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물체가 외란을 받아 시간에 따라 움직이는 모양은 주기적인 것에서부터 매우 불규칙적인 것까지 매우 다양하다. 주파수적인 측면에서 살펴본다면 주기적인 반응(periodic response)은 하나의 진동수를 가진 동응답인 반면, 매우 불규칙적인 거동은 무한개의 주기적 반응들의 조합으로 생각할 수 있다. 이러한 경우, 어느 진동수를 가진 반응이 지배적인가는 외부 동하중의 진동수, 크기 및 물체의 특성에 따라 달라진다.
한편 물체의 동적거동은 시간적인 측면 그리고 주파수적인 측면에서 분석이 가능한데, 전자를 시간응답해석이라고 하고 후자를 주파수응답해석(frequency response analysis)이라고 부른다. 전자의 경우는 어느 시점에서 최대 응답이 발생하는가 그리고 시간에 따라 거동이 어떠한 변화를 나타내는가를 보여준다면, 후자는 물체가 어떠한 주파수에 민감한 반응을 나타내는가 그리고 공진(resonance) 현상이 발생하는가 등을 보여준다. 이러한 구분된 특성 때문에 대부분의 경우 두 가지 방법이 모두 사용되고 있다.
한편 시간응답해석과 주파수응답해석은 물체의 각 지점에서의 응답을 구하여 물체의 전체 거동을 분석하는 직접응답해석(direct response analysis)과 물체의 고유모드(natural mode)를 구하여 각 고유모드의 기여도를 계산하여 물체 전체의 거동을 계산하는 모드응답해석(modal response analysis)으로 다시 분류된다.
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공학문제를 유한요소 해석(finite element analysis)을 통해 풀고자 할 경우, 특정한 문제에 있어서는 해석결과가 엄청난 오차(error)를 나타내는 경우가 종종 발생한다. 거의 대부분 정답보다 현저히 낮은 값, 심지어는 0에 가까운 값을 나타낸다.
유한요소 해석에 있어 잠김현상은 좁은 의미에서는 이처럼 해석결과가 정답과 비교하여 현저히 큰 차이를 나타내는 것을 말하고, 보다 넓은 의미에서는 요소크기(element size)를 줄이거나 요소차수(element order)를 높여도 이론적인 수렴률(convergence rate)을 나타내지 않는 것을 말한다.
잠김현상은 풀고자 하는 문제에 구속조건이 포함되어 있을 경우 이 구속조건에 기인하여 유발한다. 비압축성(incompressibility) 재료에 있어 재료의 비압축성, 박판 구조물(thin-walled structure)에 있어 두께가 0으로 접근하면 전단변형률(shear strain)이 없어지는 구속 등이 대표적인 예이다.
이렇게 구속을 가지는 문제를 요소크기가 크고 요소차수가 낮은 요소망(mesh)으로 해석을 수행하면, (a=b)라는 구속조건이 a=b가 아니라a->0 그리고 b->0 방식으로 만족되어 버리기 때문이다. 잠김현상을 해결하기 위해서 지금까지 수많은 기법들이 연구되어 오고 있다. 그 중에서도 요소크기를 작게 하거나 요소차수를 높이는 방법, 감차적분(reduced integration) 그리고 특별히 개발한 특이요소를 사용하는 방법이 대표적이다.
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증분완화계수는 크게 연산의 안정성(stability)을 위한 낮은증분완화계수(under relaxation factor)와 수렴성(convergence) 향상을 위한 높은증분완화계수(over relaxation factor)가 있다.
대부분의 전산유체역학(CFD) 해석은 반복적으로 해를 찾아가게 되며 이 때문에 발산(divergence)과 같은 현상이 나타나게 된다. 발산은 주로 값이 급격하게 바뀌는(discontinuity) 경우 발생하게 된다. 값이 급격하게 바뀌는 현상을 방지하기 위해서 낮은증분완화계수를 사용하게 된다. 낮은증분완화계수를 사용하게 되면 이전 값과의 계수를 통해 계산된 적절한 평균값으로 값의 변화량을 조정하게 된다. 따라서 값의 변화량이 완화되는 효과가 있어 좀 더 안정적인 수렴효과를 얻을 수 있다.
