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우리 주위에서 흔히 볼 수 있는 여러 가지 현상들은 각기 그 거동을 지배하는 인자들이 존재한다. 그리고 그 현상과 인자들과의 관계를 수학적으로도 표현할 수 있다. 그리고 거동에 영향을 미치는 인자들 사이에도 서로 상관관계가 존재하는 경우가 종종 있다. 그런데 상관관계를 가지는 인자들 사이의 관계 역시 수학적인 표현이 가능하기 때문에, 위에서 말한 거동은 어떠한 인자들로 표현하느냐에 따라 수학적 표현이 달라질 수 있다.
하지만, 서로 다른 수학적 표현일지라도 그 표현에 포함되어 있는 인자들 사이의 관계를 통하여 서로 변환(transform)이 가능하다. 이렇게 상관관계를 가지는 인자들로 표현되는 서로 다른 수학적 표현들 사이의 변환은 19세기 독일의 위대한 수학자 칼 구스타프 자코비(Jacobi, 1804-1851)에 의하여 최초로 연구되었다.
위에서 말한 현상은 특정한 학문분야에 한정되지 않고 모든 문제에 대해서도 동일하게 적용된다. 만일 그 거동이 물체의 공간상의 좌표일 경우에는 이 변환을 좌표변환(geometry transformation)이라고 부르고, 만일 수학적인 함수일 경우에는 함수변환(function transformation)으로 불린다. 이러한 거동을 상관관계를 가지고 있는 서로 다른 인자들에 의한 함수들로 표현하였을 경우, 이 함수들 사이의 변환은 자코비 행렬(Jacobi matrix)를 통해서 가능하다.
자코비 행렬과 자코비언이란 용어는 수학자 자코비의 이름을 따서 명명하게 되었다. 물체의 기하학적 형상에 대한 좌표변환에 있어 자코비언의 물리적 의미는 다음과 같다. 1차원 형상의 경우에는 변환 관계에 있는 두 직선의 길이 비를, 2차원의 경우에는 변환 관계에 있는 두 평면의 면적 비, 그리고 3차원의 경우에는 부피 비를 의미한다. 따라서 이러한 물리적 특성에 따라 좌표변환에 있어 자코비언은 0이나 음(-)의 값을 가질 수 없다.
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유동해석을 진행할 경우 고속 회전 터빈과 같이 어떤 값이 평균되어 전달되어야 하는 구간이 존재할 수 있다. 일반적인 상용 해석 프로그램에서는 이와 같은 연산을 수행하기 위해 혼합면(mixing plane) 경계조건 기능을 지원하고 있다. 혼합면은 접촉조건과 같이 서로 절점을 공유하지 않은 영역간에 정의되며 상류(upstream)에서 하류(downstream) 쪽으로 평균된 물리량이 전달된다. 평균 물리량은 회전체 해석에 적합하도록 동심원에 대한 평균값으로 정의하거나 혼합면 전체에 대한 평균값으로 정의할 수 있다. 혼합면 기능은 상류와 하류 사이의 유동을 완전히 평균 하기 때문에 상류와 하류의 격자가 다른 경우에도 적용할 수 있어 평균 하지 않는 계산보다 효율적으로 사용할 수 있다. 혼합면 기능은 전체 면에 대한 보간 방정식을 만들어 계산을 수행하므로 연산 시간이 다소 늘어날 수 있으며 일반적으로 정상 상태 계산에서 사용하도록 한다. .
연속적인 분포를 갖는 물리량 혹은 흩어져 있는 데이터의 평균값은 적분치 혹은 총합을 분포의 폭 혹은 데이터의 개수로 나눈 량으로 정의된다. 예를 들어 한 주기를 갖는 사인함수(sine function)의 평균값은 0이 되고, 1부터 10까지 정수들의 평균값은 5가 된다. 이와 같이 평균값은 물리량 혹은 데이터에 있어 양과 음의 값을 구분하여 계산된다.
하지만 때때로 물리량의 양과 음을 구분하지 않고 절대적인 크기에 대한 평균값 개념으로 RMS(root mean square)가 사용되고 있다. 위에서 언급한 한 주기 사인함수의 RMS는 더 이상 0이 아니다. RMS의 정확한 정의는 이 용어가 의미하듯이 물리량을 제곱하여 적분 혹은 합한 다음 분포의 폭 혹은 데이터의 개수로 나눈 값의 제곱근이다.
RMS는 전기나 전자기와 같은 각종 파동(wave)이 지니고 있는 에너지, 물체 표면의 거칠기(roughness) 정도, 각종 오차(error)의 절대적인 크기를 나타내기 위하여 주로 사용된다. 만일 이러한 경우에 일반적인 평균값을 사용한다면 해당 물리량이나 오차 분포의 전체적인 크기를 간과할 수 없다. 유한요소해석(finite element analysis)에 있어서도 RMS 형태로 결과값의 절대적인 평균값을 출력할 수 있다. 주로 동해석(dynamic analysis)이나 수치해석 오차(numerical analysis error) 분석에서 많이 사용된다.
