 특수한 물체형상과 외부 하중조건에서는 응력이 2차원으로 한정된다. 여기서 2차원적이란 직교하는 세 방향 중에서 한 방향으로는 수직응력과 전단응력 성분들이 거의 발생하지 않음을 의미한다.
가장 대표적인 경우가 윗면과 아랫면에 하중을 받는 평판이다. 이 경우 평판의 두께 방향으로의 수직응력과 전단응력은 나머지 응력성분들에 비해 거의 무시할 수 있을 정도의 크기이다. 그 결과 평판과 평행한 면 상에서의 응력성분에만 관심을 가지게 된다. 다시 말해, 평행한 면 상에서 정의되는 직교하는 두 축 방향으로 두 개의 수직응력과 두 축 사이의 하나의 전단응력만을 고려하게 된다. 이러한 응력상태를 특별히 평면응력 상태로 구분하고 있다.
임의 3차원 물체를 평면응력 상태로 가정할 수 있다면 이 물체의 역학적 분석은 2차원으로 간략화 시킬 수 있기 때문에 매우 편리하다. 이 때 물체를 2차원으로 단순화 시키기 위해서는 수직응력을 무시할 수 있는 방향과 수직이 되는 물체의 단면을 선택하면 된다. 참고로 수직방향으로의 응력을 발생하지 않지만 이 방향으로의 수직 변형률은 존재한다.
평면응력 상태는 평면 변형률 상태(plane strain state)와 축대칭 모델(axisymmetric model)과 더불어 유한요소 해석(finite element analysis)을 효과적으로 수행할 수 있게 한다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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