반대로 전산유체해석은 대부분 반복법으로 해석이 이루어지므로 어떤 상태에 도달하기 위해서는 수렴이 빨라야 한다. 따라서 수렴을 빠르게 하기 위해 높은증분완화계수를 사용하기도 한다.
보통 낮은증분완화계수를 사용할 경우 0에서 1 사이의 값을 사용하며, 높은증분완화계수는 1에서 2 사이의 값을 사용한다.
평만이나 쉘 형상의 박판 구조물이 굽힘 하중을 받게 되면 구조물의 단면에는 전단 변형률(shear strain)과 전단 응력(shear stress)이 발생하게 된다. 그리고 이들은 두께방향으로 구조물의 중립축(neutral axis)에서 최대값을 그리고 위 아래 면에서 0이 되는 타원형 분포를 나타낸다.
이러한 구조물을 3차원 유한요소(finite element)를 이용하여 해석하는 경우에는 타원형 분포의 전단 변형률과 전단 응력을 구할 수 있지만, 평판 요소(plate element)나 쉘 요소(shell element)를 이용하는 경우에는 그렇지 못하다. 왜냐하면, 이들 요소는 구조물의 중립면(neutral plane)에 적용되는 2차원 요소로써, 민들린-라이즈너 이론(Mindlin-Reissner theory)에 근거하고 있기 때문이다.
이 이론은 구조물의 3차원 거동을 중립면의 변형(deformation)을 기초로 하여 표현하고 있다. 따라서 3차원 구조물을 중립면에만 국한하여 2차원으로 가정하고 있다. 이러한 과정에서 구조물 변형의 두께방향으로의 변화를 직선형태로 가정하고, 그 결과 두께방향으로의 전단 변형률과 전단 응력은 두께방향으로 일정한 크기를 가지게 되다.
따라서, 타원형 분포와는 다른 분포형태에 따른 필연적인 차이를 보정하기 위한 계수가 필요하게 되었다. 이 보정계수를 전단 보정계수라고 부르고, 일반적으로 5/6의 값을 채택하고 있다. 이 값은 타원형 분포와 직선 분포로 표현되는 두 전단 응력의 전체 합은 같아야 한다는 조건식으로부터 유도되었다.
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유체 유동에 대한 저항력의 척도로써, 일반적으로 두께라는 용어로 표현되기도 한다. 점성이 낮은 유동을 얇다라고 하고 반면 점성이 높은 경우를 두껍다고 말하기도 한다. 예를 들어, 물은 두께가 얇은 흐름이고 꿀의 흐름은 두께가 두꺼운 흐름이라고 표현한다. 여기서 두께란 점성이 영향을 미치는 유동의 두께 방향으로의 폭이라고 생각하면 이해하기 쉽다.
점성이 없다고 가정한 유동을 이상유동(ideal flow) 혹은 비점성 유동(inviscid flow)이라고 부른다. 점성이 존재하는 유동에 있어 점성에 의한 전단응력(shear stress)이 유동에 수직한 방향으로의 유속 변화율과 선형적인 관계에 있으면 이 유동을 뉴튼 유체(Newtonian fluid)라고 하고, 그렇지 않은 유동을 비뉴튼 유체(non-Newtonian fluid)라고 부른다.
점성계수는 점성의 크기를 나타내는 계수로서, 유체 및 유체에 가해지는 전단응력의 성질에 따라 몇 가지로 분류된다. 동 점성계수(dynamic viscosity coefficient) 혹은 절대 점성계수(absolute viscosity coefficient)는 비압축성 유체의 점성 정도를 나타내며, 운동 점성계수(kinematic viscosity coefficient)는 뉴튼 유체에 있어 동 점성계수를 밀도로 나눈 값으로 정의된다.