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질량은 물체가 지니고 있는 크기가 변하지 않는 고유한 물리량으로, 물체의 자중(self weight), 관성력(inertia force)과 운동량(momentum)은 이 질량에 비례한다. 정지하고 있는 물체를 움직이고자 할 경우에는 이 움직임에 저항하려는 반면 운동 중인 물체는 운동을 정지하려는 제동력에 저항하려는 성질을 지닌다. 자중은 물체의 질량과 중력 가속도의 곱으로, 관성력은 물체의 질량과 가속도의 곱으로, 그리고 운동량은 물체의 질량과 속도의 곱으로 표현된다.
유한요소법(finite element method)으로 물체의 공간을 유한 개의 세부 영역으로 나눈 요소망(mesh)과 요소망 내 유한요소(finite element) 상에서 정의되는 보간함수(interpolation function)를 사용하면 물체의 자중, 운동량 그리고 관성력은 질량행렬로 표현된다. 질량행렬은 물체 내에 연속적으로 분포되어 있는 물체의 질량을 요소망 내 각 절점(node)에 집중질량(lumped mass) 형식으로 이산화시켜 놓은 것으로, 이 질량행렬 내 각 행렬요소를 합하면 물체의 전체 질량과 같게 된다.
한편, 수치해석의 편의상 이 질량행렬을 대각화(diagonalization)하는 경우가 종종 있는데, 그렇게 하더라도 대각화 된 질량행렬 내 행렬요소의 총 합은 물체의 전체 질량과 반드시 일치해야 한다.
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특정한 회전 축을 중심으로 물체를 회전시키는데 걸리는 능력을 관성 모멘트(moment of inertia)라고 부른다. 그리고 이 물리량은 물체 각 지점까지의 수직거리의 제곱과 각 지점에서의 질량의 곱을 물체 전체에 걸쳐 합한 총 량으로 정의된다. 만일 특정 물체에 있어서 임의 한 회전 축에 대한 관성 모멘트 값을 알고 있다면, 이 축으로부터 떨어져 있는 또 다른 회전 축에 대한 물체의 관성 모멘트는 평행축 정리를 이용하여 쉽게 계산할 수 있다.
이 정리에 따르면, 떨어져 있는 회전 축에 대한 관성 모멘트는 이미 알고 있는 회전 축에 대한 관성 모멘트와 물체의 총 질량을 두 축사이의 수직거리 제곱에 곱한 량의 합으로 계산된다. 이 정리는 복잡한 형상을 지닌 물체의 관성 모멘트를 효과적으로 계산하기 위해 많이 사용되고 있다.
예를 들어, 물체의 형상이 몇 개의 보다 단순한 형상들의 조합으로 구성되어 있다면, 각각의 단순한 형상에 대한 관성 모멘트는 계산하기 쉬울뿐더러 전문서적에서 표로 제공하고 있다. 따라서 이 값과 평행축 정리를 각각의 단순 형상들에 적용하여 복잡한 형상으로 구성된 물체 전체에 대한 관성 모멘트를 쉽게 계산할 수 있다. 이 정리는 면적 관성모멘트(area moment of inertia)에도 그대로 적용될 수 있다.
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단일 물질로 구성된 재료는 재료 내 위치나 방향에 무관하게 재료의 성질, 즉 재료 물성치(material property)가 일정하다. 전자와 같은 재료의 특성을 균질성(homogeneity)이라고 부르고 후자와 같은 재료의 특성을 등방성(isotropy)이라고 부른다.
이와 같이 재료의 성질이 위치나 방향과 무관한 경우에는 기준이 되는 좌표축을 어떻게 설정하여도 재료 물성치 입력에 영향을 미치지 않는다. 하지만 재료의 성질이 위치나 방향에 따라 변하는 경우에는 재료 물성치의 입력은 좌표축의 설정에 절대적으로 영향을 받게 된다.
예를 들어 원통형 복합재에 있어 탄소 섬유(carbon fiber)가 원통축과 일정한 경사각을 이루면서 감겨져 있다면 복합재의 물성치는 감긴 방향을 하나의 축으로 하는 좌표축을 기준으로 입력되어야 한다. 왜냐 하면 이러한 복합재의 재료 물성치는 감긴방향, 그리고 이 방향과 수직인 두 축방향으로 정의되기 때문이다.
이렇게 특정한 방향으로 재료의 물성치가 정의되는 경우에는 재료 물성치의 입력을 위하여 별도의 좌표축을 설정할 필요가 있으며, 이 좌표축을 재료 좌표계라고 부른다. 대부분의 상용 유한요소 해석 프로그램에는 이와 같이 위치나 방향에 의존하는 재료 물성치를 입력하기 위한 재료 좌표계를 해석자가 별도로 지정할 수 있도록 그 기능을 제공하고 있다.
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원형 단면을 가진 가느다란 금속봉의 양 끝 단에 힘을 주어 잡아당기는 경우를 생각해 보자. 잡아당기는 힘이 증가할수록 금속봉의 단면적은 지속적으로 감소하게 될 것이다. 한편 금속봉 내부에는 외부에서 잡아당기는 힘에 저항하려는 내력이 발생하게 되고, 이 저항력을 금속봉의 단면적으로 나눈 값을 응력(stress)으로 정의하고 있다.
금속봉 내부에 발생하는 응력을 계산하기 위해 물체가 변형되기 전 초기 단면적을 선정할 수도 있고, 아니면 지속적으로 감소하는 실제 단면적을 선택할 수도 있다. 변형되기 전 초기 단면적으로 계산한 응력을 공칭응력(nominal stress)으로 정의하고 있는 반면, 변형에 따른 실제 단면적으로 계산한 응력을 진응력으로 정의하고 있다.
단면적의 감소가 적은 미소 변형에 있어서는 두 응력은 큰 차이를 나타내지 않지만, 하중의 증가와 더불어 물체 단면적이 현저히 감소하게 되면 공칭응력에 비해 진응력은 매우 큰 값을 가지게 된다. 위에서 언급한 금속봉은 하중이 증가하여 끊어지기 직전에 도달하였을 때에는 거의 0에 가까운 단면적을 가지게 되고, 그 결과 진응력은 무한대의 크기로 증가하게 된다. 하지만 공칭응력은 하중의 증가에 비례하는 응력의 증가만을 보일 뿐이다. 이러한 두 응력의 차이는 응력-변형률 선도(stress-strain diagram) 상에서 항복응력(yield stress) 이후에 명확히 구분할 수 있다.
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고층건물에 지진파가 가해지면 건물은 사람의 눈으로도 확연히 관찰할 수 있을 정도의 흔들림을 나타낸다. 그리고 흔들리는 양상은 외부 지진파의 진동수, 크기 및 지속시간에 따라 달라지지만, 중요한 사실은 건물이 지니고 있는 고유한 움직임, 즉 고유모드(natural mode)의 조합으로 표현된다는 사실이다.
따라서 건물의 시간에 따른 흔들림 양상을 두 가지 방법을 이용하여 분석할 수 있는데, 첫 번째는 건물의 각 지점에서의 흔들림 값을 구하여 건물 전체의 흔들림 양상을 표현하는 것이고, 다른 하나는 건물의 고유모드를 우선 구한 다음 지진파에 따른 건물의 흔들림에 기여하는 각 고유모드의 크기를 계산하여 건물 전체의 흔들림 양상을 표현하는 방법이다.
전자를 직접응답해석 그리고 후자를 모드응답해석(modal response analysis)으로 구분하고 있다. 어느 방법을 사용하든지 간에 표현되는 건물의 동적 흔들림에는 차이가 없지만 수치해석(numerical analysis)적인 절차에는 엄연한 차이가 있다. 전자는 행렬형태의 운동방정식에 시간적분(time integration)을 적용하여 각 시점에서 건물의 각 지점에서의 동변위(dynamic displacement)를 계산한다. 반면, 후자에 있어서는 고유모드의 합으로 표현되는 행렬을 운동방정식에 대입하여, 각 고유모드의 기여도 계수(participation coefficient)를 구하는 2차 미분방정식으로 전환하여 각각의 기여도를 계산한다.
모드응답해석과 같이 직접응답해석에도 건물의 흔들림을 시간영역에서 표현하는 직접 시간응답해석(direct time response analysis)과 주파수 영역에서 표현하는 직접 주파수응답해석(direct frequency response analysis)으로 다시 세분화된다.
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특정한 기능을 담당하는 부재가 구조적으로 그 기능을 상실하는 것을 넓은 의미에서 구조적인 파괴(failure)라고 정의하고 있다. 구조적인 파괴는 여러 가지 요인에 의하여 발생한다. 대표적인 요인을 열거하면 균열(crack), 항복(yielding)에 의한 소성변형(plastic deformation), 좌굴(buckling), 공진(resonance), 피로(fatigue), 크리프(creep) 등이다. 각각의 요인이 개별적으로 구조적 파괴를 일으키기 보다는 몇 가지 요인이 복합적으로 작용하여 파괴를 야기시키는 것이 일반적이다.
예를 들어 균열이 발생하면 균열의 끝 단 부위에는 소성변형이 수반되며 이러한 균열이 반복적인 하중을 받게 되면 피로파괴(fatigue failure)를 수반하게 된다. 특히 공진에 따른 파괴는 엄청난 구조적, 인명적 그리고 재정적 손실을 초래하기 때문에 동하중을 받는 구조물의 설계에 있어 심혈을 기울여야 한다. 공진을 방지하기 위한 방법에는 구조물의 고유주파수(natural frequency)를 변화시키는 것에서부터 능동형 진동 댐퍼(adaptive vibration damper)를 설치하는 것과 같은 다양한 기술이 사용되고 있다.
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