체적 점성계수(volume 혹은 bulk viscosity coefficient)는 압축성 뉴튼 유체의 점성 정도를 나타내며, 전단 점성계수(shear viscosity coefficient)와 확장 점성계수(extension viscosity coefficient)는 각각 비뉴튼 유체에 전단응력 혹은 확장 응력이 가해졌을 경우에 있어 점성의 크기를 나타낸다.
점성은 비단 기체와 액체의 유동에만 한정되지 않고 일반 고체에 있어 전단변형(shear deformation)에서도 발생하며, 점성에 의해 외부에서 가해진 일의 일부가 히스테리시스 손실(hysteresis loss)로 방출되어 전단변형을 저지시키게 된다.
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점탄성(viscoelsticity)은 물체의 변형이 항복응력(yield stress)을 초과하지 않은 탄성영역 내에 있을 경우, 하중을 제거하면 물체 내부의 응력이 시간과 더불어 지속적으로 감소하는 응력이완(stress relaxation) 현상을 의미한다. 이러한 현상은 물체의 고유한 점성효과에 기인한 것으로 하중이 제거되어 변형률(strain)이 일정하게 유지되어도 응력이 점차적으로 감소하게 된다.
이와 유사하게 물체 변형이 항복응력을 초과하여 소성변형(plastic deformation) 영역에 있을 경우에도 하중을 제거하면 응력이 감소하는 현상이 발생할 수 있다. 이러한 현상을 나타내는 재료를 점소성 재료라고 부르며, 고무를 위시한 고분자 물질(rheological material)이 이에 해당된다.
점탄성과의 가장 큰 차이는 시간에 따라 응력이 감소하더라도 항복응력 이하로는 응력이 감소하지 않는다는 점이다. 점소성에 따른 응력이완의 정도를 결정하는 이완시간(relaxation time)은 물체의 점성계수(viscosity coefficient)를 탄성계수(elastic modulus)로 나눈 값으로 정의된다. 다시 말해 이완시간이 클수록 높은 응력이완을 나타낸다.
점탄성에서와 마찬가지로 점소성에 따른 응력이완 거동도 프로니 급수(Prony series)로 단순하게 표현할 수 있으며, 급수에 포함되어 있는 프로니 계수는 재료에 따라 달라지므로 응력이완 실험 데이터로부터 결정해야 한다.
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우리가 흔히 보는 유체에는 많은 물질이 부유하고 있다. 이러한 부유물질이 섞여 있는 유체를 흔히 콜로이드(colloid)라고 부르며, 유체가 기체일 경우 에어로졸(aerosol)이라는 이름으로 불리고 있다. 유체 내의 부유물질을 해석하기 위해 다양한 방법이 사용될 수 있다. 크게 부유물질을 농도로 표현하는 픽의 법칙(Fick’s Law)을 사용하여 계산을 하는 방법과 각각의 입자(particle) 하나 하나를 동역학을 이용하여 모두 계산하는 방법이 있다
입자의 해석을 위해서는 입자역학(particle dynamics)이 사용되며 크게 두 단계의 과정을 거쳐 계산이 이루어 진다. 첫 번째 단계는 이동(streaming) 단계로 입자가 각각의 속도로 이동하는 과정을 의미한다. 두 번째 단계는 충돌(collision) 단계로 입자가 충돌하거나 유체와 작용하여 속도가 변화하는 과정을 의미한다. 한 시간스텝 동안 두 단계를 통해 입자의 위치와 속도가 번갈아 가며 바뀌게 된다.
각각의 입자는 자신의 속도를 가지고 있으며 각 시간스텝마다 속도만큼 위치를 이동하게 된다. 이동과정에서 물체와 입자간의 충돌이 발생할 수 있으며 물체의 표면 거칠기를 고려하여 다양한 충돌 조건을 적용할 수 있다.
유한요소해석(finite element analysis)을 수행한다는 것은 대상이 되는 해석문제를 표현하는 수학적 표현식을 행렬방정식으로 변환하여 물체의 거동을 근사적으로 구하는 것이다. 그런데 행렬방정식을 풀어서 구한 값들은 일반적으로 요소망(mesh) 내 각 절점(node)에서의 물체의 거동값에 해당된다. 예를 들어 열전달 해석으로 구한 수치값들은 대상이 되는 물체의 요소망 내 각 절점에서의 온도를 나타낸다.
이처럼 요소망 내 각 절점에서의 값들을 절점 값이라고 부르고, 값의 유형에 따라 절점 변위(nodal displacement), 절점 온도(nodal temperature), 절점 하중(nodal force) 등으로 명명된다. 행렬방정식을 풀어서 구한 수치값이 각 절점에서의 값이 되는 것은 물체의 거동을 근사화 하기 위해 사용되는 기저함수(basis function)의 특성 때문이다.
유한요소 해석에 사용되는 대부분의 기저함수는 자신의 번호와 일치하는 절점에서는 1의 값을 가지는 반면 나머지 모든 절점에서는 0의 값을 가지게 된다. 만일 기저함수가 이러한 특성을 지니고 있지 않다면 행렬방정식으로부터 구한 값이 곧바로 절점에서의 거동값을 나타내지 않는다. 이러한 경우에는 거동에 대한 근사식에 해당 절점의 좌표값을 대입하여 그 절점에서의 값을 계산해 내어야 한다.
한편, 변형률(strain)이나 응력(stress)은 절점에서 그 값을 계산하지 않고 행렬의 수치적 적분(numerical integration)을 위해 사용되는 적분점(integration point)에서 그 값을 계산한다. 그 이유는 이러한 값들은 절점에서 계산하는 것보다 적분점에서 계산하는 경우가 보다 정확하기 때문이다.
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공간 상에서 특정한 위치를 정의하기 위해서는 기준이 되는 점과 두 위치 사이의 상대적인 거리가 필요하다. 기준이 되는 점을 원점(origin)이라고 부르고, 상대적인 거리는 좌표값으로 표현된다. 여기서 좌표값은 서로 직교하는 세 방향으로의 거리의 성분들로 표현된다. 참고로, 이 경우는 3차원 공간에 대한 설명이고 1 및 2차원 공간에 있어서는 각각 한 방향 혹은 서로 직교하는 두 방향으로의 거리의 성분들로 표현된다.
이처럼 원점과 서로 직교하는 방향축으로 구성된 것을 특별히 좌표축이라 부른다. 예를 들어, 서울역을 원점으로 하고 부산으로 향하는 방향과 하늘을 향하는 방향을 두 개의 직교하는 축으로 설정하면 나머지 한 축은 서로 직각이어야 하는 조건에 의해 자동적으로 정의되고, 이 좌표축을 이용하면 서울역을 중심으로 한 상대적인 위치를 표현할 수 있다. 만약 원점은 그대로 두고 세 방향을 회전시키면 새로운 좌표축이 정의된다. 물론 새로운 세 방향은 서로 직각이 되어야 한다.
이러한 좌표축은 공학분야에 있어 필수적이다. 물체 내 한 점에서의 응력(stress)은 좌표축의 회전에 따라 그 값들이 변한다. 또한 물체의 변형률(strain), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 그리고 단면의 면적 관성모멘트(area moment of inertia)도 계산의 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 그 값들이 변한다.
그리고 이러한 물리량들은 특정한 좌표축 의 방향에서 최대 및 최소값을 가지게 되는데, 이 특정한 좌표축 방향을 주축이라고 부른다. 참고로, 주축에서의 최대 및 최소 응력값을 주 응력(principal stress)이라고 부른다. 만약 응력값이 아니고 질량 혹은 면적 관성모멘트라면 최대 및 최소값을 주 관성모멘트(principal moment of inertia)라 부르고, 변형률이라면 주 변형률(principal strain)이라고 지칭한다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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